- Tham gia
- 28/1/21
- Bài viết
- 81,456
- Điểm
- 113
tác giả
TÀI LIỆU 400 Bài tập toán hình thi vào lớp 10 CÓ ĐÁP ÁN được soạn dưới dạng file PDF gồm 567 trang. Các bạn xem và tải bài tập toán hình thi vào lớp 10 về ở dưới.
TUYỂN TẬP
400 BÀI TOÁN HÌNH
TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CÓ ĐÁP ÁN
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
PHẦN ĐÁP ÁN
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH
ÔN THI VÀO 10
Câu 1.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn
(O)
và đường kính
AB R cm = = 2 10
. Gọi
C
là trung
điểm
OA
, Qua
C
kẻ dây
MN
vuông góc với
OA
tại
C
. Gọi
K
là điểm tùy ý trên cung nhỏ
MB , H
là giao điểm
AK
và
MN
. Chứng minh:
a) Tứ giác
BHCK
nội tiếp,
AMON
là hình thoi
b)
2 AK AH R .
=
và tính diện tích hình quạt tao bởi
OM , OB
và cung
MB
c) Trên
KN
lấy
I
sao cho
KI KM =
, chứng minh
NI KB =
d) Tìm vị trí điểm
K
để chu vi tam giác
MKB
lớn nhất.
Hướng dẫn
a) Tứ giác
BHCK
nội tiếp,
AMON
là hình thoi
Vì
K
nằm trên đường tròn tâm
(O)
đường kính
AB
nên
AKB = 90 = HKB H AK 90 ( ) MN
vuông góc
AB
(gt) nên
MCB HCB H MN = = 90 90 ( )
Ta có:
HCB HKB + = + = 90 90 180 .
Mà
HCB HKB ;
là 2 góc đối nhau của tứ giác
BHCK
Tứ giác
BHCK
nội tiếp (dhnb)
+) Xét
(O) MN
là dây cung,
AB
là đường kính
Mà
MN
vuông góc
AB
tại
C
(gt)
Nên
C
là trung điểm
MN
(liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Mà
C
là trung điểm
OA
(gt)
Tứ giác
AMON
là hình bình hành (dhnb)
Mà
MN
vuông góc
OA
(gt)
Nên
AMON
là hình thoi (đpcm)
b)
2 AK AH R .
=
và tính diện tích hình quạt tao bởi
OM , OB
và cung
MB
Xét
AHC
và
ABK
có:
A
là góc chung
ACH AKB = = 90 AHC ABK ∽
(g-g)
1 2
. . 2 .
2
AH AC AH AK AB AC R R R
AB AK
= = = =
(đpcm)
Theo a)
AMON
là hình thoi nên
AM MO OA R = = =
Ta có tam giác
AMO
đều
= AMO 60 = MOB 120
(tc kề bù)
*)
2 2 120
360 3 MOB
R R S
= =
, mà
2 10 R cm =
nên
R cm = 5
. Do đó
25
3
MOB S
=
c) Trên KN lấy I sao cho KI KM = , chứng minh NI KB =
I
H
N
M
C O
A B
K
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Dễ dàng chứng minh
MB NB =
Tam giác
MNB
cân (đ/n)
Mà
MKN MBN = = 60 NMI KMB IMB NMB = + = = 60 KMB IMB KMI + = = 60 NMB MAO =
(cùng phụ với
MBA
)
Mà
60o MAO =
(tam giác
AMO
đều)
Tam giác
MNB
đều (tam giác cân có 1 góc
60
) (1)
Chứng minh tương tự ta có tam giác
MKI
cân
Mà
MKN MBN = = 60
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung
NM
)
Nên tam giác
MIK
đều.(2)
Từ 1 và 2 ta có:
NMI IMB NMB + = = 60 KMB IMB KMI + = = 60
Nên ta có:
NMI KMB =
(cùng cộng với
IMB
bằng
60
)
Xét
MNI
và
MBK
có:
+)
MI MK =
(
MIK
đều)
+)
NMI KMB =
(cmt)
+)
MN MB =
(
NMB
đều)
NI BK =
(2 cạnh tương ứng)
d) Tìm vị trí điểm
K
để chu vi tam giác
MKB
lớn nhất.
Chu vi của
= + + MKB MK KB MB
Mà
KB NI =
;
MK KI =
PMKB
= MK KB MB KI NI MB NK MB + + = + = + +
Mà
MB
cố định nên
PMKB
lớn nhất khi
NK
lớn nhất
Mà
NK
là dây cung lớn nhất khi
NK
là đường kính
Khi đó
N , O , K
thẳng hàng. Vậy
K
là điểm chính giữa cung
MB .
Câu 2.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho nửa đường tròn
(O R, )
đường kính
AB
. Bán kính
OC AB ⊥ .
Điểm
E
thuộc đoạn
OC
. Tia
AE
cắt nửa đường tròn
(O)
tại
M
. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại
M
cắt
OC
tại
D
. Chứng minh:
a)Tứ giác
OEMB
nội tiếp và
MDE
cân
b)Gọi
BM
cắt
OC
tại
K
. Chứng minh
BM BK.
không đổi khi
E
di chuyển trên
OC
và tìm vị trí của
E
để
MA MB = 2
c)Cho
0 ABE = 30
tính
quat
S MOB
và chứng minh khi
E
di chuyển trên
OC
thì tâm đường tròn ngoại tiếp
CME thuộc một đường thẳng cố định.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Hướng dẫn
a)Tứ giác
OEMB
nội tiếp và
MDE
cân
* Tứ giác
OEMB
có:
EOB EMB 180
+ =
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
OEMB
là tứ giác nội tiếp
* Vì tứ giác
OEMB
nội tiếp
= DEM OBM
(tính chất góc
ngoài tứ giác nội tiếp)
Lại có:
OBM EMD =
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung cùng chắn cung AM)
= = DEM EMD OBM DEM ( )
cân tại D (ĐPCM)
b)Gọi
BM
cắt
OC
tại
K
. Chứng minh
BM BK.
không đổi khi
E
di chuyển trên
OC
và tìm vị trí của
E
để
MA MB = 2
* có
AMB = 90
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét
AMB
và
KOB
có:
AMB KOB = = ( 90 )
ABK
là góc chung
( )
2
. . 2 . 2 AB BM AMB KOB g g BM BK AB BO R R R
BK BO
− = = = = ∽
(không đổi)
* Với
MA MB = 2
Vì
AMB
vuông tại M nên
1 1 1
tan tan tan
2 2 2 2
MB OE R MAB MAB EAO EO
MA AO
= = = = = =
Vậy để
MA MB = 2
thì E là trung điểm của OC.
c)Cho
0 ABE = 30
tính
quat
S MOB
và chứng minh khi
E
di chuyển trên
OC
thì tâm đường tròn ngoại tiếp
CME
thuộc một đường thẳng cố định.
* Ta thấy OK là đường trung trực của đoạn AB.
Mà
E OK EA EB EAB =
cân tại E.
= = = = EAB EBA MOB EAB 30 2. 60
(quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung
MB).
2 2
t
60. . .
360 6 qua
R R S MOB
= =
* Nối C với B; gọi H là trung điểm của CE, I là tâm đường tròn ngoại tiếp CEM CIE cân tại I.
I H
K
D
E
C
O
A B
M
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Do IH là đường trung tuyến nên IH đồng thời là đường cao, đường phân giác
;
2
CIE ⊥ = = IH CE CIH CME
Lại có
CME CBA =
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
= = CIH CBA CME ( ) = HCI OCB
(Vì
IH CE OB CO ⊥ ⊥ ; ) C I B , ,
thẳng hàng
I
chuyển động trên đường thẳng CB cố định ( đpcm)
Câu 3.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho
ABC
đều nội tiếp
(O R; )
kẻ đường kính
AD
cắt
BC
tại
H .
Gọi
M
là một điểm trên cung nhỏ
AC
. Hạ
BK AM ⊥
tại
K , BK
cắt
CM
tại
E , R cm = 6
. Chứng
minh:
a)Tứ giác
ABHK
nội tiếp và
MBE
cân
b)Tứ giác
BOCD
là hình thoi và gọi
BE
cắt
(O)
tại
N
và tính
quat S MON
c)Tìm vị trí của
M
để chu vi
MBE
lớn nhất và tìm quỹ tích điểm
E
khi
M
di chuyển trên cung nhỏ
AC
.
Hướng dẫn
a)Tứ giác
ABHK
nội tiếp và
MBE
cân.
* Vì
AB AC ABC = (
đều) và
OB OC R AO = = ( )
là đường trung trực của đoạn BC
⊥ AO BC
tại H
= AHB 90
Xét tứ giác
AKHB
có:
AHB AKB = = 90
Mà hai góc này ở vị trí kề nhau hoặc đối nhau.
ABHK
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB.
* Có A M C B O AMCB , , , ( ) là tứ giác nội tiếp
N
K
E
B H C
D
A
O
N
E
K
B H C
D
A
O
M
M
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 = = AME ABC 60
thầy cô, các em tải nhé!
TUYỂN TẬP
400 BÀI TOÁN HÌNH
TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CÓ ĐÁP ÁN
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
PHẦN ĐÁP ÁN
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH
ÔN THI VÀO 10
Câu 1.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn
(O)
và đường kính
AB R cm = = 2 10
. Gọi
C
là trung
điểm
OA
, Qua
C
kẻ dây
MN
vuông góc với
OA
tại
C
. Gọi
K
là điểm tùy ý trên cung nhỏ
MB , H
là giao điểm
AK
và
MN
. Chứng minh:
a) Tứ giác
BHCK
nội tiếp,
AMON
là hình thoi
b)
2 AK AH R .
=
và tính diện tích hình quạt tao bởi
OM , OB
và cung
MB
c) Trên
KN
lấy
I
sao cho
KI KM =
, chứng minh
NI KB =
d) Tìm vị trí điểm
K
để chu vi tam giác
MKB
lớn nhất.
Hướng dẫn
a) Tứ giác
BHCK
nội tiếp,
AMON
là hình thoi
Vì
K
nằm trên đường tròn tâm
(O)
đường kính
AB
nên
AKB = 90 = HKB H AK 90 ( ) MN
vuông góc
AB
(gt) nên
MCB HCB H MN = = 90 90 ( )
Ta có:
HCB HKB + = + = 90 90 180 .
Mà
HCB HKB ;
là 2 góc đối nhau của tứ giác
BHCK
Tứ giác
BHCK
nội tiếp (dhnb)
+) Xét
(O) MN
là dây cung,
AB
là đường kính
Mà
MN
vuông góc
AB
tại
C
(gt)
Nên
C
là trung điểm
MN
(liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Mà
C
là trung điểm
OA
(gt)
Tứ giác
AMON
là hình bình hành (dhnb)
Mà
MN
vuông góc
OA
(gt)
Nên
AMON
là hình thoi (đpcm)
b)
2 AK AH R .
=
và tính diện tích hình quạt tao bởi
OM , OB
và cung
MB
Xét
AHC
và
ABK
có:
A
là góc chung
ACH AKB = = 90 AHC ABK ∽
(g-g)
1 2
. . 2 .
2
AH AC AH AK AB AC R R R
AB AK
= = = =
(đpcm)
Theo a)
AMON
là hình thoi nên
AM MO OA R = = =
Ta có tam giác
AMO
đều
= AMO 60 = MOB 120
(tc kề bù)
*)
2 2 120
360 3 MOB
R R S
= =
, mà
2 10 R cm =
nên
R cm = 5
. Do đó
25
3
MOB S
=
c) Trên KN lấy I sao cho KI KM = , chứng minh NI KB =
I
H
N
M
C O
A B
K
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Dễ dàng chứng minh
MB NB =
Tam giác
MNB
cân (đ/n)
Mà
MKN MBN = = 60 NMI KMB IMB NMB = + = = 60 KMB IMB KMI + = = 60 NMB MAO =
(cùng phụ với
MBA
)
Mà
60o MAO =
(tam giác
AMO
đều)
Tam giác
MNB
đều (tam giác cân có 1 góc
60
) (1)
Chứng minh tương tự ta có tam giác
MKI
cân
Mà
MKN MBN = = 60
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung
NM
)
Nên tam giác
MIK
đều.(2)
Từ 1 và 2 ta có:
NMI IMB NMB + = = 60 KMB IMB KMI + = = 60
Nên ta có:
NMI KMB =
(cùng cộng với
IMB
bằng
60
)
Xét
MNI
và
MBK
có:
+)
MI MK =
(
MIK
đều)
+)
NMI KMB =
(cmt)
+)
MN MB =
(
NMB
đều)
NI BK =
(2 cạnh tương ứng)
d) Tìm vị trí điểm
K
để chu vi tam giác
MKB
lớn nhất.
Chu vi của
= + + MKB MK KB MB
Mà
KB NI =
;
MK KI =
PMKB
= MK KB MB KI NI MB NK MB + + = + = + +
Mà
MB
cố định nên
PMKB
lớn nhất khi
NK
lớn nhất
Mà
NK
là dây cung lớn nhất khi
NK
là đường kính
Khi đó
N , O , K
thẳng hàng. Vậy
K
là điểm chính giữa cung
MB .
Câu 2.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho nửa đường tròn
(O R, )
đường kính
AB
. Bán kính
OC AB ⊥ .
Điểm
E
thuộc đoạn
OC
. Tia
AE
cắt nửa đường tròn
(O)
tại
M
. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại
M
cắt
OC
tại
D
. Chứng minh:
a)Tứ giác
OEMB
nội tiếp và
MDE
cân
b)Gọi
BM
cắt
OC
tại
K
. Chứng minh
BM BK.
không đổi khi
E
di chuyển trên
OC
và tìm vị trí của
E
để
MA MB = 2
c)Cho
0 ABE = 30
tính
quat
S MOB
và chứng minh khi
E
di chuyển trên
OC
thì tâm đường tròn ngoại tiếp
CME thuộc một đường thẳng cố định.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Hướng dẫn
a)Tứ giác
OEMB
nội tiếp và
MDE
cân
* Tứ giác
OEMB
có:
EOB EMB 180
+ =
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
OEMB
là tứ giác nội tiếp
* Vì tứ giác
OEMB
nội tiếp
= DEM OBM
(tính chất góc
ngoài tứ giác nội tiếp)
Lại có:
OBM EMD =
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung cùng chắn cung AM)
= = DEM EMD OBM DEM ( )
cân tại D (ĐPCM)
b)Gọi
BM
cắt
OC
tại
K
. Chứng minh
BM BK.
không đổi khi
E
di chuyển trên
OC
và tìm vị trí của
E
để
MA MB = 2
* có
AMB = 90
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét
AMB
và
KOB
có:
AMB KOB = = ( 90 )
ABK
là góc chung
( )
2
. . 2 . 2 AB BM AMB KOB g g BM BK AB BO R R R
BK BO
− = = = = ∽
(không đổi)
* Với
MA MB = 2
Vì
AMB
vuông tại M nên
1 1 1
tan tan tan
2 2 2 2
MB OE R MAB MAB EAO EO
MA AO
= = = = = =
Vậy để
MA MB = 2
thì E là trung điểm của OC.
c)Cho
0 ABE = 30
tính
quat
S MOB
và chứng minh khi
E
di chuyển trên
OC
thì tâm đường tròn ngoại tiếp
CME
thuộc một đường thẳng cố định.
* Ta thấy OK là đường trung trực của đoạn AB.
Mà
E OK EA EB EAB =
cân tại E.
= = = = EAB EBA MOB EAB 30 2. 60
(quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung
MB).
2 2
t
60. . .
360 6 qua
R R S MOB
= =
* Nối C với B; gọi H là trung điểm của CE, I là tâm đường tròn ngoại tiếp CEM CIE cân tại I.
I H
K
D
E
C
O
A B
M
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Do IH là đường trung tuyến nên IH đồng thời là đường cao, đường phân giác
;
2
CIE ⊥ = = IH CE CIH CME
Lại có
CME CBA =
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
= = CIH CBA CME ( ) = HCI OCB
(Vì
IH CE OB CO ⊥ ⊥ ; ) C I B , ,
thẳng hàng
I
chuyển động trên đường thẳng CB cố định ( đpcm)
Câu 3.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho
ABC
đều nội tiếp
(O R; )
kẻ đường kính
AD
cắt
BC
tại
H .
Gọi
M
là một điểm trên cung nhỏ
AC
. Hạ
BK AM ⊥
tại
K , BK
cắt
CM
tại
E , R cm = 6
. Chứng
minh:
a)Tứ giác
ABHK
nội tiếp và
MBE
cân
b)Tứ giác
BOCD
là hình thoi và gọi
BE
cắt
(O)
tại
N
và tính
quat S MON
c)Tìm vị trí của
M
để chu vi
MBE
lớn nhất và tìm quỹ tích điểm
E
khi
M
di chuyển trên cung nhỏ
AC
.
Hướng dẫn
a)Tứ giác
ABHK
nội tiếp và
MBE
cân.
* Vì
AB AC ABC = (
đều) và
OB OC R AO = = ( )
là đường trung trực của đoạn BC
⊥ AO BC
tại H
= AHB 90
Xét tứ giác
AKHB
có:
AHB AKB = = 90
Mà hai góc này ở vị trí kề nhau hoặc đối nhau.
ABHK
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB.
* Có A M C B O AMCB , , , ( ) là tứ giác nội tiếp
N
K
E
B H C
D
A
O
N
E
K
B H C
D
A
O
M
M
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 = = AME ABC 60
thầy cô, các em tải nhé!