TÀI LIỆU Chuyên đề đa thức lớp 10 có đáp án

[Yopovn]

TÀI LIỆU Chuyên đề đa thức lớp 10 có đáp án được soạn dưới dạng file word, pdf gồm các file trang. Các bạn xem và tải chuyên đề đa thức lớp 10 về ở dưới.

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

ĐA THỨC​

PHẦN I: MỤC TIÊU

• Cung cấp các lý thuyết chung về đa thức
• Vận dụng lý thuyết giải một số dạng toán về đa thức thường gặp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

PHẦN II: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ ĐA THỨC

CÁC ĐỊNH NGHĨA

1/ Đa thức P(x) bậc n là hàm được xác định như sau:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0

Trong đó a0, a1, …, an là các hằng số cho trước và

Khi đó a0, a1, …, an được gọi là các hệ số của đa thức

Người ta dùng deg P(x) để kí hiệu bậc của đa thức P(x)

• Nếu ai là các số nguyên thì P(x) gọi là đa thức với hệ số nguyên
• Nếu ai là các số hữu tỉ thì P(x) gọi là đa thức với hệ số hữu tỉ.

2/ Số x0 được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(x0) = 0

3/ Cho hai đa thức P(x) và Q(x). Ta nói rằng P(x) chia hết cho Q(x) nếu tồn tại đa thức h(x) sao cho P(x) = h(x). Q(x). Khi đó đa thức Q(x) là ước của đa thức P(x).

4/ Hai đa thức P(x) và Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu P(x) và Q(x) không có ước chung bậc dương

5/ Cho k là một số nguyên dương. Số x0 được gọi là nghiệm bội k của đa thức P(x) nếu như đa thức P(x) chia hết cho đa thức (x – x0)k nhưng không chia hết cho đa thức (x – x0)k+1

6/ Đa thức nguyên thuỷ là đa thức với hệ số nguyên và các hệ số của nó là nguyên tố cùng nhau.

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC

Mệnh đề 1: Giả sử P(x) và Q(x) là hai đa thức tuỳ ý. Đặt h(x) = P(x) + Q(x). Khi đó h(x) cũng là đa thức và

• deg h(x) = max{degP(x),degQ(x)} nếu degP(x) degQ(x)
• deg h(x) max{degP(x),degQ(x)} nếu degP(x) = degQ(x)

Mệnh đề 2: Giả sử P(x) và Q(x) là hai đa thức tuỳ ý. Đặt h(x) = P(x).Q(x). Khi đó h(x) cũng là đa thức và nếu thì deg h(x) = degP(x) + degQ(x).

Mệnh đề 3: Giả sử P(x) = h(x).Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức với hệ số hữu tỉ và thì h(x) cũng là đa thức với hệ số hữu tỉ.

Mệnh đề 4: (Định lý Bezout) Số x0 là nghiệm của đa thức P(x)

• Hệ quả 1: Mọi đa thức P(x) bậc n () không thể có quá n nghiệm.
• Nếu đa thức P(x)Bậc không quá n lại có n + 1 nghiệm thì tất cả các hệ số của nó bằng 0.
• Hệ quả 2: Nếu P(x) là đa thức mà lại là hàm tuần hoàn thì P(x) C, với C là hằng số nào đó

Mệnh đề 5: (Định lý Viete) Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 có các nghiệm x1, x2, …, xn. Khi đó ta có các đẳng thức sau:



Mệnh đề 6: (Định lý Viete đảo) Nếu như các số thực x1, x2, …, xn thoả mãn hệ:



Khi đó x1, x2, …, xn là n nghiệm của đa thức bậc n: P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0


Mệnh đề 7: (Định lý về nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên)

Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 là đa thức với hệ số nguyên, trong đó . Khi đó , nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) có dạng , trong đó r là ước của a0, s là ước của an và (r,s) =1

• Hệ quả 2: Nếu đa thức P(x) = xn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 , trong đó ai nguyên. Khi đó nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) đều là số nguyên và là một trong các ước số của hệ số a0.
• LƯỢC ĐỒ HORNER

1/ Tính giá trị của đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 khi x = ta dùng bảng Horner

	an​	an-1​	an-2​	…​	ak​	…​	a1​	a0​
	bn​	bn-1​	bn-2​	…​	bk​	…​	b1​	b0​

2/ Chia đa thức cho nhị thức bậc nhất x -

Nếu như trong bảng Horner b0 = 0 thì P() = 0 nên P(x) x -

CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Giả sử cho các số khác nhau b0, b1, …, bn và các giá trị tuỳ ý c0, c1, …, cn. Khi đó tồn tại duy nhất đa thức P(x) có bậc không vượt quá n thoả mãn các đẳng thức:

P(b0) = c0 ; P(b1) = c1 ; … ; P(bn) = cn

Đa thức này có dạng như sau:

• 
  
• ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

Định nghĩa: Giả sử P(x) là đa thức với các hệ số hữu tỉ. P(x) được gọi là bất khả quy trên Q nếu P(x) không biểu diễn được dưới dạng tích của hai đa thức bậc dương với các hệ số hữu tỉ.

Mệnh đề 8: Nếu P(x) là đa thức với các hệ số hữu tỉ thì nó có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

• Trong đó: là phân số tối giản
• Q(x) là một đa thức nguyên thuỷ

Bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên thuỷ là một đa thức nguyên thuỷ.
Mệnh đề 9: Nếu đa thức P(x) với các hệ số nguyên có bậc degP(x) > 1 mà bất khả quy trên Z thì cũng bất khả quy trên Q.

Mệnh đề 10: Cho đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 với hệ số nguyên và n > 1. Giả sử tồn tại số nguyên tố p thoả mãn các điều kiện sau:



Nếu P(x) có thể biểu diễn được dưới dạng tích của hai đa thức với hệ số nguyên thì bậc của một trong hai đa thức đó không nhỏ hơn k + 1

Mệnh đề 11: (Định lý Eisenstein về tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên) Cho đa thức với hệ số nguyên P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 ,

Biết rằng tồn tại số nguyên tố p sao cho

Khi đó P(x) bất khả quy trên Q.

Mệnh đề 12: Giả sử Q(x) là một đa thức với hệ số hữu tỉ có bậc 1. Khi đó với mọi đa thức với hệ số hữu tỉ P(x) tồn tại duy nhất một cặp đa thức R(x), S(x) với hệ số hữu tỉ sao cho ta có biểu diễn sau: P(x) = R(x).Q(x) + S(x) và deg S(x) < degQ(x) nếu S(x)0

Mệnh đề 13: Cho đa thức P(x) 0 với hệ số hữu tỉ. Giả sử a là một nghiệm của P(x). nếu P(x) là bất khả quy trên Q thì P(x) là một đa thức có bậc nhỏ nhất với các hệ số hữu tỉ và có một nghiệm là a.

PHẦN III: CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC​

DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH BẬC CỦA ĐA THỨC

Bài 1: Cho đa thức P(x) = (1 – 3x + 3x2)2002(1 + 3x – 3x2)2003

Tìm tổng các hệ số của đa thức có được sau khi khai triển , bỏ các dấu ngoặc và ước lượng các số hạng đồng dạng.

Hướng dẫn: S = P(1) = 1

Bài 2: Cho đa thức P(x) = (x27 + x7 - 1)2002

Tìm tổng các hệ số của các lỹ thừa bậc lẻ của đa thức sau khi khai triển , bỏ các dấu ngoặc và ước lượng các số hạng đồng dạng.

Hướng dẫn:

degP(x) = 27.2002 với hệ số của luỹ thừa cao nhất là 1=> đa thức P(x) là đa thức bậc chẵn

Giả sử sau khi khai triển và rút gọn đa thức P(x) đã cho có dạng

P(x) = x27.2002 + an-1xn-1 + …+a1x + a0

P(1) = 1 + a n-1 + a n-2 + … + a1 + a0

P(-1) = 1 - a n-1 + a n-2 - … - a1 + a0

P(1) – P(-1) = 2(a n-1 + a n-3 + …+ a1)

Đặt S = a n-1 + a n-3 + …+ a1 (tổng các hệ số của các lỹ thừa bậc lẻ)

Mặt khác P(1) = (1 + 1 - 1)2002 = 1

P(-1) = (-1 - 1 - 1)2002 = 32002

1 - 32002 = 2S => S =

Bài 3:Cho đa thức P(x) = (x2 + x + 1)1001. Gọi a0, a1, a2, … , a2002 là các hệ số của đa thức nói trên (trong dạng chính tắc P(x) = a2002x2002 + a2001x2001 + …+ a1x + a0 ). Đặt:

m = a0 + a2 + a4 + … + a2002

n= a1 + a3 + a5 + … + a2001

Xác định tính chẵn, lẻ của các số m và n

Bài 4:Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức có bậc n. chứng minh rằng hoặc là hoặc là là đa thức mà deg

Bài 5:Cho đa thức P(x) = x2n + a2n-1x2n-1 + … + a1x + a0. Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức Q(x) và R(x) sao cho degQ(x) = n, degR(x) < n và P(x) = Q2(x) + R(x)

Bài 6:Giả sử n nghiệm x1, x2, … , xn của đa thức P(x) bậc n với hệ số hữu tỉ có tính chất sau: xn – xn-1 = xn-1 – xn-2 = … = x2 – x1

Biết rằng đa thức P(x) không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số hữu tỉ có bậc n. Chứng minh rằng degP(x) 2 ?

Bài 7:Cho a1, a2, … , an là n nguyên đôi một khác nhau. Xét đa thức P(x) = (x – a1)(x – a2) … (x -an) – 2. Biết rằng P(x) có thể biểu diễn được dưới dạng tích của hai đa thức với hệ số nguyên và có bậc 1. Chứng minh rằng degP(x) = 3

THẦY CÔ TẢI NHÉ!