- Tham gia
- 28/1/21
- Bài viết
- 82,076
- Điểm
- 113
tác giả
Giải toán lớp 9 bài vị trí tương đối của hai đường tròn
YOPOVN xin gửi đến các em học sinh Giải toán lớp 9 bài vị trí tương đối của hai đường tròn. Đây là bộ Giải toán lớp 9 bài vị trí tương đối của hai đường tròn rất hay.
Toán 9 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Lý thuyết vị trí tương đối của hai đường tròn
Xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn lớp 9
Vị trí tương đối của hai đường tròn trang 119
Vị trí tương đối của hai đường tròn SBT
Vị trí tương đối của hai đường tròn violet
Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 9
Giải SBT Toán 9 Bài 7: Vị trí tương đối
Phương pháp giải Toán vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Xét hai đường tròn và giả sử R > R’
I/ Hai đường tròn tiếp xúc nhau: chỉ có một điểm chung
1. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:
+ Điều kiện .
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn.
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
2. Hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.
+ Điều kiện: OO’ = R – R’ = OA – O’A
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn.
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
II/ Hai đường tròn không giao nhau: không có điểm chung.
1. Hai đường trong ở ngoài nhau.
+ Điều kiện: OO’ > R + R’
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
2. Hai đường tròn đựng nhau.
+ Điều kiện: OO’ < R - R’
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
III/ HAI ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU tại A và B: (Có hai điểm chung A và B)
+ Điều kiện: R – R’ < OO’ < R + R’
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
+ Đường nối tâm là đường trung trực của AB.
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
I. BÀI TẬP MẪU.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy điểm A tùy ý trên (O). Vẽ đường tròn đường kính OA. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Gọi O’ là tâm đường tròn đường kính OA.
Ta có O’ là trung điểm của OA và bán kính đường tròn(O’) là
R' = OA/2 = R/2.
Độ dài đoạn nối tâm: d = OO' = OA/2 = R/2.
Ta có: R - R' = R/2 = d nên (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R) cắt nhau tại M và N. Biết OO’=24cm, MN =10cm. Tính R.
Gọi giao điểm của OO’ và MN là I.
Vì OM = ON = O’M =O’N = R
=> tứ giác OMO’N là hình thoi
=> OO' ⊥ MN tại điểm I là trung điểm của mỗi đoạn OO’ và MN.
Do đó: IM = MN/2 = 5cm ; IO = OO'/2 = 12cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác MIO ta có:
R = OM = = 13
Vậy R = 13(cm)
Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O), N thuộc (O’). Biết R = 9cm, R’ = 4cm. Tính độ dài đoạn MN.
Ta có: OO’= OA + O’A = 9 + 4 =13(cm)
Kẻ OH ⊥ OM tại H
=> tứ giác O’NMH là hình chữ nhật
=> MH = O’N = 4cm; MN = O’H
=> OH = OM - MH = 9 – 4 = 5(cm)
Áp dụng đình lí py-ta-go vào tam giác OO’H, ta có: MN = O'H = = 12 (cm)
Vậy MN = 12cm.
Bài 4: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại với . Đường nối tâm cắt lần lượt tại . Dây của vuông góc với tại trung điểm của
c) Chứng minh là tiếp tuyến của
a) Vì vuông góc với đường thẳng nên (theo giả thiết)
=> tứ giác là hình bình hành, lại có nên là hình thoi.
b) Vì tam giác nội tiếp đường tròn có là đường kính nên vuông tại .
Gọi là giao điểm của với thì (1) (vì so le trong với ).
Lại có nội tiếp đường tròn có là đường kính
=> tam giác vuông tại , hay (2).
Từ (1) và (2) suy ra . Vậy thẳng hàng.
c) Vì tam giác vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền
=> (1).
Lại có (2) do cùng phụ với và (3), vì là bán kính của đường tròn .
Từ (1),(2),(3) suy ra hay
=> vuông góc với bán kính của đường tròn .
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn .
II/ LUYỆN TẬP.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.
a) Chứng minh AD. AB = AE. AC
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M; MD) và (N; NE).
c) Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH . Giả sử AB = 6 cm, AC = 8 cm . Tính độ dài PQ.
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( với (O) và D (O’) ).
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng :
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác BDHF và CDHE cắt nhau.
Bài 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A cố định bên trong đường tròn (O). Gọi M là điểm di động trên đường tròn (O), đường trung trực của dây AM cắt (O) tại P và P’.
a) Chứng tỏ tập hợp các hình chiếu của O lên PP’ là đường tròn (I).
b) Chứng tỏ đường tròn (I) và đường tròn (A, R) đựng nhau.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, AC = 12cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (B, 6cm) và (C, a cm), (a ϵ R) theo a.
Bài 7. Cho tam giác OAO’ vuông tại A có OA = 6cm, O’A = 8cm. Chứng minh đường tròn (O, 5cm) và đường tròn (O’, cm) cắt nhau tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.
Bài 8. Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
Bài 9. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài nhau cố định. Bán kính OA quay quanh O, bán kính OA’ quay quanh O’ sao cho OA luôn song song với O’A’. Gọi M là trung điểm của AA’.
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a. Đường trung trực của AC cắt đường phân giác của góc BAC tại K. Đường tròn tâm K tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp △ABC.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a và AC = 2a/3. Xác định bán kính của đường tròn tâm C để đường tròn này tiếp xúc với đường tròn (O’) tại M’.
a) Chứng minh các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B.
b) Chứng minh trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).
XEM THÊM:
YOPOVN xin gửi đến các em học sinh Giải toán lớp 9 bài vị trí tương đối của hai đường tròn. Đây là bộ Giải toán lớp 9 bài vị trí tương đối của hai đường tròn rất hay.
Tìm kiếm có liên quan
Toán 9 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Lý thuyết vị trí tương đối của hai đường tròn
Xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn lớp 9
Vị trí tương đối của hai đường tròn trang 119
Vị trí tương đối của hai đường tròn SBT
Vị trí tương đối của hai đường tròn violet
Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 9
Giải SBT Toán 9 Bài 7: Vị trí tương đối
Phương pháp giải Toán vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CHỦ ĐỀ 6: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
Xét hai đường tròn và giả sử R > R’
I/ Hai đường tròn tiếp xúc nhau: chỉ có một điểm chung
1. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:
+ Điều kiện .
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn.
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
2. Hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.
+ Điều kiện: OO’ = R – R’ = OA – O’A
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn.
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
II/ Hai đường tròn không giao nhau: không có điểm chung.
1. Hai đường trong ở ngoài nhau.
+ Điều kiện: OO’ > R + R’
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
2. Hai đường tròn đựng nhau.
+ Điều kiện: OO’ < R - R’
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
III/ HAI ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU tại A và B: (Có hai điểm chung A và B)
+ Điều kiện: R – R’ < OO’ < R + R’
+ Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.
+ Đường nối tâm là đường trung trực của AB.
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
I. BÀI TẬP MẪU.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy điểm A tùy ý trên (O). Vẽ đường tròn đường kính OA. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Hướng dẫn
Gọi O’ là tâm đường tròn đường kính OA.
Ta có O’ là trung điểm của OA và bán kính đường tròn(O’) là
R' = OA/2 = R/2.
Độ dài đoạn nối tâm: d = OO' = OA/2 = R/2.
Ta có: R - R' = R/2 = d nên (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R) cắt nhau tại M và N. Biết OO’=24cm, MN =10cm. Tính R.
Hướng dẫn
Gọi giao điểm của OO’ và MN là I.
Vì OM = ON = O’M =O’N = R
=> tứ giác OMO’N là hình thoi
=> OO' ⊥ MN tại điểm I là trung điểm của mỗi đoạn OO’ và MN.
Do đó: IM = MN/2 = 5cm ; IO = OO'/2 = 12cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác MIO ta có:
R = OM = = 13
Vậy R = 13(cm)
Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O), N thuộc (O’). Biết R = 9cm, R’ = 4cm. Tính độ dài đoạn MN.
Hướng dẫn
Ta có: OO’= OA + O’A = 9 + 4 =13(cm)
Kẻ OH ⊥ OM tại H
=> tứ giác O’NMH là hình chữ nhật
=> MH = O’N = 4cm; MN = O’H
=> OH = OM - MH = 9 – 4 = 5(cm)
Áp dụng đình lí py-ta-go vào tam giác OO’H, ta có: MN = O'H = = 12 (cm)
Vậy MN = 12cm.
Bài 4: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại với . Đường nối tâm cắt lần lượt tại . Dây của vuông góc với tại trung điểm của
a) Chứng minh là hình thoi
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh thẳng hàng
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh thẳng hàng
c) Chứng minh là tiếp tuyến của
Hướng dẫn
a) Vì vuông góc với đường thẳng nên (theo giả thiết)
=> tứ giác là hình bình hành, lại có nên là hình thoi.
b) Vì tam giác nội tiếp đường tròn có là đường kính nên vuông tại .
Gọi là giao điểm của với thì (1) (vì so le trong với ).
Lại có nội tiếp đường tròn có là đường kính
=> tam giác vuông tại , hay (2).
Từ (1) và (2) suy ra . Vậy thẳng hàng.
c) Vì tam giác vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền
=> (1).
Lại có (2) do cùng phụ với và (3), vì là bán kính của đường tròn .
Từ (1),(2),(3) suy ra hay
=> vuông góc với bán kính của đường tròn .
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn .
II/ LUYỆN TẬP.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.
a) Chứng minh AD. AB = AE. AC
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M; MD) và (N; NE).
c) Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH . Giả sử AB = 6 cm, AC = 8 cm . Tính độ dài PQ.
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( với (O) và D (O’) ).
a) Tính số đo góc CAD.
b) Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = 2 cm.
b) Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = 2 cm.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng :
a) MNQP là hình thang cân.
b) PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường tròn (O) và (O’) .
c) MN + PQ = MP + NQ.
b) PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường tròn (O) và (O’) .
c) MN + PQ = MP + NQ.
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác BDHF và CDHE cắt nhau.
Bài 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A cố định bên trong đường tròn (O). Gọi M là điểm di động trên đường tròn (O), đường trung trực của dây AM cắt (O) tại P và P’.
a) Chứng tỏ tập hợp các hình chiếu của O lên PP’ là đường tròn (I).
b) Chứng tỏ đường tròn (I) và đường tròn (A, R) đựng nhau.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, AC = 12cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (B, 6cm) và (C, a cm), (a ϵ R) theo a.
Bài 7. Cho tam giác OAO’ vuông tại A có OA = 6cm, O’A = 8cm. Chứng minh đường tròn (O, 5cm) và đường tròn (O’, cm) cắt nhau tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.
Bài 8. Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
Bài 9. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài nhau cố định. Bán kính OA quay quanh O, bán kính OA’ quay quanh O’ sao cho OA luôn song song với O’A’. Gọi M là trung điểm của AA’.
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a. Đường trung trực của AC cắt đường phân giác của góc BAC tại K. Đường tròn tâm K tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp △ABC.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a và AC = 2a/3. Xác định bán kính của đường tròn tâm C để đường tròn này tiếp xúc với đường tròn (O’) tại M’.
a) Chứng minh các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B.
b) Chứng minh trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).
XEM THÊM:
- Bài giảng điện tử toán 9 dạy trên truyền hình
- GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ TOÁN LỚP 9 CẢ NĂM
- CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI ĐƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 9
- PHIẾU BÀI TẬP TUẦN TOÁN 9
- BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9
- Đề thi violympic toán lớp 9
- KẾ HOẠCH DẠY HỌC TOÁN LỚP 9
- căn bậc hai căn thức bậc hai
- Tài liệu môn toán lớp 9
- GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 9 THEO CHỦ ĐỀ
- CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN
- CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 9 NĂM 2021
- phương trình vô tỉ lớp 9 đặt ẩn phụ
- các dạng bài tập hình học lớp 9
- Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị lớp 9
- Toán lớp 9 bài 1 căn bậc hai số học
- ôn tập toán 9 hình học
- GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 9
- Chuyên đề bất đẳng thức côsi lớp 9
- GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN LỚP 9
- Bộ tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 9
- GIÁO ÁN HÌNH HỌC LỚP 9 HK1
- đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp huyện
- đề thi học sinh giỏi toán 9 hà nội
- đề hsg toán 9 cấp huyện
- các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9
- Giáo án dạy thêm toán 9 theo chủ đề
- GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ TOÁN 9
- Tự luyện violympic toán bằng tiếng anh lớp 9
- Các bài tập về giải hệ phương trình lớp 9
- Giáo án dạy thêm Toán lớp 9
- Bài tập đường tròn hình học lớp 9
- Đề thi học kì 2 môn toán lớp 9
- Các chuyên đề toán lớp 9 (file word)
- Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 9
- Chuyên đề đường tròn hình học 9
- Chuyên đề các phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình 9
- PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9
- ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II TOÁN Lớp 9
- Trắc nghiệm toán 9 ôn thi vào 10
- Trắc nghiệm toán 9 ôn thi vào 10 phần ĐẠI SỐ
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
- Giáo án môn toán lớp 9 cả năm
- Giáo án toán lớp 9 học kì 1
- Giáo án toán lớp 9 học kì 2
- Giáo Án Toán 9 Theo CV 5512
- Chuyên đề bất đẳng thức
- CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN CƠ BẢN LỚP 9
- ĐỀ THI HSG LỚP 9 MÔN TOÁN
- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 VÒNG HUYỆN
- ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 1 TOÁN 9
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 hình học
- Sách các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 9
- BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ĐẠI SỐ
- CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
- Phương trình vô tỉ nâng cao lớp 9
- Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi TOÁN 9
- Chuyên đề giải phương trình vô tỉ lớp 9
- trắc nghiệm toán 9 file word
- BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI
- Bài tập về chứng minh bất đẳng thức lớp 9
- CÁC DẠNG TOÁN LÃI SUẤT LỚP 9
- Giáo án hình học 9 theo phương pháp mới
- KIẾN THỨC TOÁN 9 CẦN NHỚ
- Các bài toán về nửa đường tròn lớp 9
- ĐỀ THI HSG TOÁN 9
- Đề cương ôn tập toán 9 học kì 2 CÓ ĐÁP ÁN
- Chuyên đề hình học 9 luyện thi 10 RẤT HAY
- Chuyên đề toán đại số 9 nâng cao
- Đề thi giữa học kì 2 lớp 9 môn toán
- Đề ôn đấu trường toán học vioedu lớp 9
- Đề thi giữa học kì 2 toán 9 có đáp án
- Đề thi học sinh giỏi toán 9 Có đáp án
- Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 9 có lời giải
- Đề thi giữa kì 2 toán 9 mới nhất
- Đề kiểm tra giữa kì 2 toán 9 có ma trận
- Đề cương ôn tập toán 9 giữa học kì 2
- câu trắc nghiệm toán 9 có đáp án
- Đề thi giữa hk2 toán 9 có đáp án
- Đề thi học kì 2 toán 9 có đáp án
- Đề Thi HK2 Toán 9 Quảng Nam
- Đề thi hk2 toán 9 có trắc nghiệm
- Đề Thi Học Kì 2 Toán 9 Quảng Nam
- Đề thi toán học kì 2 lớp 9 Quảng Nam
- Đề thi toán 9 học kì 2 có đáp án
- Đề cương ôn tập toán 9 học kì 2 violet
- Đề kiểm tra toán 9 giữa kì 2 có đáp án
- Các dạng toán đại số lớp 9
- Các dạng toán hình học lớp 9 có lời giải
- Đề ôn tập toán lớp 9 học kì 2
- Phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác
- Bài tập về tứ giác và hình thang
- lời giải tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Giải phương trình và bất phương trình lớp 9
- Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có đáp án
- Toán lớp 9 tìm x để căn thức có nghĩa
- Tìm gtln, gtnn của biểu thức lớp 9 nâng cao