- Tham gia
- 28/1/21
- Bài viết
- 81,456
- Điểm
- 113
tác giả
TUYỂN TẬP BỘ Đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp thành phố CÁC TỈNH CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2023 MỚI NHẤT được soạn dưới dạng file word gồm các file trang. Các bạn xem và tải đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp thành phố, đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp tỉnh ,... về ở dưới.
- Điểm toàn bài không làm tròn.
Câu I. (5điểm)
PASS GIẢI NÉN: yopovn.Com
THẦY CÔ, CÁC EM DOWNLOAD FILE TẠI MỤC ĐÍNH KÈM!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI (Hướng dẫn chấm có 05 trang) | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 14/02/2023 |
| |
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, đúng và lập luận chặt chẽ vẫn được điểm tối đa.MÔN: TOÁN
Câu | Ý | Đáp án | Điểm |
(5,0đ) | a) 3đ | Chứng minh rằng: ( Với ). Từ đó hãy tính giá trị biểu thức: | |
0,5 | |||
0,5 | |||
0,5 | |||
(đpcm). | 0,5 | ||
Ta có: | 0,25 | ||
Khi đó: | 0,5 | ||
. | 0,25 | ||
b) 2đ | Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: . | | |
Ta có : | 0,25 | ||
Với không thỏa mãn đẳng thức . Khi đó | 0,5 | ||
Vì nguyên nên suy ra: là ước nguyên của 7 | 0,25 | ||
Suy ra: | 0,25 | ||
0,5 | |||
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa ycbt : . | 0,25 | ||
2 (4,0đ) | a) 2đ | a) Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại và sao cho diện tích tam giác bằng 2 (với là gốc tọa độ). | |
Vì tạo thành tam giác nên : | 0,25 | ||
Đường thẳng cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại và nên suy ra : | 0,5 | ||
Ta có : | 0,5 | ||
0,5 | |||
(TMĐK) | 0,25 | ||
b) 2đ | b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng bồn. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ? | | |
Gọi (giờ), (giờ) lần lượt là thời gian để mỗi vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước, . | 0,25 | ||
Khi đó, trong 1 giờ : vòi thứ nhất chảy được bồn, vòi thứ hai chảy được bồn. | 0,25 | ||
Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình : | 0,5 | ||
Đặt : hệ trở thành : | 0,5 | ||
Suy ra : . | 0,25 | ||
Vậy vòi thứ nhất cần 9 (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng một mình thì đầy bồn. | 0,25 | ||
3 | 2đ | Cho . Chứng tỏ là số chia hết cho 5. | |
Ta có: | 0,5 | ||
0,5 | |||
0,5 | |||
Từ đó suy ra : là số chia hết cho 5. | 0,5 | ||
4 | a) 3đ | Cho đường tròn đường kính và điểm thay đổi trên (điểm không trùng với ). Đường phân giác trong góc của tam giác cắt đường tròn tại . Hạ vuông góc với . a) Chứng minh rằng khi thay đổi, tổng luôn không đổi. Tính góc của tam giác biết . | |
0,25 | |||
Góc vuông tại A, AK là đường phân giác trong của góc A nên K là điểm chính giữa cung BC suy ra vuông tại . Ta có: Mặt khác | 0,5 | ||
( không đổi) | 0,5 | ||
vuông tại có: nên là nửa tam giác đều cạnh bằng R. Suy ra: | 0,5 | ||
+ Nếu thuộc đoạn Ta có: cân tại ( ) có Tính được | 0,5 | ||
+ Nếu thuộc đoạn Ta có | 0,5 | ||
Vậy hoặc | 0,25 | ||
b) 2đ | b) Đặt . Tìm sao cho diện tích đạt giá trị lớn nhất. | | |
vuông tại nên: (đvdt) | 0,5 | ||
Suy ra: | 0,5 | ||
Theo bất đẳng thức Cô si: Ta có: , trong đó không đổi | 0,5 | ||
Dấu “=” xảy ra khi x = Vậy đạt giá trị lớn nhất là khi . | 0,5 | ||
5 | 2đ | Cho vuông tại biết và là đường cao. Gọi sao cho , cắt tại . Tính CE. | |
| |||
Trong có : , , | 0,5 | ||
Dựng . Khi đó dễ dàng tính được : | 1,0 | ||
Ta có : | 0,5 | ||
6 | 2đ | Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng: . | |
Ta có: Tương tự: ( | 0,5 | ||
Đặt: Khi đó: Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm : | 0,5 | ||
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm: Ta có: | 0,5 | ||
(đpcm) | 0,5 |
- Điểm toàn bài không làm tròn.
..............Hết..............
ĐỀ THI HSG HUYỆN NĂM 2022 – 2023
NGÀY THI: 14/1/2023
ĐỀ THI HSG HUYỆN NĂM 2022 – 2023
NGÀY THI: 14/1/2023
Câu I. (5điểm)
- Cho biểu thức:
- Rút gọn biểu thức A.
- Tìm x sao cho A < – 1
- Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tính giá trị biểu thức
- Câu II. (5 điểm):
- Giải phương trình và hệ phương trình sau:
- a. b.
- Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = kx + 1 ( k là tham số). Tìm k để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = 2.
- Câu III. (5 điểm): Cho đường tròn (O;R) và điểm K cố định nằm ngoài đường tròn. Qua K kẻ hai tiếp tuyến KM, KN tới đường tròn (M,N là các tiếp điểm) Một đường thẳng đi qua K cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm B và C (KB < KC). Gọi I là trung điểm của BC.
- Chứng minh K, M, N, O, I cùng nằm trên một đường tròn và KM2 = KB.KC
- Đường thẳng qua B // KM cắt MN tại E. chứng minh EI //CM.
- Chứng minh khi d thay đổi quanh điểm K thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định.
- Câu IV. ( 2 điểm): cho các điểm M, N, P, Q lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD sao cho . Tính diện tích hình vuông ABCD, biết diện tích tứ giác MNPQ = 25cm2.
Câu V. (3 điểm):- Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
- Tìm tất cả các cặp số nguyen (x;y) thỏa mãn phương trình
- ĐÁP ÁN
- CÂU I.
- 1. a. ĐK:
- b. Để A < -1 thì
- 2. Đặt vì x,y,z >0 nên a,b,c >0
- Ta có: x + y + z = xyz
- Ta lại có: a2 +1 = a2 + bc + ac + ab = (a + b)(a + c)=
- Tương tự ta có:
- Suy ra:
- (do b,c,x >0)
- (do a,c,y >0)
- (do a,b,z>0)
- Vậy: Q =
- Câu II. 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau.
- a. , ĐK:
- Chia cả hai vế của pt cho x ta được:
- Đặt:
- PTTT: a2 + 2a – 3 = 0
- Với a = 1 ta có
- Vậy pt có nghiệm
- b.
- Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:
- 2xy(y – x) + 7(x – y) + (x – y)(x + y) = 0
- ó (x – y)(x + y – 2xy + 7) = 0 ó
- * x = y thay vào hệ ta được: x2 – 5x + 6 = 0 ó x = y = 2 hoặc x = y = 3
- * x + y – 2xy + 7 = 0 (1)
- Mặt khác, khi công theo vế hai phương trình của hệ ta được:
- x2 + y2 – 5x – 5y +12 = 0 (2)
- Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:
- Đặt S = x + y, P = xy ta có hệ:
- Với S = 1, P = 4 hệ vô nghiệm.
- Với S= 5, P = 6 ta có (x;y) = ( 2;3), (3;2)
- Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (2;2), (3;3), ( 2;3), (3;2)
- 2. Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = kx + 1 ( k là tham số). Tìm k để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = 2.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: (*)
Có => PT (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra tọa độ giao điểm của (P) va (d) là M(x1;y1), N(x2;y2)
Mặt khác: MN =
Vậy k=2, k = - 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thỏa MN = 2
Câu III. (5 điểm): Cho đường tròn (O;R) và điểm K cố định nằm ngoài đường tròn. Qua K kẻ hai tiếp tuyến KM, KN tới đường tròn (M,N là các tiếp điểm) Một đường thẳng đi qua K cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm B và C (KB < KC). Gọi I là trung điểm của BC.- Chứng minh K, M, N, O, I cùng nằm trên một đường tròn và KM2 = KB.KC
- Đường thẳng qua B // KM cắt MN tại E. chứng minh EI //CM.
- Chứng minh khi d thay đổi quanh điểm K thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định.
a) Chứng minh K, M, N, O, I cùng nằm trên một đường tròn và KM2 = KB.KC- Ta có:
- Các tứ giác KMON, KMOI nội tiếp đường tròn đường kính OK
- Năm điểm K,M,O,I,N cùng nằm trên đường tròn đường kính OK
- Ta lại có: chung)
- KM2 = KB.KC
- b. Đường thẳng qua B // KM cắt MN tại E. chứng minh EI //CM
Xét tứ giác NIEB có- Tứ giác NIEB nội tiếp
- IE // CM
c. Chứng minh khi d thay đổi quanh điểm K thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định.
CM: Trên OM lấy điểm L, MN lấy điểm J sao cho
Ta có suy ra: LG //OI, GJ // IN ( theo định lý Ta lét đảo)
Suy ra:
Mà: ( cùng chắn cung OM)
Nên:
Suy ra: Tứ giác MLGJ nội tiếp
Mặt khác: Do điểm O, M, N nên điểm L, J cố định
Vậy khi B di chuyển thì điểm G di chuyển trên cung tròn qua ba điểm M, L, J dựng trên đoạn MJ. Khi B trùng với N, thì G trùng với J, Khi B trùng với M thì G trùng với M.
Câu IV. ( 2 điểm): cho các điểm M, N, P, Q lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD sao cho . Tính diện tích hình vuông ABCD, biết diện tích tứ giác MNPQ = 25cm2.
- Ta có:
- AM = BN = CP = QD, AQ = MB = CN = DP
- QM = MN = NP = PQ và
- Tứ giác MNPQ là hình vuông
- Do đó: SMNPQ = MN2 = MB2 + BN2
Suy ra: AB2 = 49
Vậy SABCD = 49 cm2.
Câu V. (3 điểm):- Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
- Tìm tất cả các cặp số nguyen (x;y) thỏa mãn phương trình
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Mặt khác:
Tương tự ta có:
Ta lại có:
Do đó:
P
Vậy GTNN của P =14 khi a = b = c = 1.
2.
Ta có các trường hợp sau:
TH1. TH2.
TH3. TH4.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyen sau: (x;y) = (3;0),(-1;2),(3;-2),(7-2),(3;2),(-1;0)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề thi có 01 trang)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn thi: TOÁN - Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
1) Cho biểu thức với và . Rút gọn biểu thức và tìm giá trị của để .
2) Gọi và là giao điểm của đường thẳng với parabol Tính diện tích tam giác ( là gốc tọa độ).
Câu 2 (4,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
2) Giải phương trình .
Câu 3 (3,0 điểm).
1) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn .
2) Với mỗi số nguyên , gọi là các nghiệm của phương trình . Chứng minh chia hết cho với mọi số tự nhiên .
Câu 4 (6,0 điểm).
1) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , là điểm bất kì thuộc cạnh ( khác và ). Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Đường thẳng cắt đường tròn tại , sao cho nằm giữa và . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại (khác ). Các đường thẳng và cắt nhau tại .
a) Chứng minh . Từ đó suy ra điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh đồng dạng với và .
c) Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại (khác ). Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh khi di chuyển trên đoạn thì tỉ số không đổi.
2) Cho tứ giác nội tiếp . Chứng minh .
Câu 5 (3,0 điểm).
1) Cho 3 số thực thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
2) Cho đa giác lồi . Tại mỗi đỉnh (), người ta ghi một số thực sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau bằng một số nguyên dương không lớn hơn 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.
======Hết======
Họ và tên thí sinh…………………………………..……Số báo danh……………
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn thi: TOÁN - Lớp 9
Câu Nội dungĐiểm Câu 1 (4,0 điểm) 1.1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức với và .
Rút gọn biểu thức và tìm giá trị của để .Với và ta có
0.250.250.25. 0.250.5(thỏa mãn). Vậy 0.51.2. (2,0 điểm)
Gọi và là giao điểm của đường thẳng với parabol Tính diện tích tam giác ( là gốc tọa độ).
Phương trình hoành độ giao điểm .0.5 Suy ra . 0.5 Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên trục .
Có ; ; .
Vậy1.0 Câu 2 (4,0 điểm) 2.1. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình . Phương trình 1.0 Với thay vào (2) ta được
Với ; với .0.5 Với thay vào (2) ta được
Với , với .
Vậy nghiệm của hệ là .0.5 2.2. (2,0 điểm) Giải phương trình . Điều kiện .
(2)0.5 Vì nên .
0.5
0.5 Vì nên .
Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất .
Lưu ý:
- Nếu học sinh phân tích về dạng (hoặc các dạng tương tự) nhưng không giải được phương trình thì chỉ cho 0.5 điểm.
- Học sinh có thể làm theo cách sử dụng bất đẳng thức.
0.5 Câu 3 (3,0 điểm) 3.1. (2,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn . Dễ thấy không thỏa mãn phương trình (1).
Với ta có .0.5 Vì nên . 0.5 Từ đó tìm được các cặp nghiệm là . 1.0 3.2. (1,0 điểm) Với mỗi số nguyên , gọi là các nghiệm của phương trình . Chứng minh chia hết cho với mọi số tự nhiên . Với mọi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . 0.25 Đặt . Ta có
0.25 Ta chứng minh với mọi thì luôn là số nguyên dương chẵn. (*)
Thật vậy:
Với thì là số nguyên dương chẵn.
Với thì là số nguyên dương chẵn (do là số nguyên).
Giả sử (*) đúng đến , tức là và là các số nguyên dương chẵn. Ta có
là một số nguyên dương chẵn.
Vậy là số nguyên dương chẵn với mọi số tự nhiên .0.25 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Suy ra chia hết cho 6.
Vậy .0.25 Câu 4 (6,0 điểm) 4.1. (5,0 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , là điểm bất kì thuộc cạnh ( khác và ). Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Đường thẳng cắt đường tròn tại , sao cho nằm giữa và . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại (khác ). Các đường thẳng và cắt nhau tại .
a) Chứng minh . Từ đó suy ra điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh đồng dạng với và .
c) Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại (khác ). Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh khi di chuyển trên đoạn thì tỉ số không đổi.a) (2,0 điểm) Vì tứ giác nội tiếp .
Vì tứ giác nội tiếp .0.5 Từ và , suy ra . 0.5 Lại có ; . 0.5 Do đó ; mà hai góc này cùng nhìn cạnh tứ giác nội tiếp hay điểm , , , nằm trên cùng một đường tròn. 0.5 b) (2,0 điểm) Ta có và .
Suy ra đồng dạng với (g – g) .1.0 Vì tứ giác nội tiếp nên tam giác đồng dạng với tam giác (g-g) và tam giác đồng dạng với tam giác (g-g). Do đó
.Từ và , suy ra .1.0 c) (1,0 điểm) Trên đoạn xác định điểm sao cho .
Vì tứ giác nội tiếp, nên .
Lại có , và không đổi nên là điểm cố định.0.5 đồng dạng với (g – g) .
đồng dạng với (g – g) .
Từ và suy ra .0.25 Ta có nên hay .
Từ và suy ra mà không đổi nên không đổi.0.25 4.2. (1,0 điểm) Cho tứ giác nội tiếp . Chứng minh . Gọi là điểm trên đoạn sao cho .0.25 Hai tam giác và đồng dạng (g-g) nên . (1) 0.25 Hai tam giác và đồng dạng (g-g) nên . (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra
.0.25 Câu 5 (3,0 điểm) 5.1. (2,0 điểm) Cho 3 số thực thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Ta có 0.5 Vì nên ta có
(1).0.5 Và
(2).0.5 Từ (1) và (2) suy ra
.
Đẳng thức xảy ra khi và các hoán vị.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 14.0.5 5.2. (1,0 điểm) Cho đa giác lồi . Tại mỗi đỉnh (), người ta ghi một số thực sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau bằng một số nguyên dương không lớn hơn 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau. Xét đa giác lồi . Khi đó , (). Không mất tính tổng quát, coi là nhỏ nhất, là lớn nhất (dễ thấy ). Đặt khi đó và là một số nguyên dương.0.25 Giả sử theo chiều kim đồng hồ có đỉnh nằm giữa . Suy ra theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ có đỉnh nằm giữa . Hơn nữa giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số kề nhau không vượt quá 3. Do đó
Tương tự ta có .0.25 Suy ra .
Nếu thì hiệu giữa hai số ghi trên hai đỉnh kề nhau đúng bằng 3 hay ta có
Điều này không xảy ra. Suy ra .0.25 Ta xây dựng một trường hợp cho như sau:
với ;
với .Khi đó hiệu lớn nhất là .
Các số là các số nguyên dương tăng dần có dạng chia cho 3 dư 2. Các số là các số nguyên dương giảm dần có dạng chia hết cho 3. Suy ra các số đôi một khác nhau.
Vậy giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh bằng 3035.0.25
Chú ý: Nếu học sinh làm theo các đáp án khác thì giám khảo căn cứ vào các bước làm để cho điểm phù hợp.
Đề thi HSG lớp 9 (2022 – 2023)
Bài I (5,0 điểm)
- Giải phương trình
- Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c.
- Bài II (5,0 điểm)
- Tìm tất cả số nguyên dương n để và là các số chính phương.
- Cho là đa thức với hệ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện với Tính giá trị
- Bài III (2,0 điểm)
Với a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài IV (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm S. Trên tia đối của tia CA lấy điểm M (M khác C). Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với OM, cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt E, F (E nằm giữa S và F).
- Chứng minh đường thẳng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng BC. Chứng minh EC là tia phân giác của góc
- Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MD với hai đường thẳng BE và BF. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ. Chứng minh
- Bài V (2,0 điểm)
- Tìm tất cả các số nguyên tố m, n, p thỏa mãn
- Cho đa giác đều Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm thuộc S. Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng Chứng minh
Bài 1
- Giải phương trình
- Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c.
- Lời giải.
ĐKXĐ: Khi đó
Ta thấy ở phương trình (*), do điều kiện nên Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
- Từ giả thiết ta suy ra
- Nếu trong ba số a,b,c có một số có giá trị bằng 0, giả sử a = 0. Khi đó b = 0 và kéo theo c = 0.
- Ta có P = 0 + 0 + 0 = 0. Tương tự, nếu b = 0 hoặc c = 0 cũng kéo theo dẫn đến P = 0.
- Giả sử a, b, c > 0. Khi đó, theo bất đẳng thức Cosi ta có
- Do đó ta có Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi Khi đó
Vậy hoặc
Bài 2- Tìm tất cả số nguyên dương n để và là các số chính phương.
- Cho là đa thức với hệ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện với Tính giá trị
- Lời giải.
- Ta có 3n + 1 là số chính phương nên là số chính phương.
- Đặt với
- Ta được nên Ư(15) và
- Từ đó có các TH sau:
- TH1: , giải ra y = 7 nên n = 5.
- TH2: , giải ra y = 1 nên n = 1.
- Thử lại ta thấy thoả mãn.
- Xét đa thức Đa thức có bậc là 2023, hệ số cao nhất là
- Vì đa thức nhận là nghiệm nên đa thức có dạng:
- Do đó ta có
- Bây giờ ta sẽ đi tìm
- Ta có:
Vậy
Bài 3
Với a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải.
Ta có:
Do đó, ta chỉ cần tìm min, max của
Không mất tính tổng quát giả sử Từ giả thuyết suy ra
Tìm giá trị nhỏ nhất:
Khi đó
Ta sẽ chứng minh: Thật vậy, BĐT đó tương đương với
Vậy, giá trị nhỏ nhất của
(đúng, do ).
Dấu bằng xảy ra khi
Tìm giá trị lớn nhất:
Ta sẽ chứng minh: Thật vậy, BĐT đó tương đương với
(đúng)
Khi đó, Ta tiếp tục chứng minh BĐT đó tương đương với
(luôn đúng, vì )
Vậy, giá trị lớn nhất
Dấu bằng xảy ra khi
Bài 4
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại S. Trên tia đối của tia CA lấy điểm M (M C). Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với OM, cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt E, F (E nằm giữa S và F).- Chứng minh đường thẳng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng BC. Chứng minh EC là tia phân giác của góc
- Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của MD với hai đường thẳng BE và BF. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ. Chứng minh
- Lời giải.
- Gọi T là giao điểm của OS với AC, N là giao điểm của OM và EF.
- Ta có nên Suy ra
- Từ đó
- Suy ra hay ME và MF là hai tiếp tuyến của (O).
- Với P, Q là giao điểm của MD với BE, BF. Ta có
- Suy ra MP = ME.
- Tương tự MQ = MF. Suy ra
- MP = ME = MQ = MF.
- Từ đó
- Suy ra E, C, Q thẳng hàng. Tương tự F, C, P thẳng hàng.
- Ta thu được tam giác BPQ có BD, QE, PF là ba đường cao đồng quy tại C.
- Từ đó
- Dẫn đến
- Cuối cùng ta thu được
- Ta có C là trực tâm của tam giác BPQ, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ nên BC = 2KM. Suy ra OC = KM.
- Do suy ra Từ đó
- Suy ra (c.g.c), kéo theo Từ đó
Bài 5- Tìm tất cả các số nguyên tố m, n, p thỏa mãn
- Cho đa giác đều Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm thuộc S. Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng Chứng minh
- Lời giải.
Ta viết lại giả thiết như sau:
(1)- Xét tính chia hết cho 2 hai vế của biểu thức, ta thấy tồn tại một trong ba số m, n, p phải là số chẵn, nên số đó phải bằng 2.
- Xét tính chia hết cho 3 hai vế của biểu thức. Nếu 3 số đều không chia hết cho 3 thì
- (mod 3),
- Suy ra chia hết cho 3, không chia hết cho 3, vô lý.
- Do đó tồn tại ít nhất một trong ba số là 3.
- Nếu m = 3 hoặc p = 3, do chia hết cho 3 nên cả m, p đều phải chia hết cho 3, dẫn đến m = p = 3, n = 2. Thử lại ta thấy không thoả mãn.
- Nếu n = 3, ta xét 2 TH sau:
- TH1: m = 2, n = 3. Thay vào phương trình ta được phương trình này không có nghiệm nguyên.
- TH2: n = 3, p = 2. Thay vào phương trình ta được suy ra m = 47.
- Vậy
- Gọi là trung điểm của đoạn Ta có
- Xét tứ giác ta có Suy ra
- Theo bất đẳng thức tam giác, ta có
- Từ M ta nối được đến điểm thuộc S
- Khi đó cạnh AB được tính lần
PASS GIẢI NÉN: yopovn.Com
THẦY CÔ, CÁC EM DOWNLOAD FILE TẠI MỤC ĐÍNH KÈM!