- Tham gia
- 28/1/21
- Bài viết
- 82,192
- Điểm
- 113
tác giả
TUYỂN TẬP Các dạng toán 9 ôn thi vào lớp 10 CÓ ĐÁP ÁN được soạn dưới dạng file word gồm các file trang. Các bạn xem và tải các dạng toán 9 ôn thi vào lớp 10 về ở dưới.
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: 1
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.. 3
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.. 4
Dạng 4: Đưa về giải bất phương trình.. 11
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC.. 17
DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN.. 25
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM... 29
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ.. 31
Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận.
Điều kiện:
Có
Vậy với điều kiện
Có
Điều kiện:
Có
Vậy: với điều kiện
Điều kiện .
Có
.
Vậy với điều kiện .
Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm ở mẫu, do đó ta làm bước đặt điều kiện sau.
Có
(Điều kiện )
Vậy với điều kiện .
Bước 2 Tính rồi thay giá trị của vào biểu thức đã rút gọn.
Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận.
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức khi:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Điều kiện
a)Có thoả mãn điều kiện.
Khi đó thay vào P ta được .
Vậy khi .
b)Có thoả mãn điều kiện
Khi đó
Thay vào P ta được
Vậy khi .
c)Có thoả mãn điều kiện.
Khi đó .
Thay vào P ta được
Vậy khi
d)Có thoả mãn điều kiện
Khi đó
Thay vào , ta được
Vậy khi .
e) Có
( Thỏa mãn điều kiện)
Thay vào , ta được:
Vậy khi .
f) Có thỏa mãn điều kiện.
Khi đó thay vào , ta được
Vậy khi
g) Có thỏa mãn điều kiện.
Khi đó , thay vào , ta được
Vậy khi
h) Có
(loại), (thỏa mãn).
Khi đó , thay vào ta được
Vậy khi x thỏa mãn
Bước 2: Quy đồng mẫu chung
Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Đưa về phương trình tích
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện: .
Có
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm x để .
Lời giải
Điều kiện: .
Có
(loại), (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì .
Phương trình có chứa trị tuyệt đối
Trường hợp 1: Xét thì nên ta được
Giải và đối chiếu điều kiện .
Trường hợp 2: Xét thì nên ta được
Giải và đối chiếu điều kiện .
Cách 2: Đặt điều kiện và giải hai trường hợp .
Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức và . Tìm x để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Cách 1: Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Xét thì nên ta được:
(thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét thì nên ta được:
(thỏa mãn).
Cách 2: Vì với mọi nên .
(thỏa mãn).
Cách 3: Nhận xét
nên
(thỏa mãn).
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho 2 biểu thức và . Tìm để
Điều kiện: .
Có
Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Xét thì nên ta được (loại).
Trường hợp 2: Xét thì
nên ta được
(thỏa mãn).
Vậy thì .
Cách 2: Điều kiện: Khi đó
Kết hợp các điều kiện được
Đưa về bình phương dạng (hoặc )
Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng
Bước 2: Lập luận (hoặc ) nên
Bước 3: Khẳng định (hoặc ) chỉ xảy ra khi đồng thời
Bước 4: Giải ra , đối chiếu điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vì nên
Do đó chỉ xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy thì
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vì nên
Do đó chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Ví dụ 3. Cho biểu thức . Tìm để
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vì nên
Do đó chỉ xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Đánh giá vế này một số, vế kia số đó
Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng
Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:
Bất đẳng thức Cosi: hay
Dấu “=” xảy ra khi
Bất đẳng thức Bunhia:
Dấu “=” xảy ra khi
Dấu “=” xảy ra khi hoặc .
Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra.
Ví dụ 1. Cho biểu thức và . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
* Có VT (*)
* Chứng minh VP(*) :
Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi)
Xét
Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki)
Xét
Như vậy nên (*) chỉ xảy ra khi
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để
Lời giải
Điều kiện:
Có
Có
Ta sẽ chứng minh
Cách 1: (Chỉ ra )
Xét
Cách 2: (Sử dụng )
Có
Như vậy nên (*) chỉ xảy ra khi
Do đó (*) chỉ xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Đưa về bất phương trình dạng
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.
Bước 2: Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang một vế để được dạng
Bước 3: Giải các bất phương trình này, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Một số tình huống thường gặp
+) và cùng dấu.
Vì nên ta được và giải ra .
+)
Vì nên ta được và giải ra .
+) và trái dấu, rồi giải hai trường hợp:
trường hợp này vô nghiệm.
trường hợp này giải được .
+) giải hai trường hợp:
trường hợp này giải được .
trường hợp này giải được .
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm để
Lời giải
Điều kiện:
Có
và trái dấu, mà nên ta được
Do (thỏa mãn điều kiện).
Vậy là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
(do ) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Ví dụ 3. Cho biểu thức . Tìm để .
Chú ý: Dạng , trước hết ta cần giải điều kiện phụ để xác định, sau đó mới giải .
Lời giải
Điều kiện:
* Để xác định ta cần có
(do ) (thỏa mãn điều kiện).
* Khi đó
(do )
Kết hợp điều kiện , ta được .
Đưa về bình phương dạng .
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa bất phương trình về dạng
Bước 2: lập luận để giải dấu “=” xảy ra:
Dạng
Lập luận: Vì nên khẳng định chỉ xảy ra khi .
Dạng :
Lập luận nên khẳng định chỉ xảy ra khi .
Dạng (hoặc ):
Lập luận (hoặc ) nên (hoặc )
nên khẳng định (hoặc ) chỉ xảy ra khi đồng thời
Bước 3: Giải ra , đối chiếu điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức và . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Mà nên chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn).
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện: .
Có
Vì với mọi nên chỉ xảy ra khi (thoả mãn điều kiện)
Vậy thì
4.3 Tìm x để
Ghi nhớ:
Điều kiện: .
Có khi trái dấu.
Điều kiện:
Có
Cách 1 (sử dụng
Có
Mà nên ta được
Kết hợp với điều kện, ta được . Do x và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.
Cách 2 (Xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối)
Có
Trường hợp 1: Xét (do ) thì
(loại)
Trường hợp 2: Xét (do ) thì
(luôn đúng)
Do đó ta được . Do x và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.
Vậy là giá trị cần tìm
DẠNG 5: SO SÁNH, CHỨNG MINH BẰNG CÁCH XÉT HIỆU
Để chứng minh ta chứng minh hiệu
Để chứng minh ta chứng minh hiệu
Để so sánh hai biểu thức X và Y ta xét dấu của hiệu
Để so sánh P với ta xét hiệu rồi thay x vào và xét dấu
Ví dụ 1. Cho biểu thức Chứng minh
Lời giải
Điều kiện:
Xét hiệu
Ví dụ 2. Cho biểu thức và Khi hãy so sánh với
Điều kiện:
Khi và cùng dấu.
Mà nên ta được (thoả mãn).
Xét hiệu
nên
Vậy khi thì
Ví dụ 3. Cho biểu thức và Chứng minh
Điều kiện: .
Xét hiệu
, với mọi
Vậy .
Ví dụ 4. Cho hai biểu thức và .
So sánh giá trị của biểu thức và .
Điều kiện: .
Xét hiệu
với mọi .
Vậy .
Ví dụ 5. Cho biểu thức . So sánh và .
Điều kiện: .
Xét hiệu
nên .
Vậy .
Ví dụ 6. Cho biểu thức . Khi xác định, hãy so sánh và .
Điều kiện: .
xác định khi , mà nên .
Xét hiệu
Do ,
và
suy ra nên .
Vậy .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bước 1. Đặt điều kiện và khử ở tử để đưa , về dạng trên.
Bước 2. Chuyển từng bước từ sang ; như sau:
Bước 3: Kết luận , khi (thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Từ đó, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Điều kiện:
* Tìm MinP:
Có
Do
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện)
* Tìm MinQ:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cô Si)
Có
Do
Vì
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2: (Thay được nên ta dự đoán )
Xét hiệu
Do
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Điều kiện:
* Tìm Max M:
Có
Do
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện).
* Tìm MinN:
Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi)
Có
Do
Vì
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2 (Thay được nên ta dự đoán )
Xét hiệu
Do
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Điều kiện: .
*) Tìm MaxA:
Có
Vậy MaxA khi (thỏa mãn điều kiện)
+) Tìm MinB:
Cách 1. (Dùng bất đẳng thức Cô si)
Có
Do
Vì .
Vậy Min B = 11 khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2. (Thay được nên ta dự đoán MinB = 11)
Xét hiệu
Do .
Vậy Min B = 11 khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Điều kiện:
* Tìm MinS:
Có
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện)
* Tìm MinT:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Côsi)
Có
Do
Vì
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2: (Thay được nên ta dự đoán )
Xét hiệu
Do
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
6.2. Dùng bất đẳng thức Côsi
Bước 1: Khử ở trên tử.
Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp.
Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi . Dấu xảy ra khi .
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Điều kiện: .
Có
(Mẫu là nên cần cộng thêm )
Xét
Vì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Suy ra .
Vậy khi (thỏa mãn)
Ví dụ 2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Với thì luôn xác định.
Có .
Xét .
Với x > 25 thì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Suy ra M – 10 ≥ 10 => M ≥ 20.
Vậy MinM = 20 khi ( thỏa mãn điều kiện).
Điều kiện: x > 0.
Ta có
Vì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
=> P ≥
Vậy MinP = khi ( thỏa mãn điều kiện).
Điều kiện: x > 0.
Có A = .
Vì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Vậy MaxA = – 5 khi ( thỏa mãn điều kiện).
6.3. Đưa về bình phương
l
l
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện).
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với và
Suy ra
Vậy khi (thỏa mãn).
6.4. Tìm để biểu thức lớn nhất, nhỏ nhất
Chú ý: Tính chất chỉ đúng với a và b cùng dương hoặc cùng âm.
Ví dụ:
+) đúng vì và 3 cùng dương.
+) sai vì ta chưa biết và -2 có cùng âm hay không.
Phương pháp giải
*Tìm MaxA: Ta thấy trong hai trường hợp và thì MaxA xảy ra trong trường hợp
Mà nên
Vậy khi
*Tìm MinA: Ta thấy trong hai trường hợp và thì MinA xảy ra trong trường hợp
Mà nên
Trường hợp này có hữu hạn giá trị nên ta kẻ bảng để chọn minA.
Ví dụ 1. Tìm để biểu thức đạt giá trị: a) lớn nhất. b) nhỏ nhất.
Điều kiện:
PASS GIẢI NÉN: YOPOVN.COM
THẦY CÔ, CÁC EM DOWNLOAD FILE TẠI MỤC ĐÍNH KÈM!
CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: 1
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.. 3
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.. 4
Dạng 4: Đưa về giải bất phương trình.. 11
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC.. 17
DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN.. 25
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM... 29
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ.. 31
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức:- : Điều kiện xác định là
- : Điều kiện là
- Gặp phép chia phân thức thì đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng này ta thường làm bước đặt điều kiện sau.
Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận.
| Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức |
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vậy với điều kiện
| Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức |
Lời giải
Có
Điều kiện:
Có
Vậy: với điều kiện
| Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức |
Lời giải
Điều kiện .
Có
.
Vậy với điều kiện .
Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm ở mẫu, do đó ta làm bước đặt điều kiện sau.
| Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức |
Lời giải
Có
(Điều kiện )
Vậy với điều kiện .
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện.Bước 2 Tính rồi thay giá trị của vào biểu thức đã rút gọn.
Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận.
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức khi:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Lời giải
Điều kiện
a)Có thoả mãn điều kiện.
Khi đó thay vào P ta được .
Vậy khi .
b)Có thoả mãn điều kiện
Khi đó
Thay vào P ta được
Vậy khi .
c)Có thoả mãn điều kiện.
Khi đó .
Thay vào P ta được
Vậy khi
d)Có thoả mãn điều kiện
Khi đó
Thay vào , ta được
Vậy khi .
e) Có
( Thỏa mãn điều kiện)
Thay vào , ta được:
Vậy khi .
f) Có thỏa mãn điều kiện.
Khi đó thay vào , ta được
Vậy khi
g) Có thỏa mãn điều kiện.
Khi đó , thay vào , ta được
Vậy khi
h) Có
(loại), (thỏa mãn).
Khi đó , thay vào ta được
Vậy khi x thỏa mãn
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.Bước 2: Quy đồng mẫu chung
Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Đưa về phương trình tích
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện: .
Có
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm x để .
Lời giải
Điều kiện: .
Có
(loại), (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì .
Phương trình có chứa trị tuyệt đối
- (với và là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp
- (với là một biểu thức chứa ):
Trường hợp 1: Xét thì nên ta được
Giải và đối chiếu điều kiện .
Trường hợp 2: Xét thì nên ta được
Giải và đối chiếu điều kiện .
Cách 2: Đặt điều kiện và giải hai trường hợp .
Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức và . Tìm x để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Cách 1: Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Xét thì nên ta được:
(thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét thì nên ta được:
(thỏa mãn).
Cách 2: Vì với mọi nên .
(thỏa mãn).
Cách 3: Nhận xét
nên
(thỏa mãn).
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho 2 biểu thức và . Tìm để
Lời giải
Điều kiện: .
Có
Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Xét thì nên ta được (loại).
Trường hợp 2: Xét thì
nên ta được
(thỏa mãn).
Vậy thì .
Cách 2: Điều kiện: Khi đó
Kết hợp các điều kiện được
Đưa về bình phương dạng (hoặc )
Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng
(hoặc )
Bước 2: Lập luận (hoặc ) nên
(hoặc ).
Bước 3: Khẳng định (hoặc ) chỉ xảy ra khi đồng thời
Bước 4: Giải ra , đối chiếu điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vì nên
Do đó chỉ xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy thì
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vì nên
Do đó chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Ví dụ 3. Cho biểu thức . Tìm để
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vì nên
Do đó chỉ xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Đánh giá vế này một số, vế kia số đó
Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng
Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:
Bất đẳng thức Cosi: hay
Dấu “=” xảy ra khi
Bất đẳng thức Bunhia:
Dấu “=” xảy ra khi
Dấu “=” xảy ra khi hoặc .
Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra.
Ví dụ 1. Cho biểu thức và . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
* Có VT (*)
* Chứng minh VP(*) :
Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi)
Xét
Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki)
Xét
Như vậy nên (*) chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn).
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để
Lời giải
Điều kiện:
Có
Có
Ta sẽ chứng minh
Cách 1: (Chỉ ra )
Xét
Cách 2: (Sử dụng )
Có
Như vậy nên (*) chỉ xảy ra khi
Do đó (*) chỉ xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Dạng 4: Đưa về giải bất phương trình
Đưa về bất phương trình dạng
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.
Bước 2: Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang một vế để được dạng
Bước 3: Giải các bất phương trình này, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Một số tình huống thường gặp
+) và cùng dấu.
Vì nên ta được và giải ra .
+)
Vì nên ta được và giải ra .
+) và trái dấu, rồi giải hai trường hợp:
trường hợp này vô nghiệm.
trường hợp này giải được .
+) giải hai trường hợp:
trường hợp này giải được .
trường hợp này giải được .
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm để
Lời giải
Điều kiện:
Có
và trái dấu, mà nên ta được
Do (thỏa mãn điều kiện).
Vậy là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
(do ) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thì
Ví dụ 3. Cho biểu thức . Tìm để .
Chú ý: Dạng , trước hết ta cần giải điều kiện phụ để xác định, sau đó mới giải .
Lời giải
Điều kiện:
* Để xác định ta cần có
(do ) (thỏa mãn điều kiện).
* Khi đó
(do )
Kết hợp điều kiện , ta được .
Đưa về bình phương dạng .
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa bất phương trình về dạng
Bước 2: lập luận để giải dấu “=” xảy ra:
Dạng
Lập luận: Vì nên khẳng định chỉ xảy ra khi .
Dạng :
Lập luận nên khẳng định chỉ xảy ra khi .
Dạng (hoặc ):
Lập luận (hoặc ) nên (hoặc )
nên khẳng định (hoặc ) chỉ xảy ra khi đồng thời
Bước 3: Giải ra , đối chiếu điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức và . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện:
Có
Mà nên chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn).
Vậy thì .
Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm để .
Lời giải
Điều kiện: .
Có
Vì với mọi nên chỉ xảy ra khi (thoả mãn điều kiện)
Vậy thì
4.3 Tìm x để
Ghi nhớ:
| Ví dụ 1: Cho biểu thức . Tìm để |
Có khi trái dấu.
- (thoả mãn điều kiện)
- (loại).
| Ví dụ 2. Cho biểu thức . Tìm x và x lớn nhất để |
Lời giải
Điều kiện:
Có
Cách 1 (sử dụng
Có
Mà nên ta được
Kết hợp với điều kện, ta được . Do x và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.
Cách 2 (Xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối)
Có
Trường hợp 1: Xét (do ) thì
(loại)
Trường hợp 2: Xét (do ) thì
(luôn đúng)
Do đó ta được . Do x và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.
Vậy là giá trị cần tìm
DẠNG 5: SO SÁNH, CHỨNG MINH BẰNG CÁCH XÉT HIỆU
Để chứng minh ta chứng minh hiệu
Để chứng minh ta chứng minh hiệu
Để so sánh hai biểu thức X và Y ta xét dấu của hiệu
Để so sánh P với ta xét hiệu rồi thay x vào và xét dấu
- Để so sánh và (khi có nghĩa) ta biến đổi hiệu
- Sau đó nhận xét nên ta cần xét dấu của
Ví dụ 1. Cho biểu thức Chứng minh
Lời giải
Điều kiện:
Xét hiệu
Ví dụ 2. Cho biểu thức và Khi hãy so sánh với
Lời giải
Điều kiện:
Khi và cùng dấu.
Mà nên ta được (thoả mãn).
Xét hiệu
nên
Vậy khi thì
Ví dụ 3. Cho biểu thức và Chứng minh
Lời giải
Điều kiện: .
Xét hiệu
, với mọi
Vậy .
Ví dụ 4. Cho hai biểu thức và .
So sánh giá trị của biểu thức và .
Lời giải
Điều kiện: .
Xét hiệu
với mọi .
Vậy .
Ví dụ 5. Cho biểu thức . So sánh và .
Lời giải
Điều kiện: .
Xét hiệu
nên .
Vậy .
Ví dụ 6. Cho biểu thức . Khi xác định, hãy so sánh và .
Lời giải
Điều kiện: .
xác định khi , mà nên .
Xét hiệu
Do ,
và
suy ra nên .
Vậy .
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
6.1 Dựa vào để Tìm giá trị lớn nhất củaTìm giá trị nhỏ nhất của
Bước 1. Đặt điều kiện và khử ở tử để đưa , về dạng trên.
Bước 2. Chuyển từng bước từ sang ; như sau:
Max Có. | Min Có |
Bước 3: Kết luận , khi (thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Từ đó, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Điều kiện:
* Tìm MinP:
Có
Do
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện)
* Tìm MinQ:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cô Si)
Có
Do
Vì
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2: (Thay được nên ta dự đoán )
Xét hiệu
Do
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Điều kiện:
* Tìm Max M:
Có
Do
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện).
* Tìm MinN:
Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi)
Có
Do
Vì
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2 (Thay được nên ta dự đoán )
Xét hiệu
Do
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Điều kiện: .
*) Tìm MaxA:
Có
Vậy MaxA khi (thỏa mãn điều kiện)
+) Tìm MinB:
Cách 1. (Dùng bất đẳng thức Cô si)
Có
Do
Vì .
Vậy Min B = 11 khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2. (Thay được nên ta dự đoán MinB = 11)
Xét hiệu
Do .
Vậy Min B = 11 khi hay (thỏa mãn điều kiện).
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Điều kiện:
* Tìm MinS:
Có
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện)
* Tìm MinT:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Côsi)
Có
Do
Vì
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2: (Thay được nên ta dự đoán )
Xét hiệu
Do
Vậy khi hay (thỏa mãn điều kiện)
6.2. Dùng bất đẳng thức Côsi
Bước 1: Khử ở trên tử.
Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp.
Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi . Dấu xảy ra khi .
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Điều kiện: .
Có
(Mẫu là nên cần cộng thêm )
Xét
Vì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Suy ra .
Vậy khi (thỏa mãn)
Ví dụ 2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Với thì luôn xác định.
Có .
Xét .
Với x > 25 thì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Suy ra M – 10 ≥ 10 => M ≥ 20.
Vậy MinM = 20 khi ( thỏa mãn điều kiện).
| Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |
Lời giải
Điều kiện: x > 0.
Ta có
Vì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
=> P ≥
Vậy MinP = khi ( thỏa mãn điều kiện).
| Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = |
Lời giải
Điều kiện: x > 0.
Có A = .
Vì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Vậy MaxA = – 5 khi ( thỏa mãn điều kiện).
6.3. Đưa về bình phương
l
l
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Điều kiện:
Có
Vậy khi (thỏa mãn điều kiện).
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với và
Lời giải
Suy ra
Vậy khi (thỏa mãn).
6.4. Tìm để biểu thức lớn nhất, nhỏ nhất
Chú ý: Tính chất chỉ đúng với a và b cùng dương hoặc cùng âm.
Ví dụ:
+) đúng vì và 3 cùng dương.
+) sai vì ta chưa biết và -2 có cùng âm hay không.
Phương pháp giải
*Tìm MaxA: Ta thấy trong hai trường hợp và thì MaxA xảy ra trong trường hợp
Mà nên
Vậy khi
*Tìm MinA: Ta thấy trong hai trường hợp và thì MinA xảy ra trong trường hợp
Mà nên
Trường hợp này có hữu hạn giá trị nên ta kẻ bảng để chọn minA.
Ví dụ 1. Tìm để biểu thức đạt giá trị: a) lớn nhất. b) nhỏ nhất.
Lời giải
Điều kiện:
- Ta thấy trong hai trường hợp và thì MaxA xảy ra trong trường hợp
- Mà
- Vậy khi (thỏa mãn).
- Ta thấy trong hai trường hợp và thì MaxA xảy ra trong trường hợp
- Mà
- Vậy khi (thỏa mãn).
Ví dụ 2. Tìm để biểu thức đạt giá trị: a) lớn nhất b) nhỏ nhất
Lời giảiĐiều kiện:
Có- Ta thấy trong hai trường hợp và thì MaxP xảy ra trong trường hợp
- Mà
- Vậy khi (thỏa mãn).
- Ta thấy trong hai trường hợp và thì minP xảy ra trong trường hợp
- Mà
- Vậy khi (thỏa mãn).
Ví dụ 3. Tìm để biểu thức đạt giá trị: a) lớn nhất b) nhỏ nhất
Lời giảiĐiều kiện:
Có- Ta thấy trong hai trường hợp và thì MaxM xảy ra trong trường hợp
- Mà
- Vậy khi (thỏa mãn).
- Ta thấy trong hai trường hợp và thì MinM xảy ra trong trường hợp
- Mà
- Vậy khi (thỏa mãn).
DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN
7.1. Tìm để
Bước 1 Đặt điều kiện, khử x ở trên tử, đưa P về dạng như trên.
Bước 2 Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Xét nhưng
là số vô tỷ là số vô tỷ
P là số vô tỷ P (loại)
Trường hợp 2: Xét x và thì P khi Ư (b)
Ví dụ 1: Tìm x để biểu thức nhận giá trị là một số nguyên.
Lời giải:Điều kiện :
Có
Trường hợp 1: Xét x nhưng
là số vô tỷ là số vô tỷ
là số vô tỷ là số vô tỷ
là số vô tỷ (loại)
Trường hợp 2: Xét x và thì khi
Ư (7)= mà nên ta được:
(thỏa mãn)
Vậy là giá trị cần tìm.
Chú ý:- P nguyên âm khi
- Bước 1: Giải giống như ví dụ 1.
- Bước 2: Kẻ bảng để chọn P>0 hoặc giải P>0 rồi kết hợp
- P là số tự nhiên khi
- Bước 1. Giải giống như ví dụ 1.
- Bước 2: Kẻ bảng để chọn hoặc giải rồi kết hợp .
- Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên âm
- Lời giải:
- M nguyên âm khi
- :
- Trường hợp 1: Xét x nhưng
là số vô tỷ là số vô tỷ
là số vô tỷ là số vô tỷ
là số vô tỷ (loại)
Trường hợp 2: Xét x và
=> khi Ư (6)=
(thỏa mãn điều kiện)1-12-23-36-64251609-3x16425136081- M <0:
- Cách 1: (Kẻ bảng để thử trực tiếp các giá trị)
- x
- 0
- 1
- 4
- 16
- 25
- 36
- 81
- M
- -1
- -2
- -7
- 7
- 4
- 3
- 2
- Từ bảng trên ta được thì M có giá trị là số nguyên âm
- Cách 2: (Giải M<0)
- Kết hợp với ta được
- Vậy là các giá trị cần tìm.
- Ví dụ 3: Tìm x để biểu thức nhận giá trị là một số tự nhiên.
- Lời giải:
- Điều kiện ;
- Có
- nhận giá trị là một số tự nhiên khi
- :
- Trường hợp 1: Xét x nhưng
là số vô tỷ là số vô tỷ
là số vô tỷ là số vô tỷ
là số vô tỷ (loại)
Trường hợp 2: Xét x và
=> khi Ư (4)=
(thỏa mãn điều kiện)1-12-24-431406-2x9116036- P 0:
- Cách 1: (Kẻ bảng để thử trực tiếp các giá trị)
-
- x
- 0
- 1
- 9
- 16
- 36
- P
- 0
- -2
- 6
- 4
- 3
- Từ bảng trên ta được thì M có giá trị là một số tự nhiên
- Cách 2 (Giải P 0 )
- Kết hợp với ta được
- Vậy là các giá trị cần tìm
- Chú ý: Dạng tìm x để P = thì khi giải ta vẫn phải xét trường hợp x , và trường hợp x và .
Ví dụ 4: Tìm x để biểu thức
Lời giải:Điều kiện : ;
Có
Trường hợp 1: Xét x =2 => F=0 => x =2 (thỏa mãn)
Trường hợp 2: Xét ; x và
là số vô tỷ là số vô tỷ
Mà x-2 là số nguyên khác 0 nên là số vô tỷ
là số vô tỷ (loại)
Trường hợp 3: Xét x và
Vì nên khi Ư (7)=
(thỏa mãn điều kiện)1-17-74210-4x164100
Vậy là các giá trị cần tìm
7.2. Tìm để
Bước 1 Đặt điều kiện và chặn hai đầu của :
Như vậy ta chặn hai đầu của là .
Bước 2 Chọn . Từ đó suy ra .
Ví dụ 1. Tìm để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên :
Lời giảiĐiều kiện :
a)Vì nên
Mặt khác,
Do đó nên khi
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy là giá trị cần tìm.
b)Vì nên
Mặt khác
Do nên khin
(TMĐK)
Vậy là các giá trị cần tìm.
Chú ý: Với bài toán để
Bước 1: Lập luận: Vì nên khi
Bước 2: Giải theo cách chặn 2 đầu của như ví dụ 1.
Ví dụ 2: Tìm để các biểu thức sau có giá trị là số nguyên.
a) b)
Lời giảiĐiều kiện:
a) Có
Vì nên khi
Vì nên
Mặt khác
Do đó: khi
(TMĐK)
Vậy là các giá trị cần tìm.
b) Có . Vì nên khi
Vì nên
Mặt khác ta có
Do đó, khi
(TMĐK)
Vậy là các giá trị cần tìm.
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Bước 1: Đặt điều kiện để xác định
Bước 2: Từ rút theo m.
Bước 3: Dựa vào điều kiện của để giải m.
Ví dụ 1: Cho biểu thức Tìm để phương trình có nghiệm.
Lời giảiĐiều kiện: .
Có
* Xét (loại)
*Xét
Do nên phương trình đã cho có nghiệm khi
. Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho hai biểu thức và . Tìm để phương trình có nghiệm.
Lời giảiĐiều kiện :
Có
*Xét (loại)
*Xét
Do nên phương trình đã cho có nghiệm khi
+Giải
+ Giải
Như vậy mà nên
Vậy là giá trị cần tìm.
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
Bài 1. Rút gọn biểu thức
Bài 2. Rút gọn biểu thức
Bài 3. Rút gọn biểu thức
Bài 4. Rút gọn biểu thức
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức khi:
x = 36 b)
c) d)
e) f)
g) h)
Bài 6. Cho biểu thức: . Tìm x để .
Bài 7. Cho biểu thức . Tìm x để
Bài 8. Cho biểu thức và . Tìm x để .
Bài 9. Cho hai biểu thức và . Tìm x để .
Bài 10. Cho biểu thức . Tìm x để
Bài 11. Cho biểu thức .Tìm x để .
Bài 12. Cho biểu thức . Tìm x để
Bài 13. Cho hai biểu thức và . Tìm x để .
Bài 14. Cho biểu thức . Tìm x để .
Bài 15. Cho biểu thức . Tìm để A < 1
Bài 16. Cho biểu thức Tìm x để
Bài 17. Cho biểu thức . Tìm x để
Bài 18. Cho hai biểu thức và . Tìm x để .
Bài 19. Cho biểu thức . Tìm a để
Bài 20. Cho biểu thức . Tìm x để .
Bài 21. Cho biểu thức . Tìm và x lớn nhất để
Bài 22. Cho biểu thức . Chứng minh
Bài 23. Cho hai biểu thức và . Khi A > 0, hãy so sánh B với 3.
Bài 24. Cho hai biểu thức . Chứng minh
Bài 25. Cho hai biểu thức và . So sánh giá trị của biểu thức và 3
Bài 26. Cho biểu thức . So sánh P và P2.
Bài 27. Cho biểu thức . Khi xác định, hãy so sánh và P
Bài 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 30. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 33. Cho x > 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 36. Cho biểu thức .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 37. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = B – A
với và .
Bài 38. Tìm để biểu thức đạt giá trị
lớn nhất b) nhỏ nhất
Bài 39. Tìm để biểu thức đạt giá trị
lớn nhất b) nhỏ nhất
Bài 40. Tìm để biểu thức đạt giá trị
lớn nhất b) nhỏ nhất
Bài 41. Tìm để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 42. Tìm để biểu thức nhận giá trị nguyên âm.
Bài 43. Tìm để biểu thức nhận giá trị là một số tự nhiên.
Bài 44. Tìm đề biểu thức .
Bài 45. Tìm để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:
Bài 46. Tìm để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:
Bài 47. Cho biểu thức . Tìm để phương trình có nghiệm.
Bài 48. Cho hai biểu thức và
Tìm để phương trình có nghiệm.
CHỦ ĐỀ 8 – PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện: .
Phương trình
( thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: .
Ví dụ 2. Giải phương trình: .
Lời giải
Điều kiện: .
Phương trình
(Thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: .
Ví dụ 3. Giải phương trình: .
Lời giải
Điều kiện: .
Khi đó phương trình đã cho trở thành
So với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 4. Giải phương trình .
Lời giải.
Điều kiện: .
Khi đó, ta có
So với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là .
DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
- khi biểu thức xác định.
- khi biểu thức xác định.
- Ví dụ 1. Giải phương trình .
- Lời giải.
Điều kiện:
Khi đó
So với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 2. Giải phương trình .
Lời giải.
Ta có . Khi đó
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 3. Giải phương trình .
Lời giải.
Ta có nên điều kiện là
Khi đó
Trường hợp 1. (thỏa).
Trường hợp 2.
Vì nên trường hợp 2 vô nghiệm.
Vậy phương trình có tập nghiệm là .
Ví dụ 4. Giải phương trình .
Lời giải.
Điều kiện: .
Với điều kiện trên phương trình trở thành
So với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 5. Giải phương trình .
Lời giải.
Ta có nên điều kiện là
Với điều kiện trên, phương trình trở thành
So với điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 6. Giải phương trình .
Lời giải.
Điều kiện: .
Khi đó, phương trình trở thành
( thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐÓ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
Nếu nhẩm được một nghiệm x = α của phương trình thì ta tách được phương
trình đó về dạng tích (x – α).f(x) = 0.
Nếu nhẩm được một nghiệm x = –α của phương trình thì ta tách được phương
trình đó về dạng tích (x +α).f(x) = 0.
Trong trường hợp f(x) = 0 mà phức tạp thì ta thường chứng minh f(x) = 0 vô
nghiệm hoặc chứng minh f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Bước 1: Nhẩm các số nguyên thỏa mãn điều kiện xem số nào thỏa mãn phương trình, ta thường nhẩm các số mà thay vào các căn đều khai căn được.
Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chèn vào phần căn.
Bước 3: Kết hợp công thức để đưa về tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình .
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 5 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 5
Từ bảng này, ta suy ra sẽ đi với số 4, còn sẽ đi với số 1.x = 541
Trình bày lời giải:
Điều kiện :
Phương trình
Trường hợp 1: Xét x – 5 = 0 x = 5 ( thỏa mãn điều kiện)
Trường hợp 2: Xét =0 loại vì
> 0 ∀
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 2: Giải phương trình
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 2
Từ bảng này, ta suy ra sẽ đi với số 1, còn sẽ đi với số 2.x = 212
Trình bày lời giải:
Điều kiện :
Phương trình
Trường hợp 1: Xét x – 2 = 0 x = 2 ( thỏa mãn điều kiện)
Trường hợp 2: Xét
Do nên
Với thì nên
Do đó phương trình (*) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 3: Giải phương trình
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 1 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 1
Từ bảng này, ta suy ra sẽ đi với số 1, còn sẽ đi với số 2.x = 112
Trình bày lời giải:
Điều kiện :
Phương trình
Trường hợp 1: Xét x – 1 = 0 x = 1 ( thỏa mãn điều kiện)
Trường hợp 2: Xét
Nếu x < 6 thì
Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = 4 nên phương trình (*) vô nghiệm.
Nếu x >6 thì
Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = 4 nên phương trình (*) vô nghiệm.
Nếu x = 6 thỏa mãn (*) và thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4: Giải phương trình
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 2
Từ bảng này, ta suy ra sẽ đi với số 2.x = 22
Trình bày lời giải:
Điều kiện :
Phương trình
Trường hợp 1: Xét x – 2 = 0 x = 2 ( thỏa mãn điều kiện)
Trường hợp 2: Xét
Do nên
Mà nên phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 5: Giải phương trình .
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm nên ta sẽ tách được nhân tử
Từ bảng này ta suy ra sẽ đi với số .3
Trình bày lời giải:
Phương trình
Trường hợp 1: Xét ( thỏa mãn điều kiện ).
Trường hợp 2:
Xét
Do nên hay
Mà nên phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 6: Giải phương trình .
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm nên ta sẽ tách được nhân tử .
Từ bảng này , ta suy ra sẽ đi với số .2
Do nên điều kiện là : .
Phương trình
( thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
DẠNG 1 : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện : .
Phương trình
Đặt , ta được
( loại ), ( thỏa mãn ).
( thỏa mãn )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 2: Giải phương trình .
Điều kiện : .
Phương trình
Đặt , ta được
( thỏa mãn ), (loại).
( thỏa mãn ).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 3: Giải phương trình .
Điều kiện : .
Phương trình
Đặt ta được
(loại), ( thỏa mãn ).
( thỏa mãn ).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 4: Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện
Phương trình
.
Đặt , ta được
(loại), (thỏa mãn)
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 5: Giải phương trình .
Lời giải
Nếu thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Xét , chia hai vế cho ta được
.
Đặt
ta được
(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
DẠNG 2. BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH
Ví dụ 1. Giải phương trình Lời giải
Điều kiện:
Phương trình
Đặt , ta được
(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 2. Giải phương trình Lời giải
Điều kiện:
Phương trình
Đặt , ta được
(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 3. Giải phương trình Lời giải
Điều kiện:
Phương trình
Đặt ta được
(loại), (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4. Giải phương trình Lời giải
Điều kiện:
Phương trình
Đặt , ta được
(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 5. Giải phương trình Lời giải
Điều kiện:
Phương trình
Đặt ta được
(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 6. Giải phương trình Lời giải
Vì nên phương trình xác định
Phương trình
Đặt ta được
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH
Ví dụ 1. Giải phương trình Lời giải
Điều kiện:
Phương trình
Đặt ta được
(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện .
Phương trình tương đương với
Vậy nghiệm của phương trình là .
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện .
Phương trình
Vậy nghiệm phương trình đã cho là .
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện .
Phương trình
Vây nghiệm của phương trình là .
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Phương trình
Vậy nghiệm của phương trình là .
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện .
Phương trình
.
Vậy nghiệm của phương trình là .
DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY MỘT SỐ, VẾ KIA SỐ ĐÓ BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện .
Có
Ta sẽ đánh giá
Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)
Xét
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét
Như vậy , nên phương trình xảy ra dấu bằng
.
Vậy nghiệm của phương trình là
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Ta có
Ta sẽ đánh giá
Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)
Xét
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét
Như vậy , nên phương trình xảy ra dấu bằng
.
Vậy nghiệm của phương trình là .
Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Ta có
Ta sẽ đánh giá
Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)
Xét
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét
.
Như vậy , nên phương trình chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 4. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện: .
Cách 1 (Đánh giá 2 vế)
Có .
Suy ra .
Do đó
Nên .
Như vậy nên phương trình xảy ra khi
( thỏa mãn).
Cách 2 (Đưa về bình phương)
Có
Do nên phương trình chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 5. Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện
Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi)
Có
Do đó phương trình xảy ra khi (thỏa mãn).
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Có
Nên
Mà nên dấu “=” xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Ví dụ 6. Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện .
Cách 1 Có
Do đó phương trình xảy ra khi
(thỏa mãn).
Cách 2 Đặt
Ta được .
Có .
Dấu “=” xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Giải các phương trình sau
Bài 1. .
Bài 2. .
Bài 3. .-
Bài 4. .
Bài 5. .
Bài 6. .
Bài 7. .
Bài 8. .
Bài 9. .
Bài 10. .
Bài 12.
Bài 13.
Bài 14.
Bài 15.
Bài 16.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.
Giải các phương trình sau.
Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Bài 5.
Bài 6. .
Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Bài 10.
Bài 11.
Bài 12. .
Bài 13.
Bài 14.
Bài 15.
Bài 16. với
Bài 17.
Bài 18.
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Giải các phương trình sau:
Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Bài 5.
Bài 6.
Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Bài 10.
Bài 11.
Bài 12.
Yopo.vn
- \
PASS GIẢI NÉN: YOPOVN.COM
THẦY CÔ, CÁC EM DOWNLOAD FILE TẠI MỤC ĐÍNH KÈM!
CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN
CHỦ ĐỀ QUAN TÂM
CHỦ ĐỀ MỚI NHẤT
