Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7

Yopovn · 26/2/23

Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7

YOPOVN xin gửi đến quý thầy cô, các em Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7. Đây là bộ tài liệu Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7, các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Tìm kiếm có liên quan
Chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7
Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 8
Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 9
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7 violet
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 6
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 10
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 11
14 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

HÌNH HỌC LỚP 7

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng

A B C = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng

2. Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước

A

B

C

a

=> A, B, C thẳng hàng

AB // a
AC // a

3. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với

A

B

C

một đường thẳng cho trước:

AB ^ a
BC ^ a

=> A, B, C thẳng hàng

a

4. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của 1 góc

Þ A, O, B thẳng hàng

Tia OA là tia phân giác của
Tia OB là tia phân giác của

5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng

A

B

C

M

N

=> A, B, C thẳng hàng

A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN

C thuộc đường trung trực của MN

6. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.

B

M

C

G

A

G là trọng tâm tam giác ABC

=> A, G, M thẳng hàng

AM là trung tuyến tam giác ABC

A

7. Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng:

I

I là giao điểm 2 đường phân giác ,
AD là phân giác của

D

B

C

Þ A, I, D thẳng hàng.

8. Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó:

B

H

A

D

C

H là trực tâm DABC

AD là đường cao DABC

=> A, H, D thẳng hàng

C

A

E

B

F

O

9. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại:

O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC

EF là đường trung trực của cạnh AB

=> E, F,O thẳng hàng

10. Sử dụng phương pháp hình duy nhất

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó C thuộc hình H (hình H là đường thẳng, tia, đoạn thẳng ...) chúng ta có thể gọi C’ là giao điểm của AB với hình H tìm cách chứng minh 2 điểm C và C’ trùng nhau

B. CÁC VÍ DỤ

1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:

A B C = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng

- Ngay từ bài 1: “Hai góc đối đỉnh”, ta có thể lồng vào bài toán yếu tố “3 điểm thẳng hàng” như sau:

Ví dụ 1: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia

OB sao cho AOB = 450. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho AOC = 900. Gọi OB’ là tia phân giác của A’OC. Chứng minh ba điểm B, O, B’ thẳng hàng

Giải

A, O, A’ thẳng hàng Þ AOA’ = 1800

AOC + COA’ = AOA’

900 + COA’ = 1800

COA’ = 1800 – 900 = 900

Vì OB’ là tia phân giác của COA’

Þ COB’ = = = 450

BOB’ = BOA + AOC + COB’

= 450 + 900 + 450 = 1800

Vậy ba điểm B, O, B’ thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho góc vuông AOB và tia OC nằm trong góc đó. Vẽ tia OM sao cho tia OA là tia phân giác của COM. Vẽ tia ON sao cho tia OB là tia phân giác của CON. Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Giải

M, O, N thẳng hàng OA là tia phân giác của COM Þ COM = 2 COA

OB là tia phân giác của CON ÞCON = 2 COB

MON =COM + CON

= 2COA + 2 COB

= 2.(COA + COB)

= 2. AOB

= 2. 900

= 1800

Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng

Ví dụ 3: Cho DABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

=

/

D

M

C

B

A

Giải
Xét AMB và CMD có:

AB = DC (gt).

MA = MC (M là trung điểm AC)

Do đó: AMB = CMD (c.g.c).

Suy ra:

Mà (kề bù)

nên .

Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

Ví dụ 4: (Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học 7 tập 2).

Cho hình vẽ. Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng

Giải

A

K

C

D

B

I

1

2

3

4

KD là đường trung trực của AC
DA = DC

DADC cân tại D

Mà DK là đường trung trực

=> DK là đường phân giác

= (1)

DI là đường trung trực của AB

DA = DB

DABD cân tại D

Mà DI là đường trung trực

=> DI là đường phân giác

=> = (2)

Từ (1) và (2) suy ra + = +

Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC)

Mà suy ra => + =

=> + = + =

= + + +

Vậy ba điểm B, D, C điểm thẳng hàng.

2. Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước

=> A, B, C thẳng hàng

A

B

C

a

BC // a
AC // a

Ví dụ 1: Cho 2 góc AOM và MOB kề bù (theo hình vẽ)

Vẽ tia MC sao cho 2 góc CMO, MOA so le trong và bằng nhau

Vẽ tia MD sao cho 2 góc DMO, MOB so le trong và bằng nhau

Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng

Giải

CMO và MOA là cặp góc so le trong bằng nhau

Þ MC // OA

Mà B thuộc đường thẳng OA

Þ MC // AB

DMO và MOB là cặp góc so le trong bằng nhau

Þ MD // OB

Mà A thuộc đường thẳng OB

Þ MD // AB

Ta có MC // AB (cmt)

MD // AB (cmt)

Þ Ba điểm C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)

Ví dụ 4: Cho DABC vuông tại A. Vẽ DACD vuông tại C có CD < AB. Vẽ đường thẳng m qua A và song song với BC. E là điểm nằm trên đường thẳng m sao cho E và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, AE = BC. Chứng minh ba điểm D, C, E thẳng hàng.

Giải

Xét ABC và CEA có:

BC = EA (gt)

(hai góc so le trong vì AE // BC)

AC là cạnh chung

Vậy: ABC = CEA (c.g.c)

=>

Mà là 2 góc so le trong

=> CE // AB

Mặt khác CD ^ AC ( ACD vuông tại C)

và AB ^ AC ( ABC vuông tại A)

=> CD // AB

Ta có CE // AB, CD // AB

Theo tiên đề Ơ-Clit ta có hai đường thẳng CE, CD trùng nhau

Vậy ba điểm D, C, E thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Giải

Xét AOD và COB có:

OA = OC (vì O là trung điểm AC)

(hai góc đối đỉnh)

OD = OB (vì O là trung điểm BD)

Vậy AOD = COB (c.g.c)

Suy ra: .

Do đó: AD // BC.

Nên (ở vị trí đồng vị)

Xét DAB và CBM có :

AD = BC ( do AOD = COB),

(hai góc đồng vị)

AB = BM ( B là trung điểm AM)

Vậy DAB = CBM (c.g.c).

Suy ra . Do đó BD // CM. (1)

Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)

Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

=

/

E

D

N

M

C

B

A

Giải
Xét BMC và DMA có:

MC = MA (do M là trung điểm AC)

(hai góc đối đỉnh)

MB = MD (do M là trung điểm BD)

Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

Suy ra:

Mà là hai góc này ở vị trí so le trong

nên BC // AD (1)

Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC

nên từ (1) và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit

Suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.

3. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với

một đường thẳng cho trước:

AB ^ a
BC ^ a

=> A, B, C thẳng hàng

A

B

C

a

Ví dụ 1: Cho DABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC (H BC).

Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.

Giải

Có DADE = DABC (vì AE = AC, AD = AB, = )

E

K

C

H

B

A

D

= mà , là 2 góc so le trong
DE // BC

DAHB = DAKD (vì AB= AD, BH = DK, )

=

=> AK ^ DE

Mà DE // BC

AK ^ BC

mà AH ^ BC

Suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng.

E

D

C

B

A

Ví dụ 2: Cho DABC cân tại A, AD là đường trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ DDCE vuông tại D. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Giải

Ta có DABC cân tại A (gt)

AD là đường trung tuyến (gt)

=> AD là đường cao của DABC

=> AD ^ BC

Mà DE ^ BC (DDCE vuông tại D)

Do vậy hai đường thẳng AD, DE trùng nhau

Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng

Ví dụ 3: Cho DABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC. Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Giải

Xét ΔABM và ΔACM có:

AB =AC (gt)

AM chung

MB = MC (M là trung điểm BC)

Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c)

Suy ra: (hai góc tương ứng)

Mà (hai góc kề bù)

nên

Do đó: AM BC (đpcm)

Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).

Suy ra: (hai góc tương ứng)

mà

nên = 900 => PM ^ BC.

Lập luận tương tự QM ^ BC

Từ điểm M trên BC có AM ^ BC, PM ^ BC, QM ^ BC

Nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm)

Ví dụ 4: Cho DABC có AB = 5, AC = 12, BC = 13. Vẽ DACD sao cho AD = 16, CD = 20. Chứng minh ba điểm B, A, D thẳng hàng

Giải

Ta có AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169

BC2 = 132 = 169

Nên AB2 + AC2 = BC2

=> DABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)

=> AB ^ AC

Tương tự: DACD có AC2 + AD2 = CD 2 = 400

=> DACD vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)

=> AD ^ AC

Ta có AB ^ AC và AD ^ AC

=> Hai đường thẳng AB, AD trùng nhau

Vậy ba điểm B, A, D thẳng hàng

4. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:

Tia OA là tia phân giác của

Tia OB là tia phân giác của

Þ A, O, B thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho DABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.

A

Giải
DABM = DACM

(vì AM chung, AB = AC, MB = MC )

M

Þ =
Þ AM là tia phân giác (1)

Tương tự DABN = DACN (c.c.c)

=

C

N

B

Þ AN là tia phân giác (2)

Từ (1), (2) suy ra ba A, M, N điểm thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho . Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.

Giải

Xét ΔBOD và ΔCOD có:

OB = OC (gt)

OD chung

BD = CD (D là giao điểm của

hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính).

Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c).

Suy ra : .

Điểm D nằm trong

nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.

Do đó OD là tia phân giác của .

Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .

chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau.

Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.

5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng

A

B

C

M

N

=> A, B, C thẳng hàng

A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN

C thuộc đường trung trực của MN

Ví dụ 1: Cho DABC, DDBC và DEBC cân có chung đáy BC.

E

C

D

A

B

Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Giải

Ta có DABC cân tại A suy ra AB = AC

Þ A thuộc đường trung trực của BC (1)

DDBC cân tại D suy ra DB = DC

Þ D thuộc đường trung trực của BC (2)

DEBC cân tại E suy ra EB = EC

Þ E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng.

A

C

B

M

D

Ví dụ 2: Cho D ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng
Giải

Ta có : AB = AC (gt)

MB = MC (M là trung điểm BC)

Suy ra: AM là đường trung trực của đoạn BC (1)

D ABC có đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D

Suy ra: D là giao điểm 3 đường trung trực trong D ABC

Nên: D thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, M, D thẳng hàng

B

M

C

G

A

6. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.

G là trọng tâm tam giác ABC

=> A, G, M thẳng hàng

AM là trung tuyến tam giác ABC

Ví dụ 1: Cho DABC vuông tại A, có BC = 10cm, AC = 8cm. Lấy điểm M trên AB sao cho BM = 4cm. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N là trung điểm BD. Chứng minh ba điểm C, M, N thẳng hàng

A

C

B

M

D

N

4

Giải
Áp dụng định lý Pythagore

Tính được AB = 6cm

DDBC có BA là trung tuyến

và = = Þ BM = BA

Vậy M là trọng tâm của DDBC

N là trung điểm BD suy ra CN là trung tuyến DBDC

Trung tuyến CN phải đi qua trọng tâm M