- Tham gia
- 28/1/21
- Bài viết
- 81,447
- Điểm
- 113
tác giả
TUYỂN TẬP 11 Đề khảo sát học sinh giỏi toán 9 CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2022 - 2023 được soạn dưới dạng file word gồm 11 FILE trang. Các bạn xem và tải đề khảo sát học sinh giỏi toán 9 về ở dưới.
Bài 1: (5,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình:
2. Giải phương trình:
Bài 2: (5,0 điểm).
Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 3: (5,0 điểm).
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O). Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Gọi G, I lần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG. Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M.
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Chứng minh rằng .
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa giác đều có 2n đỉnh . Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn .
- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC.
- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số.
Bài 1: (5,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình:
2. Giải phương trình:
Bài 2: (5,0 điểm).
1.Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.Cho đa thức Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30.
Tính giá trị biểu thức
Bài 3: (5,0 điểm).
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O). Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Gọi G, I lần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG. Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M.
1.Chứng minh HO là phân giác của góc
2.Chứng minh
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Chứng minh rằng .
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa giác đều có 2n đỉnh . Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn .
--------------------------------HẾT--------------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
(Đề bài gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm).
a) Cho . Rút gọn và tính giá trị của M khi
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=14 và
Chứng minh rằng:
Câu 2. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Cho a, b, c, k là các số tự nhiên thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = a + b + c + k2 – 2k + 1
Chứng minh rằng k - 1 chia hết cho 3.
b) Tìm x, y nguyên biết: 7x2 + y2 + 4xy + 12x + 5 = 0
Câu 4: (3 điểm).
1) Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Các đường phân giác của góc BAH, CAH cắt BC lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh: BC.EH2 = CH.BE2 và tâm đường tròn nội tiếp DAEF trùng với tâm đường tròn nội tiếp DABC.
b) Kí hiệu d1, d2 lần lượt là các đường thẳng vuông góc với BC tại E, F. Chứng minh rằng d1, d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp DABC.
2) Cho tam giác ABC, Gọi lA, lB, lC lần lượt là độ dài các đường phân giác trong của góc A, B, C. Chứng minh rằng và
Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 9
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chữ kí của giám thị 1 .................. Chữ kí của giám thị 2...................
Câu 1. (4,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
2. Cho là những số hữu tỉ, là một số nguyên tố thoả mãn . Tính giá trị biểu thức: A =
Câu 2 ( 4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: 2) Cho ; ; là các số tự nhiên thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chính phương.
Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm đường tròn . Điểm nằm bên ngoài đường tròn tâm . Qua vẽ hai tiếp tuyến , với đường tròn ( , là các tiếp điểm). Gọi , lần lượt là trung điểm của , ; là giao điểm của với . Lấy điểm bất kì trên đường tròn ( khác và ). Qua vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm , tiếp tuyến này cắt đường thẳng tại .
a) Chứng minh rằng: ;
b) Chứng minh rằng: .
c) Tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi , ,
lần lượt là giao điểm của các đường thẳng với , với , với . Chứng minh rằng: .
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm.
2) Cho biểu thức: , với .
Hãy so sánh và
Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho và thỏa mãn: . Chứng minh .
2) Giải phương trình: .
Bài 3. (6,0 điểm)
Cho đường tròn và đường thẳng (không đi qua tâm ) cắt đường tròn tại hai điểm và . Kẻ đường kính của đường tròn . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại điểm thứ hai là và cắt tại điểm .
1) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn và là trung điểm của
2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: .
3) Chứng minh rằng: và tiếp tuyến tại của đường tròn đồng quy.
Bài 4. (3,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: .
2) Cho là các số tự nhiên thỏa mãn chia hết cho . Chứng minh rằng: là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.
Bài 5. (3,0 điểm)
1) Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
2) Trên bảng ghi bốn số: và . Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi hai số bất kì, chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao?
---------Hết---------
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. Những điều cần lưu ý:
Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương.
Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm.
Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn.
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , hai tiếp tuyến tại a của cắt BC tại M. Kẻ tiếp tuyến MD của . Gọi G, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
1. và .
2. .
3. G là trung điểm của EF.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB . Xác định vị trí điểm I sao cho tổng nhỏ nhất.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
---Hết---
1.
Ta có: ; ;
Do đó,
2.
Nhận thấy không thỏa mãn phương trình đã cho. Chia hai vế của phương trình cho , ta được phương trình
Đặt , phương trình (1) trở thành
Phương trình (2) có 2 nghiệm là 1 và -3
Phương trình đã cho tương đương với
Câu 2. (4,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
Để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho nằm ở hai phía trục tung thì phương trình phải có hai nghiệm trái dấu
Từ đó suy ra được: .
Với .
Với .
Kiểm tra bằng đồ thị, hai cặp điểm tìm được thỏa mãn điều kiện tứ giác là tứ giác lồi.
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên thỏa .
2. Tìm số chính phương , biết rằng .
1. Phương trình đã cho: được viết dưới dạng:
Biệt thức
Đặt
Do và chẵn nên
và chẵn, dương.
TH 1: không có nghiệm nguyên.
TH 1:
Với thì . Vậy là giá trị cần tìm.
2. Vì là các số nguyên tố từ 0 đến 9, và là số chính phương nên và . ĐK:
Ta có
Do nên
Mà là số nguyên tố nên
Suy ra:
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , hai tiếp tuyến tại a của cắt BC tại M. Kẻ tiếp tuyến MD của . Gọi G, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
1. và .
2. .
3. G là trung điểm của EF.
Ta có:
(góc nội tiếp cùng chắn )
Kẻ đường kính của vuông tại
Do đó,
và
Mà MA = MB nên
Kẻ
* Tứ giác có: nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Khi đó, áp dụng câu 1) ta có:
Tương tự, tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên
(1)
* Tứ giác nội tiếp nên và tứ giác nội tiếp nên nên
Có (do tứ giác nội tiếp)
thẳng hàng (2)
Từ (1), (2) suy ra là trung điểm của
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB . Xác định vị trí điểm I sao cho tổng nhỏ nhất.
Kẻ , . Suy ra các tứ giác là hình chữ nhật.
Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:
Vì nên
Dấu “=” xảy ra khi là trung điểm của .
Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
hay (1)
Tương tự có, (2)
và (3)
Lấy (1) + (2) + (3), ta được:
Mà
Vì nên thay bởi ta được
Từ (*), (**) suy ra
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
| KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Môn thi : TOÁNLỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 - 2023 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023 |
Bài 1: (5,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình:
2. Giải phương trình:
Bài 2: (5,0 điểm).
Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
- Cho đa thức Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30.
- Tính giá trị biểu thức
Bài 3: (5,0 điểm).
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O). Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Gọi G, I lần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG. Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M.
- Chứng minh HO là phân giác của góc
- Chứng minh
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Chứng minh rằng .
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa giác đều có 2n đỉnh . Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn .
-----------------HẾT------------------
ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Môn thi : TOÁNLỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 - 2023 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023 |
Môn: TOÁN
Lưu ý khi chấm bài
- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC.
- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số.
Bài 1: (5,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình:
2. Giải phương trình:
Ý | Đáp án | Điểm |
1). Giải hệ phương trình: | ||
1. (2,5 điểm) | 0,25 0,25 | |
(loại) | 0,25 0,25 | |
Ta có : vì Mà vô nghiệm | 0,25 0,25 0,25 0,25 | |
Vậy hệ có 2 nghiệm | 0,25 | |
2). Giải phương trình: | ||
2.(2,5 điểm) | Vì với ĐK | 0,25 |
Ta có: | 0,25 0,25 | |
Vì x = 0 không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho x2 ta được: | 0,25 | |
Đặt phương trình trở thành | 0,25 0,25 | |
Với loại vì x2 – 3x + 1 < 0 loại vì x2 – 3x + 1 < 0 | 0,25 0,25 | |
Với y = 2 | 0.25 | |
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 | 0,25 |
1.Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.Cho đa thức Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30.
Tính giá trị biểu thức
Ý | Đáp án | Điểm |
1). Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . | ||
1.(2,5 điểm) | Ta có : | 0,25 |
Đặt | 0,25 | |
Khi đó | 0,25 | |
0, 5 | ||
Vì , , | 0,5 | |
Dấu “ =” có khi | 0,5 | |
Vậy GTNN của P = 16 khi x = 2, y = 4 | 0,25 | |
2).Cho đa thức Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30. Tính giá trị biểu thức | ||
2.(2,5 điểm) | P(1) = 10 ó a + b + c + d = 9 jmn P(2) = 20 ó 8a + 4b + 2c + d = 4 ó 16a = 8b + 4c + 2d = 8 k P(3) = 30 ó 27a + 9b + 3c + d = – 51 l Lấy l + j – k ta được 6a + b = – 25 P(12) = 20736 + 1728a + 133b + 12c + d P(– 8) = 4096 – 512a + 64b – 8c + d P(12) + P(– 8) = 1216a + 208b + 4c + 2d + 24832 = 1214a + 206b + 2c +2(a + b + c + d) + 24832 = 1188a + 198b + (26a + 8b + 2c) + 2.9 + 24832 = 198(6a + b) – 60 + 24850 = 19840 | 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 |
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O). Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Gọi G, I lần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG. Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M.
1.Chứng minh HO là phân giác của góc
2.Chứng minh
Ý | Đáp án | Điểm |
1. (2,5 điểm ) | 1.Chứng minh HO là phân giác của góc | |
Ta có : ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) | 0,25 | |
0,25 | ||
Tương tự ta có : mà | 0,25 | |
năm điểm H, K, G, P, I cùng nằm trên đường tròn đường kính KP vì tứ giác HIPG nội tiếp | 0,25 | |
0.25 | ||
mà | 0,25 | |
| hay | 0,25 |
Suy ra tứ giác IHDO nội tiếp | 0,25 | |
0,25 | ||
hay HO là phân giác của | 0,25 | |
2. (2,5 điểm) | Ta có ( Do hay ) | 0,25 |
mà vuông tại I nên | 0,25 | |
hay | 0,25 | |
suy ra AHKD là tứ giác nội tiếp (*) | 0,25 | |
Mặt khác | 0,25 | |
0,25 | ||
0,25 | ||
Ta chứng minh được | 0,25 | |
Từ (1) và (2) suy ra PM.PH = PA.PD hay tứ giác HIMD nội tiếp(**) | | |
Từ (*) và (**) suy ra năm điểm A, H, K, D, M thuộc một đường tròn Suy ra tứ giác HKDM nội tiếp | 0,25 | |
Hay | 0,25 |
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Chứng minh rằng .
Ý | Đáp án | Điểm |
| Ta có : Đặt AB = c, BC = a, AC = b | 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 |
Ta có : | 0, 5 | |
Tương tự : | 0, 5 | |
0,25 | ||
Dấu “ =” xẩy ra ( vô lý ) | 0,25 | |
( đpcm) | 0,25 |
Cho đa giác đều có 2n đỉnh . Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn .
Ý | Đáp án | Điểm |
| Giả sử đa giác Nội tiếp ( O ). Ta thấy các đỉnh tạo ra các cung AiAi+1 có số đo Có 2n đỉnh chứa góc > 100o tại đó Gọi tam giác Am AiAp là tam giác thỏa mãn yêu cầu với Giả sử : chắn x cung có số đo và chắn y cung có số đo (x , y là các số tự nhiên khác 0) | 0,25 0,25 0,25 |
0,25 | ||
mà | 0,25 | |
Khi đó tồn tại Để x +y +z =k (1) Khi đó cặp số ( x;y) thỏa mãn (1) là số tam giác AmAiAp thỏa mãn | 0,25 | |
Ta có : x = 1 => tồn tại k – 1 số y X =2 => tồn tại k – 2 số y X = 3 tồn tại k – 3 số y ........ X= k tồn tại có 1 số y | 0,25 | |
Khi đó tổng bộ ( x;y) là 1+2+3+...+( k-1) =(k-1).k/2 Vậy tổng số tam giác là Với | 0,25 |
--------------------------------HẾT--------------------------------
UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO | ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNHNĂM HỌC 2022-2023 |
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
(Đề bài gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm).
a) Cho . Rút gọn và tính giá trị của M khi
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=14 và
Chứng minh rằng:
Câu 2. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Cho a, b, c, k là các số tự nhiên thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = a + b + c + k2 – 2k + 1
Chứng minh rằng k - 1 chia hết cho 3.
b) Tìm x, y nguyên biết: 7x2 + y2 + 4xy + 12x + 5 = 0
Câu 4: (3 điểm).
1) Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Các đường phân giác của góc BAH, CAH cắt BC lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh: BC.EH2 = CH.BE2 và tâm đường tròn nội tiếp DAEF trùng với tâm đường tròn nội tiếp DABC.
b) Kí hiệu d1, d2 lần lượt là các đường thẳng vuông góc với BC tại E, F. Chứng minh rằng d1, d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp DABC.
2) Cho tam giác ABC, Gọi lA, lB, lC lần lượt là độ dài các đường phân giác trong của góc A, B, C. Chứng minh rằng và
Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 9
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
---------------HẾT----------------
Họ và tên học sinh..............................................Số báo danh:...........................
Họ và tên học sinh..............................................Số báo danh:...........................
Chữ kí của giám thị 1 .................. Chữ kí của giám thị 2...................
UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO | HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN – LỚP 9 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) | |||||
Câu | Ý | Nội dung | Điểm | |||
1 | a | (ĐK: x >1 hoặc x ≤ -1) | 0,25 | |||
x > 1 Þ | 0,25 | |||||
x ≤ -1 Þ | 0,25 | |||||
Khi < -1Þ | 0,25 | |||||
b | Ta có: Û Û | 0,25 | ||||
Do đó: Tương tự ta có: | 0,25 | |||||
Suy ra: | 0,25 | |||||
0,25 | ||||||
2 | a | ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 1 Phương trình đã cho Û Û (a – b) (ab + 1) = 0 | 0,25 | |||
Đặt (a ≥ 0), (b ≥ 0) khi đó x = 1 – b2 Ta có phương trình 2 (1 - b2)a + (a + b)ab = a + b | 0,25 | |||||
Vì ab +1 >0 nên a = b Khi đó ta được phương trình | 0,25 | |||||
Tìm được thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của pt đã cho | 0,25 | |||||
b | Từ phương trình (1) ta suy ra: 9 = 12x – 3x2 – 3y2 thế vào phương trình (2) thu gọn ta được: | 0,25 | ||||
* Nếu x + y = 0 Û y = -x Þ y2 = x2 thế vào phương trình (1) ta được 2x2 + 3 = 4x Û 2(x - 1)2 + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm. | 0,25 | |||||
* Nếu x2 – xy + y2 – 3x + 3y = 0, trừ vế theo vế của phương trình này với phương trình (1) ta được: | 0,25 | |||||
+ Nếu x = 3 thay vào phương trình (1) ta suy ra y2 = 0 suy ra y =0 Þ (x; y) = (3; 0) thỏa mãn phương trình (2). + Nếu y = 1 thay vào phương trình (1) ta suy ra (x - 2)2 = 0 Þ x = 2 Þ (x; y) = (2; 1) thỏa mãn phương trình (2). Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3; 0), (2;1) | 0,25 | |||||
3 | a | Bài toán phụ: Với x là số tự nhiên. Chứng minh rằng: x3 – x luôn chia hết cho 3 Chứng minh: Ta có: x3 – x = x(x - 1)(x + 1) Do đó: x3 – x luôn chia hết cho 3 | 0,25 | |||
Ta có: a3 + b3 + c3 = a + b + c + k2 - 2k + 1 Hay a3 – a + b3 – b + c3 – c = k2 – 2k +1 Hay: (k - 1)2 = a3 – a + b3 – b + c3 - c | 0,25 | |||||
Áp dụng bài toán ta có: Nên: | 0,25 | |||||
Mà 3 là số nguyên tố Nên: (đpcm) | 0,25 | |||||
b | Ta có: 7x2 + y2 + 4xy + 12x + 5 = 0 Û 4x2 + 4xy + y2 + 3x2 + 12x + 12 – 7 = 0 Û (2x + y)2 + 3(x + 2)2 = 7 | 0,25 | ||||
Suy ra: 0 ≤ 3(x + 2)2 ≤ 7 Hay: 0 ≤ (x + 2)2 ≤ 2 Do đó: (x + 2)2 Î {0; 1} | 0,25 | |||||
Ta có các trường hợp: +) (x + 2)2 = 0 Khi đó (2x + y)2 = 7 (loại) +) (x + 2)2 = 1 | 0,25 | |||||
Khi đó (2x + y)2 = 4 Nên: x = -1 hoặc x = -3 Nghiệm của phương trình (x; y)Î{(-1;4); (-1;0); (-3;8); (-3;4)} | 0,25 | |||||
4 | 1a | | | |||
Vì AE là phân giác góc BAH, ta có: | 0,25 | |||||
0,25 | ||||||
Gọi O là giao điểm 2 đường phân giác trong góc B, C. Þ O là tâm đường tròi tròn nội tiếp DABC Ta có: ÞDAEC cân tại CÞCO là phân giác góc ACE đồng thời là trung trực của AE | 0,25 | |||||
CMTT: BO là trung trực của AE Þ O là tâm đường tròn ngoại tiếp DAEF => ÐPCM | 0,25 | |||||
1b | Kẻ OM, ON, OP lần lượt vuông góc với BC, d1, d2, gọi K là giao điểm của AO với BC. Có: | 0,25 | ||||
Mà OE = OF Þ DEOF vuông cân tại O Þ OM = EM = FM | 0,25 | |||||
Chứng minh được: ON = ME; OP = MF | 0,25 | |||||
Þ OM = ON = OP Þ d1, d2, tiếp xúc với đường tròn nội tiếp | 0,25 | |||||
2 | Chứng minh được công thức bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên. | 0,25 | ||||
Ta có: Mà | 0,25 | |||||
Þ Tương tự: | 0,25 | |||||
Ta có: Þ | 0,25 | |||||
5 | Ta chứng minh được: với a, b là các số dương ta có và . Dấu bằng xảy ra khi a = b | 0,25 | ||||
Khi đó ta có: Áp dụng BĐT Cô-si ta được: | 0,25 | |||||
Chứng minh tương tự ta được Cộng ba BĐT cùng chiều ta được: M ≥ x + y - 3 + y + z – 3 + z + x – 3 Û M ≥ 2 (x + y + z) – 9 Û M ≥ 2.9 – 9 Û M ≥ 9 | 0,25 | |||||
Dấu bằng xảy ra khi Vậy GTNN của M là 9 đạt được khi x = y = z = 3 | 0,25 | |||||
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO | ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Môn: Toán - Năm học 2022 - 2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 5 câu, gồm 01 trang |
Rút gọn biểu thức:
P =
2. Cho là những số hữu tỉ, là một số nguyên tố thoả mãn . Tính giá trị biểu thức: A =
Câu 2 ( 4,0 điểm)
- Giải các phương trình:
- Giải hệ phương trình
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: 2) Cho ; ; là các số tự nhiên thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chính phương.
Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm đường tròn . Điểm nằm bên ngoài đường tròn tâm . Qua vẽ hai tiếp tuyến , với đường tròn ( , là các tiếp điểm). Gọi , lần lượt là trung điểm của , ; là giao điểm của với . Lấy điểm bất kì trên đường tròn ( khác và ). Qua vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm , tiếp tuyến này cắt đường thẳng tại .
a) Chứng minh rằng: ;
b) Chứng minh rằng: .
c) Tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi , ,
lần lượt là giao điểm của các đường thẳng với , với , với . Chứng minh rằng: .
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
---------------------------------- Hết ------------------------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
Câu | Nội dung | | ||||||
I | ĐK : -1 < x < 0 Đặt , (a>0)ta có: P = = = = = Vậy khi -1 < x < 0 thì A=-1 | 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 | ||||||
2) Giả sử là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại tự nhiên sao cho và Mà p nguyên tố nên m chia hết cho (1) Đặt nguyên) Ta có: . Suy ra n2 chia hết cho . Suy ra n chia hết cho (2) Từ (1) và (2) ta thấy m, n có một ước chung là p nguyên tố. (Vô lý vì ) Do đó là số vô tỉ - Nếu thì là số hữu tỉ. Mâu thuẫn - Do đó . Suy ra Khi đó a+b =0 Nên A = =0 Vậy A = =0 | 0.25 0.5 0.5 0.5 | |||||||
| 1. (2 điểm) Điều kiện: Phương trình tương đương với - Xét Ta sẽ chứng minh A < 0, tức là: Điều này hiển nhiên đúng. - Giải phương trình x2 – 11x + 24 = 0 ( thoả mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3; x = 8 | 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 | ||||||
|
| 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 | ||||||
Ta có: Đặt , phương trình trên trở thành: Vì
⟹ Do 3 nên từ (1) ⟹ d ≠ 3 ⟹ d = 1 Các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương nên mỗi số đều là số chính phương. Nhưng nên không thể là số chính phương. Như vậy không tồn tại cặp số tự nhiên thoả mãn điều kiện đề bài. | 0.25 0.5 0.5 | |||||||
| 2) Ta có: Đặt (với ) . Vì . Mà . Ta có . Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau, mà là số chính phương nên là số chính phương. | 0.5 0.5 | ||||||
| a) Ta có cân tại suy ra cân tại suy ra Suy ra là đường trung trực của suy ra tại trung điểm của . Xét vuông tại có đường cao nên . Vì là đường trung bình của nên . b) Chứng minh vuông tại , ta có: Vì , . Gọi là giao điểm của và , ta có: Do , là trung điểm của là trung điểm của Từ và suy ra . c) Ta có: Tương tự: ; Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: và Dấu xảy ra khi là tam giác đều. | 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 | ||||||
|
| 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 |
- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm.
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠOHUYỆN NAM TRỰC | ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút(Đề thi gồm 01 trang) |
Bài 1. (4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: .2) Cho biểu thức: , với .
Hãy so sánh và
Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho và thỏa mãn: . Chứng minh .
2) Giải phương trình: .
Bài 3. (6,0 điểm)
Cho đường tròn và đường thẳng (không đi qua tâm ) cắt đường tròn tại hai điểm và . Kẻ đường kính của đường tròn . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại điểm thứ hai là và cắt tại điểm .
1) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn và là trung điểm của
2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: .
3) Chứng minh rằng: và tiếp tuyến tại của đường tròn đồng quy.
Bài 4. (3,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: .
2) Cho là các số tự nhiên thỏa mãn chia hết cho . Chứng minh rằng: là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.
Bài 5. (3,0 điểm)
1) Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
2) Trên bảng ghi bốn số: và . Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi hai số bất kì, chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao?
---------Hết---------
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. Những điều cần lưu ý:
Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương.
Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm.
Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn.
II. Nội dung
Câu | Nội dung | Điểm |
Bài 1.(4,0đ) | 1) Rút gọn biểu thức: . 2) Cho biểu thức: , với . Hãy so sánh và | |
1) | Rút gọn biểu thức: | 0,25 0,5 0,5 0,25 |
2) | Với , ta có: Chứng minh được . Dấu “=” xảy ra khi . KL: Vậy | 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 |
Bài 2. (4,0đ) | 1) Cho và thỏa mãn: . Chứng minh: . 2) Giải phương trình: . | |
1) | Ta có: (đpcm) Ghi chú: Có thể sử dụng BĐT dạng để đánh giá Đẳng thức xảy ra khi . | 0,5 0,5 0,5 0,5 |
2) | Điều kiện: . Đặt , khi đó phương trình trở thành: Suy ra: (thỏa mãn). KL: Phương trình có tập nghiệm là . | 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 |
Bài 3. (6,0đ) | Cho đường tròn và đường thẳng (không đi qua tâm ) cắt đường tròn tại hai điểm và . Kẻ đường kính của đường tròn . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại điểm thứ hai là và cắt tại điểm .
| |
| | |
1) | là tiếp tuyến của tại vuông tại nội tiếp trong đường tròn đường kính . đường tròn đường kính vuông tại . Xét có: tại và là bán kính của là tiếp tuyến của tại . đường tròn đường kính vuông tại . Xét có: dây tại là trung điểm của . | 0,5 1,0 0,5 |
2) | Gọi là giao điểm của và Cm được: tai . được: (1) được: (2) được: (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: (đpcm) | 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 |
3) | Gọi là giao điểm của và . được: (4) được: (5) Từ (4) và (5) suy ra Xét và có: chung góc Do đó và đồng dạng Xét có: tại là tiếp tuyến của tại . Vậy và tiếp tuyến tại của đường tròn đồng quy tại một điểm. | 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 |
Bài 4. (3,0đ) | 1) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: . 2) Cho là các số tự nhiên thỏa mãn chia hết cho . Chứng minh rằng: là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau. | |
1) | Giả sử tồn tại nguyên thỏa mãn phương trình . Ta có: Từ suy ra . (1) Từ suy ra: mà nên lẻ (2) Từ (1) và (2) ta được . Thử lại ta thấy là những cặp số nguyên thỏa mãn. | 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 |
2) | Nếu là hai số chẵn thì không chia hết cho 4 và chia hết cho 4 suy ra không chia hết cho (loại) Nếu khác tính chẵn lẻ thì lẻ và chẵn, do đó không chia hết cho (loại) Vậy là những số lẻ. Gọi mà nên 2022: . Mặt khác tức 2022 không có ước chính phương nào ngoài 1, do đó Vậy là hai số nguyên tố cùng nhau. | 0,5 0,5 0,5 |
Bài 5. (3,0đ) | 1) Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 2) Trên bảng ghi bốn số: và . Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi hai số bất kì, chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao? | |
1) | Áp dụng bất đăng thức : Cộng từng vế của 3 BĐT trên ta được: (1) Áp dụng BĐT Bunhiacopski: (2) Từ và (2) suy ra . Dấu "=" xảy ra khi . Vậy có GTLN bằng 14 khi . Ghi chú: Có thể đánh giá bởi các đánh giá: | 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 |
2) | Nếu bốn số được ghi trên bảng là thì tổng các nghịch đảo của chúng là Khi xóa đi hai số chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại, khi đó bốn số trên bảng là: Ta có: Khi đó: Như vậy sau mỗi lần thay đổi thì tổng nghịch đảo của bốn số đã cho không đổi. Mặt khác với bốn số trên bảng thì Giả sử sau một số lần thay đổi ta thu được bốn số ; đều bé hơn 1 . Khi đó ta có . Điều này dẫn mâu thuẫn. Do đó sau một quá trình thay đổi ta không thể thu được bốn số đều bé hơn 1 . Ghi chú: Ta cũng có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau: Khi xóa đi hai số chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại, khi đó bốn số trên bảng là: Khi đó ta được . Như vậy sau mỗi lần thay đổi ta thu được bốn số có tổng lớn hơn bốn số cũ. Do đó Vì vậy không thể tồn tại bốn số mới đều nhỏ hơn 1 . | 0,5 0,25 0,25 |
9
Học sinh giỏi
Tỉnh Đắk Lắk
9 |
Học sinh giỏi |
- Giáo viên góp đề: Nguyễn Thị Linh Thảo + 0979 737 939
- Giáo viên góp đề: Thanh Bùi + 0979 165 587
- Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện.
- Rút gọn biểu thức .
- Giải phương trình .
- Cho parabol và đường thẳng . Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho nằm ở hai phía trục tung.
- Cho hàm số có đồ thị là parabol và một điểm . Hăy tìm hai điểm trên và có tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác là một tứ giác lồi có diện tích bằng (đơn vi trên các trục tọa độ là cm).
- Tìm các cặp số nguyên thỏa .
- Tìm số chính phương , biết rằng .
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , hai tiếp tuyến tại a của cắt BC tại M. Kẻ tiếp tuyến MD của . Gọi G, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
1. và .
2. .
3. G là trung điểm của EF.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB . Xác định vị trí điểm I sao cho tổng nhỏ nhất.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
---Hết---
HƯỚNG DẪN GIẢI
- Giáo viên góp đề: Nguyễn Thị Linh Thảo + 0979 737 930
- Giáo viên góp đề: Thanh Bùi + 0979 165 587
- Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện.
- Rút gọn biểu thức .
- Giải phương trình .
Lời giải
1.
Ta có: ; ;
Do đó,
2.
Nhận thấy không thỏa mãn phương trình đã cho. Chia hai vế của phương trình cho , ta được phương trình
Đặt , phương trình (1) trở thành
Phương trình (2) có 2 nghiệm là 1 và -3
Phương trình đã cho tương đương với
Câu 2. (4,0 điểm)
- Cho parabol và đường thẳng . Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho nằm ở hai phía trục tung.
- Cho hàm số có đồ thị là parabol và một điểm . Hăy tìm hai điểm trên và có tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác là một tứ giác lồi có diện tích bằng (đơn vi trên các trục tọa độ là cm).
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
Để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho nằm ở hai phía trục tung thì phương trình phải có hai nghiệm trái dấu
- có đỉnh là góc toạ độ và có bề lôm quay xuống dưới , vì tứ giác là một tứ giác lồi nên hai điểm vả phải nằm hai phía của trục tung. Giải sử điểm nằm bên trái trục tung vả điểm nằm bên phải trục tung.
Từ đó suy ra được: .
Với .
Với .
Kiểm tra bằng đồ thị, hai cặp điểm tìm được thỏa mãn điều kiện tứ giác là tứ giác lồi.
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên thỏa .
2. Tìm số chính phương , biết rằng .
Lời giải
1. Phương trình đã cho: được viết dưới dạng:
Biệt thức
Đặt
Do và chẵn nên
và chẵn, dương.
TH 1: không có nghiệm nguyên.
TH 1:
Với thì . Vậy là giá trị cần tìm.
2. Vì là các số nguyên tố từ 0 đến 9, và là số chính phương nên và . ĐK:
Ta có
Do nên
Mà là số nguyên tố nên
Suy ra:
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , hai tiếp tuyến tại a của cắt BC tại M. Kẻ tiếp tuyến MD của . Gọi G, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
1. và .
2. .
3. G là trung điểm của EF.
Lời giải
Ta có:
(góc nội tiếp cùng chắn )
Kẻ đường kính của vuông tại
Do đó,
và
Mà MA = MB nên
Kẻ
* Tứ giác có: nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Khi đó, áp dụng câu 1) ta có:
Tương tự, tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên
(1)
* Tứ giác nội tiếp nên và tứ giác nội tiếp nên nên
Có (do tứ giác nội tiếp)
thẳng hàng (2)
Từ (1), (2) suy ra là trung điểm của
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB . Xác định vị trí điểm I sao cho tổng nhỏ nhất.
Lời giải
Kẻ , . Suy ra các tứ giác là hình chữ nhật.
Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:
Vì nên
Dấu “=” xảy ra khi là trung điểm của .
Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
hay (1)
Tương tự có, (2)
và (3)
Lấy (1) + (2) + (3), ta được:
Mà
Vì nên thay bởi ta được
Từ (*), (**) suy ra
---Hết---