Chào mừng!

ĐĂNG KÝ THÀNH VIÊN MỚI TẢI ĐƯỢC TÀI LIỆU! Đăng ký ngay!

KHÁCH VÀ THÀNH VIÊN CÓ THỂ TẢI MIỄN PHÍ HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ THÀNH VIÊN VÀ TẢI » THƯ MỤC MIỄN PHÍYOPOVN
ĐĂNG KÝ NÂNG CẤP THÀNH VIÊN VIP ĐĂNG KÝ NÂNG CẤP THÀNH VIÊN VIP » ĐĂNG KÝ NGAYĐĂNG KÝ NÂNG CẤP THÀNH VIÊN VIP

Yopovn

Ban quản trị Team YOPO
Thành viên BQT
Tham gia
28/1/21
Bài viết
81,447
Điểm
113
tác giả
TUYỂN TẬP 11 Đề khảo sát học sinh giỏi toán 9 CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2022 - 2023 được soạn dưới dạng file word gồm 11 FILE trang. Các bạn xem và tải đề khảo sát học sinh giỏi toán 9 về ở dưới.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
BÌNH ĐỊNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 - 2023
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 18/3/2023


Bài 1: (5,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình:

2. Giải phương trình:



Bài 2: (5,0 điểm).

Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

  • Cho đa thức Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30.
  • Tính giá trị biểu thức


Bài 3: (5,0 điểm).

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O). Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Gọi G, I lần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG. Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M.

  • Chứng minh HO là phân giác của góc
  • Chứng minh
Bài 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Chứng minh rằng .

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho đa giác đều có 2n đỉnh . Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn .

-----------------HẾT------------------



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 - 2023
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 18/3/2023
ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN



Lưu ý khi chấm bài

- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic.

- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC.

- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số.

Bài 1: (5,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình:

2. Giải phương trình:


Ý
Đáp án
Điểm
1). Giải hệ phương trình:









1. (2,5 điểm)


0,25





0,25​

(loại)

0,25


0,25
0,25

Ta có : vì


Mà vô nghiệm




0,25


0,25

0,25

0,25​
Vậy hệ có 2 nghiệm

0,25​
2). Giải phương trình:






2.(2,5 điểm)
Vì với
ĐK
0,25​
Ta có:


0,25


0,25​
Vì x = 0 không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho x2 ta được:
0,25
Đặt phương trình trở thành

0,25




0,25​
Với

loại vì x2 – 3x + 1 < 0
loại vì x2 – 3x + 1 < 0
0,25





0,25​
Với y = 2
0.25​
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
0,25​
Bài 2: (5,0 điểm).

1.Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

2.Cho đa thức Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30.

Tính giá trị biểu thức

Ý
Đáp án
Điểm
1). Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .










1.(2,5 điểm)
Ta có :

0,25​
Đặt
0,25​
Khi đó

0,25​
0, 5
Vì , ,
0,5​
Dấu “ =” có khi
0,5​
Vậy GTNN của P = 16 khi x = 2, y = 4
0,25​
2).Cho đa thức Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30.
Tính giá trị biểu thức













2.(2,5 điểm)
P(1) = 10 ó a + b + c + d = 9 jmn
P(2) = 20 ó 8a + 4b + 2c + d = 4 ó 16a = 8b + 4c + 2d = 8 k
P(3) = 30 ó 27a + 9b + 3c + d = – 51 l
Lấy l + j – k ta được 6a + b = – 25
P(12) = 20736 + 1728a + 133b + 12c + d
P(– 8) = 4096 – 512a + 64b – 8c + d
P(12) + P(– 8) = 1216a + 208b + 4c + 2d + 24832
= 1214a + 206b + 2c +2(a + b + c + d) + 24832
= 1188a + 198b + (26a + 8b + 2c) + 2.9 + 24832
= 198(6a + b) – 60 + 24850
= 19840
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 3: (5,0 điểm).

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O). Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Gọi G, I lần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG. Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M.

1.Chứng minh HO là phân giác của góc

2.Chứng minh

Ý
Đáp án
Điểm






1. (2,5 điểm )
1.Chứng minh HO là phân giác của góc
Ta có : ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)


0,25
0,25​
Tương tự ta có : mà
0,25​
năm điểm H, K, G, P, I cùng nằm trên đường tròn đường kính

KP vì tứ giác HIPG nội tiếp
0,25
0.25​
0,25​
hay
0,25​
Suy ra tứ giác IHDO nội tiếp
0,25​
0,25​
hay HO là phân giác của
0,25​




2. (2,5 điểm)
Ta có

( Do hay )
0,25​
vuông tại I nên

0,25​
hay
0,25​
suy ra AHKD là tứ giác nội tiếp (*)
0,25​
Mặt khác
0,25​
0,25​
0,25​
Ta chứng minh được
0,25​
Từ (1) và (2) suy ra PM.PH = PA.PD
hay tứ giác HIMD nội tiếp(**)
Từ (*) và (**) suy ra năm điểm A, H, K, D, M thuộc một đường tròn
Suy ra tứ giác HKDM nội tiếp
0,25​
Hay
0,25​
Bài 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Chứng minh rằng .

Ý
Đáp án
Điểm






4. (3,0điểm)
Ta có :


Đặt AB = c, BC = a, AC = b

0,25

0,25

0,25


0,25

0,25
Ta có :
0, 5​
Tương tự :
0, 5​
0,25​
Dấu “ =” xẩy ra ( vô lý )
0,25​
( đpcm)
0,25​
Bài 5: (2,0 điểm)

Cho đa giác đều có 2n đỉnh . Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn .

Ý
Đáp án
Điểm






5. (2,0điểm)
Giả sử đa giác
Nội tiếp ( O ). Ta thấy các đỉnh tạo ra các cung AiAi+1 có số đo

Có 2n đỉnh chứa góc > 100o tại đó
Gọi tam giác Am AiAp là tam giác thỏa mãn yêu cầu với

Giả sử : chắn x cung có số đo và chắn y cung có số đo
(x , y là các số tự nhiên khác 0)







0,25





0,25






0,25​
0,25​
0,25​
Khi đó tồn tại
Để x +y +z =k (1)
Khi đó cặp số ( x;y) thỏa mãn (1) là số tam giác AmAiAp thỏa mãn
0,25​
Ta có : x = 1 => tồn tại k – 1 số y
X =2 => tồn tại k – 2 số y
X = 3 tồn tại k – 3 số y
........
X= k tồn tại có 1 số y
0,25​
Khi đó tổng bộ ( x;y) là 1+2+3+...+( k-1) =(k-1).k/2
Vậy tổng số tam giác là
Với
0,25​


--------------------------------HẾT--------------------------------





UBND HUYỆN KIM THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2022-2023
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút


(Không kể thời gian giao đề)

(Đề bài gồm 05 câu, 01 trang)


Câu 1. (2,0 điểm).

a) Cho . Rút gọn và tính giá trị của M khi

b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=14

Chứng minh rằng:

Câu 2. (2,0 điểm).

a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Cho a, b, c, k là các số tự nhiên thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = a + b + c + k2 – 2k + 1

Chứng minh rằng k - 1 chia hết cho 3.

b) Tìm x, y nguyên biết: 7x2 + y2 + 4xy + 12x + 5 = 0

Câu 4: (3 điểm).

1) Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Các đường phân giác của góc BAH, CAH cắt BC lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh: BC.EH2 = CH.BE2 và tâm đường tròn nội tiếp DAEF trùng với tâm đường tròn nội tiếp DABC.

b) Kí hiệu d1, d2 lần lượt là các đường thẳng vuông góc với BC tại E, F. Chứng minh rằng d1, d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp DABC.

2) Cho tam giác ABC, Gọi lA, lB, lC lần lượt là độ dài các đường phân giác trong của góc A, B, C. Chứng minh rằng và

Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

---------------HẾT----------------



Họ và tên học sinh..............................................Số báo danh:...........................​

Chữ kí của giám thị 1 .................. Chữ kí của giám thị 2...................



UBND HUYỆN KIM THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2022-2023
MÔN: TOÁN – LỚP 9

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1a (ĐK: x >1 hoặc x ≤ -1)
0,25
x > 1 Þ
0,25
x ≤ -1 Þ
0,25
Khi < -1Þ
0,25
bTa có: Û
Û
0,25
Do đó:
Tương tự ta có:

0,25
Suy ra:
0,25
0,25
2aĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 1
Phương trình đã cho Û
Û (a – b) (ab + 1) = 0
0,25
Đặt (a ≥ 0), (b ≥ 0) khi đó x = 1 – b2
Ta có phương trình 2 (1 - b2)a + (a + b)ab = a + b
0,25
ab +1 >0 nên a = b
Khi đó ta được phương trình
0,25
Tìm được thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của pt đã cho
0,25
bTừ phương trình (1) ta suy ra: 9 = 12x – 3x2 – 3y2 thế vào phương trình (2) thu gọn ta được:
0,25
* Nếu x + y = 0 Û y = -x Þ y2 = x2 thế vào phương trình (1) ta được
2x2 + 3 = 4x Û 2(x - 1)2 + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm.
0,25
* Nếu x2 – xy + y2 – 3x + 3y = 0, trừ vế theo vế của phương trình này với phương trình (1) ta được:
0,25
+ Nếu x = 3 thay vào phương trình (1) ta suy ra y2 = 0 suy ra y =0
Þ (x; y) = (3; 0) thỏa mãn phương trình (2).
+ Nếu y = 1 thay vào phương trình (1) ta suy ra (x - 2)2 = 0
Þ x = 2 Þ (x; y) = (2; 1) thỏa mãn phương trình (2).
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3; 0), (2;1)
0,25
3aBài toán phụ: Với x là số tự nhiên.
Chứng minh rằng: x3 – x luôn chia hết cho 3
Chứng minh: Ta có: x3 – x = x(x - 1)(x + 1)
Do đó: x3 – x luôn chia hết cho 3
0,25
Ta có: a3 + b3 + c3 = a + b + c + k2 - 2k + 1
Hay a3 – a + b3 – b + c3 – c = k2 – 2k +1
Hay: (k - 1)2 = a3 – a + b3 – b + c3 - c
0,25
Áp dụng bài toán ta có:

Nên:
0,25
Mà 3 là số nguyên tố
Nên: (đpcm)
0,25
bTa có: 7x2 + y2 + 4xy + 12x + 5 = 0
Û 4x2 + 4xy + y2 + 3x2 + 12x + 12 – 7 = 0
Û (2x + y)2 + 3(x + 2)2 = 7
0,25
Suy ra: 0 ≤ 3(x + 2)2 ≤ 7
Hay: 0 ≤ (x + 2)2 ≤ 2
Do đó: (x + 2)2 Î {0; 1}
0,25
Ta có các trường hợp:
+) (x + 2)2 = 0 Khi đó (2x + y)2 = 7 (loại)
+) (x + 2)2 = 1
0,25
Khi đó (2x + y)2 = 4
Nên: x = -1 hoặc x = -3
Nghiệm của phương trình (x; y)Î{(-1;4); (-1;0); (-3;8); (-3;4)}
0,25
4

1a
Vì AE là phân giác góc BAH, ta có:
0,25
0,25
Gọi O là giao điểm 2 đường phân giác trong góc B, C.
Þ O là tâm đường tròi tròn nội tiếp DABC
Ta có:
ÞDAEC cân tại CÞCO là phân giác góc ACE đồng thời là trung trực của AE
0,25
CMTT: BO là trung trực của AE
Þ O là tâm đường tròn ngoại tiếp DAEF => ÐPCM
0,25
1bKẻ OM, ON, OP lần lượt vuông góc với BC, d1, d2, gọi K là giao điểm của AO với BC.
Có:
0,25
Mà OE = OF Þ DEOF vuông cân tại O
Þ OM = EM = FM
0,25
Chứng minh được: ON = ME; OP = MF
0,25
Þ OM = ON = OP
Þ d1, d2, tiếp xúc với đường tròn nội tiếp
0,25
2Chứng minh được công thức bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.
0,25
Ta có:
0,25
Þ
Tương tự:
0,25
Ta có: Þ
0,25
5 Ta chứng minh được: với a, b là các số dương ta có và . Dấu bằng xảy ra khi a = b
0,25
Khi đó ta có:
Áp dụng BĐT Cô-si ta được:
0,25
Chứng minh tương tự ta được

Cộng ba BĐT cùng chiều ta được:
M ≥ x + y - 3 + y + z – 3 + z + x – 3
Û M ≥ 2 (x + y + z) – 9 Û M ≥ 2.9 – 9 Û M ≥ 9
0,25
Dấu bằng xảy ra khi
Vậy GTNN của M là 9 đạt được khi x = y = z = 3
0,25
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Môn: Toán - Năm học 2022 - 2023
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 5 câu, gồm 01 trang
Câu 1. (4,0 điểm)

Rút gọn biểu thức:

P =​

2. Cho là những số hữu tỉ, là một số nguyên tố thoả mãn . Tính giá trị biểu thức: A =

Câu 2 ( 4,0 điểm)

  • Giải các phương trình:
  • Giải hệ phương trình
Câu 3 ( 2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: 2) Cho ; ; là các số tự nhiên thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chính phương.

Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm đường tròn . Điểm nằm bên ngoài đường tròn tâm . Qua vẽ hai tiếp tuyến , với đường tròn ( , là các tiếp điểm). Gọi , lần lượt là trung điểm của , ; là giao điểm của với . Lấy điểm bất kì trên đường tròn ( khác và ). Qua vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm , tiếp tuyến này cắt đường thẳng tại .

a) Chứng minh rằng: ;

b) Chứng minh rằng: .

c) Tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi , ,

lần lượt là giao điểm của các đường thẳng với , với , với . Chứng minh rằng: .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



---------------------------------- Hết ------------------------------------



ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM

Câu

Nội dung
I
ĐK : -1 < x < 0
Đặt , (a>0)ta có:
P =
=
=
= =
Vậy khi -1 < x < 0 thì A=-1
0.25




0.5

0.5


0.5

0.25
2) Giả sử là số hữu tỉ.
Khi đó tồn tại tự nhiên sao cho và

Mà p nguyên tố nên m chia hết cho (1)
Đặt nguyên)
Ta có: . Suy ra n2 chia hết cho . Suy ra n chia hết cho (2)
Từ (1) và (2) ta thấy m, n có một ước chung là p nguyên tố.
(Vô lý vì )
Do đó là số vô tỉ
- Nếu thì là số hữu tỉ. Mâu thuẫn
- Do đó . Suy ra
Khi đó a+b =0 Nên A = =0
Vậy A = =0


0.25


0.5


0.5


0.5

1. (2 điểm)
Điều kiện:
Phương trình tương đương với


- Xét
Ta sẽ chứng minh A < 0, tức là:

Điều này hiển nhiên đúng.
- Giải phương trình x2 – 11x + 24 = 0
( thoả mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3; x = 8

0.25



0.5


0.5


0.5



0.25
Giải hệ phương trình
Điều kiện:
Khi đó từ phương trình phương trình (1) ta có
TH1: Nếu thì thỏa mãn hệ.
TH2: Nếu thì
Với thay vào (2) ta được
Với không thỏa mãn điều kiện.
Vậy tất cả các nghiệm của hệ đã cho là
0.25


0.5



0.5



0.5


0.25
Ta có:
Đặt , phương trình trên trở thành:


  • Nếu thì (1) trở thành:
  • là số chính phương, còn 2 không phải là số chính phương.
  • Nếu thì
Đặt


Do 3 nên từ (1) ⟹ d ≠ 3 ⟹ d = 1
Các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương nên mỗi số đều là số chính phương.
Nhưng nên không thể là số chính phương.
Như vậy không tồn tại cặp số tự nhiên thoả mãn điều kiện đề bài.

0.25



0.5


0.5
2) Ta có:
Đặt (với ) .
Vì . Mà .
Ta có .
Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau, mà là số chính phương nên là số chính phương.

0.5



0.5

a) Ta có cân tại suy ra
cân tại suy ra
Suy ra là đường trung trực của suy ra tại trung điểm của .
Xét vuông tại có đường cao nên .
Vì là đường trung bình của nên .
b) Chứng minh
vuông tại , ta có:

Vì , . Gọi là giao điểm của và , ta có:

Do , là trung điểm của là trung điểm của

Từ và suy ra .
c)

Ta có:
Tương tự: ;


Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:


Dấu xảy ra khi là tam giác đều.


















0.25

0.5

0.5

0.5
0.25

0.25

0.5

0.5






0.5

0.25


0.25


  • Theo đề bài ta có:
  • Áp dụng BĐT AM-GM vào biểu thức bài toán ta có:

  • Cộng vế theo vế ta được:


  • Mặt khác:


  • Dấu xảy ra
  • Vậy khi


0.25




0.5





0.5



0.5




0.25
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm.




PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO​

HUYỆN NAM TRỰC​

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN​

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút​

(Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1. (4,0 điểm)​

1) Rút gọn biểu thức: .

2) Cho biểu thức: , với .

Hãy so sánh và

Bài 2. (4,0 điểm)

1) Cho và thỏa mãn: . Chứng minh .

2) Giải phương trình: .

Bài 3. (6,0 điểm)

Cho đường tròn và đường thẳng (không đi qua tâm ) cắt đường tròn tại hai điểm và . Kẻ đường kính của đường tròn . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại điểm thứ hai là và cắt tại điểm .

1) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn và là trung điểm của

2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: .

3) Chứng minh rằng: và tiếp tuyến tại của đường tròn đồng quy.

Bài 4. (3,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: .

2) Cho là các số tự nhiên thỏa mãn chia hết cho . Chứng minh rằng: là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.

Bài 5. (3,0 điểm)

1) Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

2) Trên bảng ghi bốn số: và . Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi hai số bất kì, chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao?



---------Hết---------

HƯỚNG DẪN CHẤM

I. Những điều cần lưu ý:

Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương.

Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm.

Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn.

II. Nội dung

Câu
Nội dung
Điểm

Bài 1.​

(4,0đ)​

1) Rút gọn biểu thức: .
2) Cho biểu thức: , với .
Hãy so sánh và




1)​
Rút gọn biểu thức:





0,25

0,5

0,5

0,25








2)​
Với , ta có:






Chứng minh được .

Dấu “=” xảy ra khi .
KL: Vậy


0,5




0,25


0,25


0,25

0,25

0,5
0,25
0,25

Bài 2.
(4,0đ)
1) Cho và thỏa mãn: . Chứng minh: .
2) Giải phương trình: .




1)​
Ta có:


(đpcm)
Ghi chú: Có thể sử dụng BĐT dạng để đánh giá

Đẳng thức xảy ra khi .
0,5

0,5

0,5


0,5



2)​
Điều kiện: .
Đặt , khi đó phương trình trở thành:



Suy ra: (thỏa mãn).
KL: Phương trình có tập nghiệm là .
0,25

0,5



0,5

0,5
0,25


Bài 3.
(6,0đ)
Cho đường tròn và đường thẳng (không đi qua tâm ) cắt đường tròn tại hai điểm và . Kẻ đường kính của đường tròn . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại điểm thứ hai là và cắt tại điểm .
  • 1) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn và là trung điểm của .
  • 2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: .
3) Chứng minh rằng: và tiếp tuyến tại của đường tròn đồng quy.



1)​
là tiếp tuyến của tại vuông tại
nội tiếp trong đường tròn đường kính .
đường tròn đường kính vuông tại .
Xét có: tại và là bán kính của
là tiếp tuyến của tại .
đường tròn đường kính vuông tại .
Xét có: dây tại là trung điểm của .

0,5


1,0


0,5







2)​
Gọi là giao điểm của và
Cm được: tai .
được: (1)
được: (2)
được: (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:



(đpcm)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25



0,25



3)​
Gọi là giao điểm của và .
được: (4)
được: (5)
Từ (4) và (5) suy ra
Xét và có: chung góc
Do đó và đồng dạng

Xét có: tại là tiếp tuyến của tại .
Vậy và tiếp tuyến tại của đường tròn đồng quy tại một điểm.

0,5
0,25

0,25


0,5
0,25

0,25

Bài 4. (3,0đ)
1) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: .
2) Cho là các số tự nhiên thỏa mãn chia hết cho . Chứng minh rằng: là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.





1)​
Giả sử tồn tại nguyên thỏa mãn phương trình .
Ta có:
Từ suy ra . (1)
Từ suy ra: mà nên lẻ (2)
Từ (1) và (2) ta được .

Thử lại ta thấy là những cặp số nguyên thỏa mãn.
0,25


0,25
0,25
0,25

0,25
0,25







2)​
Nếu là hai số chẵn thì không chia hết cho 4 và chia hết cho 4 suy ra không chia hết cho (loại)
Nếu khác tính chẵn lẻ thì lẻ và chẵn, do đó không chia hết cho (loại)
Vậy là những số lẻ.
Gọi mà nên 2022: .
Mặt khác tức 2022 không có ước chính phương nào ngoài 1, do đó
Vậy là hai số nguyên tố cùng nhau.

0,5

0,5






0,5



Bài 5. (3,0đ)
1) Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
2) Trên bảng ghi bốn số: và . Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi hai số bất kì, chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao?





1)​
Áp dụng bất đăng thức :



Cộng từng vế của 3 BĐT trên ta được: (1)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
(2)
Từ và (2) suy ra .
Dấu "=" xảy ra khi .
Vậy có GTLN bằng 14 khi .
Ghi chú: Có thể đánh giá bởi các đánh giá:

0,25

0,25

0,25

0,25




0,5

0,25

0,25












2)​
Nếu bốn số được ghi trên bảng là thì tổng các nghịch đảo của chúng là
Khi xóa đi hai số chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại, khi đó bốn số trên bảng là:
Ta có:

Khi đó:
Như vậy sau mỗi lần thay đổi thì tổng nghịch đảo của bốn số đã cho không đổi.
Mặt khác với bốn số trên bảng thì
Giả sử sau một số lần thay đổi ta thu được bốn số ; đều bé hơn 1 . Khi đó ta có .
Điều này dẫn mâu thuẫn. Do đó sau một quá trình thay đổi ta không thể thu được bốn số đều bé hơn 1 .
Ghi chú: Ta cũng có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau:
Khi xóa đi hai số chẳng hạn và thay thế bằng hai số và , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại, khi đó bốn số trên bảng là:
Khi đó ta được .
Như vậy sau mỗi lần thay đổi ta thu được bốn số có tổng lớn hơn bốn số cũ.
Do đó

Vì vậy không thể tồn tại bốn số mới đều nhỏ hơn 1 .









0,5



0,25






0,25


9
Học sinh giỏi
Tỉnh Đắk Lắk​



  • Giáo viên góp đề: Nguyễn Thị Linh Thảo + 0979 737 939
  • Giáo viên góp đề: Thanh Bùi + 0979 165 587
  • Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện.
Câu 1. (4,0 điểm)

  • Rút gọn biểu thức .
  • Giải phương trình .
Câu 2. (4,0 điểm)

  • Cho parabol và đường thẳng . Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho nằm ở hai phía trục tung.
  • Cho hàm số có đồ thị là parabol và một điểm . Hăy tìm hai điểm trên và có tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác là một tứ giác lồi có diện tích bằng (đơn vi trên các trục tọa độ là cm).
Câu 3. (4,0 điểm)

  • Tìm các cặp số nguyên thỏa .
  • Tìm số chính phương , biết rằng .


Câu 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , hai tiếp tuyến tại a của cắt BC tại M. Kẻ tiếp tuyến MD của . Gọi G, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:

1. và .

2. .

3. G là trung điểm của EF.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB . Xác định vị trí điểm I sao cho tổng nhỏ nhất.

Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:





---Hết---​




HƯỚNG DẪN GIẢI

  • Giáo viên góp đề: Nguyễn Thị Linh Thảo + 0979 737 930
  • Giáo viên góp đề: Thanh Bùi + 0979 165 587
  • Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện.
Câu 1. (4,0 điểm)

  • Rút gọn biểu thức .
  • Giải phương trình .
Lời giải

1.

Ta có: ; ;

Do đó,

2.

Nhận thấy không thỏa mãn phương trình đã cho. Chia hai vế của phương trình cho , ta được phương trình

Đặt , phương trình (1) trở thành

Phương trình (2) có 2 nghiệm là 1 và -3

Phương trình đã cho tương đương với



Câu 2. (4,0 điểm)

  • Cho parabol và đường thẳng . Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho nằm ở hai phía trục tung.
  • Cho hàm số có đồ thị là parabol và một điểm . Hăy tìm hai điểm trên và có tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác là một tứ giác lồi có diện tích bằng (đơn vi trên các trục tọa độ là cm).
Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho nằm ở hai phía trục tung thì phương trình phải có hai nghiệm trái dấu

  • có đỉnh là góc toạ độ và có bề lôm quay xuống dưới , vì tứ giác là một tứ giác lồi nên hai điểm vả phải nằm hai phía của trục tung. Giải sử điểm nằm bên trái trục tung vả điểm nằm bên phải trục tung.
Khi đó diện tích bằng tổng diện tích hai tam giác và , suy ra



Từ đó suy ra được: .

Với .

Với .

Kiểm tra bằng đồ thị, hai cặp điểm tìm được thỏa mãn điều kiện tứ giác là tứ giác lồi.

Câu 3. (4,0 điểm)

1.
Tìm các cặp số nguyên thỏa .

2. Tìm số chính phương , biết rằng .

Lời giải

1. Phương trình đã cho: được viết dưới dạng:

Biệt thức

Đặt



Do và chẵn nên

và chẵn, dương.

TH 1: không có nghiệm nguyên.

TH 1:

Với thì . Vậy là giá trị cần tìm.

2. Vì là các số nguyên tố từ 0 đến 9, và là số chính phương nên và . ĐK:

Ta có



Do nên

Mà là số nguyên tố nên

Suy ra:

Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , hai tiếp tuyến tại a của cắt BC tại M. Kẻ tiếp tuyến MD của . Gọi G, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:

1. và .

2. .

3. G là trung điểm của EF.

Lời giải


Ta có:

(góc nội tiếp cùng chắn )

Kẻ đường kính của vuông tại

Do đó,



Mà MA = MB nên

Kẻ

* Tứ giác có: nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Khi đó, áp dụng câu 1) ta có:

Tương tự, tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên

(1)

* Tứ giác nội tiếp nên và tứ giác nội tiếp nên nên

Có (do tứ giác nội tiếp)

thẳng hàng (2)

Từ (1), (2) suy ra là trung điểm của

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB . Xác định vị trí điểm I sao cho tổng nhỏ nhất.

Lời giải


Kẻ , . Suy ra các tứ giác là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

Vì nên

Dấu “=” xảy ra khi là trung điểm của .

Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:





Lời giải

Ta có:

hay (1)

Tương tự có, (2)

và (3)

Lấy (1) + (2) + (3), ta được:



Vì nên thay bởi ta được







Từ (*), (**) suy ra



---Hết---

1683951009551.png
 

DOWNLOAD FILE

  • yopovn.com---HSG Lớp 9 đợt 3.1.zip
    2.5 MB · Lượt xem: 12
Nếu bạn cảm thấy nội dung chủ đề bổ ích , Hãy LIKE hoặc bình luận để chủ đề được sôi nổi hơn
  • Từ khóa
    các đề thi toán lớp 9 giữa học kì 1 de thi toán 9 học kì 2 de thi violympic toán lớp 1 vòng 9 de thi violympic toán lớp 5 vòng 9 giải toán violympic lớp 3 vòng 9 giải toán violympic lớp 9 giải violympic toán lớp 9 vòng 1 một số đề thi toán 9 học kì 2 toán violympic lớp 9 vòng 8 violympic lý 9 violympic toán lớp 2 vòng 9 violympic toán lớp 3 vòng 9 violympic toán lớp 4 vòng 9 violympic toán lớp 9 violympic toán lớp 9 vòng 1 violympic toán tiếng anh lớp 1 vòng 9 violympic toán tiếng anh lớp 2 vòng 9 violympic toán tiếng anh lớp 3 vòng 9 violympic toán tiếng anh lớp 5 vòng 9 violympic toán tiếng anh lớp 8 vòng 9 violympic toán tiếng anh vòng 9 lớp 4 đề thi giữa học kì 1 toán 9 thái bình đề thi giữa học kì i toán 9 đề thi giữa kì 1 toán 9 full trắc nghiệm đề thi giữa kì 1 toán 9 mới nhất đề thi giữa kì 1 toán 9 môn văn đề thi giữa kì 1 toán 9 word đề thi giữa kì i toán 9 đề thi giữa kì i toán 9 violet đề thi giữa kì ii toán 9 đề thi hk1 toán 9 đề thi hk1 toán 9 amsterdam đề thi hk1 toán 9 an giang đề thi hk1 toán 9 bắc giang đề thi hk1 toán 9 bến tre đề thi hk1 toán 9 binh duong đề thi hk1 toán 9 co dap an đề thi hk1 toán 9 hóc môn đề thi hk1 toán 9 quận phú nhuận đề thi hk1 toán 9 quận thanh xuân đề thi hk1 toán 9 tphcm đề thi hk1 toán 9 violet đề thi hk2 toán 9 đề thi hk2 toán 9 an giang đề thi hk2 toán 9 bến tre đề thi hk2 toán 9 bình dương đề thi hk2 toán 9 bình dương 2020 đề thi hk2 toán 9 bình phước đề thi hk2 toán 9 bình định đề thi hk2 toán 9 có trắc nghiệm đề thi hk2 toán 9 năm 2019 đề thi hk2 toán 9 quận thanh xuân đề thi hk2 toán 9 violet đề thi hki toán 9 có đáp án violet đề thi học kì 1 toán 9 hưng yên đề thi học kì i môn toán 9 hà nội đề thi học kì i toán 9 đề thi học kỳ ii toán 9 đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện yên định đề thi học sinh giỏi toán 9 phú yên đề thi hsg toán 9 bình dương đề thi hsg toán 9 cấp thị xã đề thi hsg toán 9 có đáp án đề thi hsg toán 9 hải dương 2015 đề thi hsg toán 9 hải phòng đề thi hsg toán 9 hưng yên đề thi hsg toán 9 huyện diễn châu đề thi hsg toán 9 huyện phú xuyên đề thi hsg toán 9 huyện yên thành đề thi hsg toán 9 mới nhất đề thi hsg toán 9 năm 2020 đề thi hsg toán 9 quận thanh xuân đề thi hsg toán 9 thành phố hà nội đề thi hsg toán 9 thành phố hải dương đề thi hsg toán 9 thành phố hồ chí minh đề thi hsg toán 9 thành phố vinh đề thi hsg toán 9 thị xã từ sơn đề thi hsg toán 9 tỉnh bà rịa vũng tàu đề thi hsg toán 9 tỉnh hưng yên đề thi hsg toán 9 tỉnh nghệ an đề thi hsg toán 9 tỉnh phú thọ đề thi hsg toán 9 tỉnh phú yên đề thi hsg toán 9 tỉnh thanh hóa đề thi hsg toán 9 tphcm 2020 đề thi khảo sát toán 9 lần 2 đề thi môn toán 9 học kì 1 đề thi môn toán 9 học kì 2 đề thi thử toán 9 vào 10 đề thi thử toán 9 vào 10 hà nội đề thi toán 9 đề thi toán 9 cấp huyện đề thi toán 9 chương 1 đề thi toán 9 cuối hk1 đề thi toán 9 có lời giải đề thi toán 9 có đáp an đề thi toán 9 cuối học kì 1 đề thi toán 9 cuối học kì 2 đề thi toán 9 cuối kì 1 đề thi toán 9 cuối kì 1 có đáp án đề thi toán 9 giữa hk1 đề thi toán 9 giữa học kì 1 đề thi toán 9 giữa học kì 1 2020 đề thi toán 9 giữa học kì 1 bắc giang đề thi toán 9 giữa học kì 1 bắc ninh đề thi toán 9 giữa học kì 1 bắc ninh 2021 đề thi toán 9 giữa học kì 1 có lời giải đề thi toán 9 giữa học kì 1 có đáp án đề thi toán 9 giữa học kì 1 thái bình đề thi toán 9 giữa học kì 1 tỉnh bắc ninh đề thi toán 9 giữa học kì 1 tphcm đề thi toán 9 giữa học kì 1 trắc nghiệm đề thi toán 9 giữa kì đề thi toán 9 giữa kì 1 có đáp án đề thi toán 9 giữa kì 1 năm 2021 đề thi toán 9 giữa kì 2 đề thi toán 9 hk1 đề thi toán 9 hk1 có đáp án violet đề thi toán 9 hk2 có đáp án đề thi toán 9 học kì 1 đề thi toán 9 học kì 1 hà nội đề thi toán 9 học kì 1 nam định đề thi toán 9 học kì 1 tphcm đề thi toán 9 học kì 1 trắc nghiệm đề thi toán 9 học kì ii đề thi toán 9 khảo sát đề thi toán 9 kì 1 đề thi toán 9 kì 1 có đáp án đề thi toán 9 kì 1 năm 2020 đề thi toán 9 kì 2 đề thi toán 9 kì 2 có đáp án đề thi toán 9 kỳ đề thi toán 9 lên 10 đề thi toán 9 lên 10 hà nội đề thi toán 9 lên 10 năm 2018 đề thi toán 9 lên 10 năm 2019 đề thi toán 9 lên 10 năm 2020 đề thi toán 9 lên 10 năm 2021 đề thi toán 9 năm 2018 đề thi toán 9 năm 2019 đề thi toán 9 năm 2020 đề thi toán 9 năm 2021 đề thi toán 9 online đề thi toán 9 quận ba đình đề thi toán 9 quận cầu giấy đề thi toán 9 quận hà đông đề thi toán 9 quận hoàn kiếm đề thi toán 9 quận hoàng mai đề thi toán 9 quận tây hồ đề thi toán 9 quận thanh xuân đề thi toán 9 quận đống đa đề thi toán 9 tỉnh hải dương đề thi toán 9 trắc nghiệm đề thi toán 9 tuyển sinh đề thi toán 9 vào 10 đề thi toán 9 vào 10 hà nội đề thi toán 9 vào 10 hải phòng đề thi toán 9 vào lớp 10 đề thi toán khảo sát lớp 9 đề thi toán lớp 9 đề thi toán lớp 9 của mỹ đề thi toán lớp 9 giữa học kì 1 có đáp án đề thi toán lớp 9 học kì 1 đề thi toán lớp 9 học sinh giỏi đề thi toán lớp 9 năm 2019 đề thi toán lớp 9 năm 2021 đề thi toán lớp 9 ở mỹ đề thi toán lớp 9 quận thanh xuân đề thi toán lớp 9 tuyển sinh đề thi toán đại số lớp 9 chương 1 đề thi violympic toán lớp 9 cấp huyện đề thi violympic toán lớp 9 cấp quốc gia đề thi violympic toán lớp 9 cấp tỉnh
  • HỖ TRỢ ĐĂNG KÝ VIP

    Liên hệ ZALO để được tư vấn, hỗ trợ: GỬI FILE THEO YÊU CẦU, ĐĂNG KÝ TÀI KHOẢN VIP
    ZALO:0979702422

    BÀI VIẾT MỚI

    Thống kê

    Chủ đề
    34,396
    Bài viết
    35,868
    Thành viên
    135,463
    Thành viên mới nhất
    nguyenthao1234567890

    Thành viên Online

    Top