TUYỂN TẬP BỘ Đề thi chuyên toán vào lớp 10 năm 2020 - 2021 CÓ ĐÁP ÁN

[Yopovn]

TUYỂN TẬP BỘ Đề thi chuyên toán vào lớp 10 năm 2020 - 2021 CÓ ĐÁP ÁN được soạn dưới dạng file word gồm 5 FILE trang. Các bạn xem và tải đề thi chuyên toán vào lớp 10 năm 2020, đề thi chuyên toán vào lớp 10 năm 2021 ///về ở dưới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 1​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ​

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho thỏa mãn . Tính

b) Cho Tính giá trị biểu thức

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích số thành tổng của k số tự nhiên

Đặt Tìm chữ số tận cùng của S.

b) Cho là một tập hợp gồm số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn

hơn Chứng minh trong tập hợp luôn tìm được hai phần tử sao cho thuộc tập hợp .

Câu 3 (2 điểm)

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình



Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn các đường cao cắt nhau tại Gọi là trung điểm của

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh

c) Khi vị trí các đỉnh thay đổi trên đường tròn sao cho tam giác luôn nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác không đổi.

Câu 5 (1 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh

​

.......................Hết....................​

Họ và tên thí sinh:.................................................................................................. SBD:.................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Hướng dẫn chấm có 05 trang​

I. Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.

II. Đáp án – Thang điểm

Câu 1.

a) Cho thỏa mãn .Tính:

Đáp án​	Điểm​
Ta có:	0,25​
	0,25​
	0,25​
Vậy	0,25​

b) Cho Tính giá trị biểu thức

Đáp án​	Điểm​
Từ	0,25​
	0,25​
Ta có:	0,25​
Vậy	0,25​

Câu 2. (2 điểm):

a) Phân tích số thành tổng của k số tự nhiên

Đặt Tìm chữ số tận cùng của S.

Đáp án​	Điểm​
Với ta có Thật vậy	0,25​
	0,25​
Suy ra .	0,25​
. Vậy S có số tận cùng là 1	0,25​

b) Cho là một tập hợp gồm số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn

hơn Chứng minh trong tập hợp luôn tìm được hai phần tử sao cho thuộc

tập hợp .

Đáp án​	Điểm​
Ta chia các số nguyên từ đến thành nhóm:	0,25​
Vì có số nguyên dương khác nhau nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một nhóm có chứa số trở lên .	0,25​
Hiệu của hai số bất kỳ trong nhóm trên luôn lớn hơn nhỏ hơn . Trong các số này có số có cùng số dư khi chia cho hiệu 2 số này chia hết cho Giả sử hai số này là .	0,25​
Từ đó ta có ta được điều phải chứng minh.	0,25​

Câu 3.(2 điểm):

a) Giải phương trình

Đáp án​	Điểm​
Phương trình tương đương Đặt	0,25​
Ta có . Do đó	0,25​
Với ta có	0,25​
Với ta có Vậy phương trình có nghiệm là	0,25​

b) Giải hệ phương trình

Đáp án​	Điểm​
+ Với ( không thoả mãn) + Xét . Hệ phương trình tương đương	0,25
Đặt	0,25
Với	0,25
Với Vậy hệ phương trình có nghiệm là	0,25

Câu 4. (3 điểm) : Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại . Gọi là trung điểm của

​

Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

Đáp án​	Điểm​
Vì là đường cao nên Tứ giác nội tiếp đường tròn tâm đường kính BC. (1) (Góc nội tiếp và góc ở tâm)	0,25​
Tứ giác có nên nội tiếp được (2)	0,25​
Tương tự, tứ giác nội tiếp được (3) Từ (1);(2) ;(3)ta có :	0,25​
Từ nội tiếp bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.	0,25​

• 
  
• Chứng minh: .

Đáp án​	Điểm​
Xét và có chung ; (g.g) (4)	0,25​
Tương tự (g.g) (5)	0,25​
Cộng (4)(5) theo từng vế ta được :	0,25​
Vì nên ta có	0,25​

• 
  
• Khi vị trí các đỉnh thay đổi trên đường tròn chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác không đổi.

Đáp án​	Điểm​
Gọi lần lượt là giao điểm của các đường thẳng với (O). Ta có : (góc nội tiếp cùng chắn cung A’C) (cùng phụ với góc ACB)	0,25​
Tam giác có ; nên cân tại B là đường trung trực của HA’ là trung điểm của HA’	0,25​
Tương tự có E ;F là trung điểm của HB’ , HC’. Suy ra theo tỉ số đồng dạng	0,25​
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có: không đổi khi A,B,C thay đổi trên đường tròn (O).	0,25​

Câu 5. (1 điểm): Cho số thực dương thỏa mãn

Chứng minh

Đáp án​	Điểm​
Từ giả thiết ta có Đặt . Ta có Ta phải chứng minh	0,25​
Thật vậy: Thay	0,25​
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số ta được . Tương tự . .	0,25​
Cộng vế với vế và biến đổi Đẳng thức xảy ra khi hay	0,25​

.......................Hết.....................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 2​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi có 01 trang ​

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho và . Chứng minh rằng

b) Cho thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức .

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho phương trình trong đó Chứng minh nếu phương trình có nghiệm thì

b) Cho dãy số gồm 4041 số chính phương liên tiếp, trong đó tổng của 2021 số đầu bằng tổng của 2020 số cuối. Tìm số hạng thứ của dãy số đó.

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn có trực tâm và nội tiếp đường tròn Gọi là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác và nằm trong tam giác Gọi là giao điểm của đường thẳng với đường tròn ( ); là giao điểm của đường thẳng với ( ). Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại ,

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh thẳng hàng.

c) Trong trường hợp là phân giác của chứng minh đi qua trung điểm của đoạn thẳng .

Câu 5 (1,0 điểm) Cho . Chứng minh bất đẳng thức

.



.......................Hết.....................



Họ và tên thí sinh:...........................................................................SBD:.......................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Hướng dẫn chấm có 06 trang​

I. Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.

II. Đáp án – thang điểm

Câu 1. (2 điểm):

Cho và . Chứng minh rằng:

Đáp án​	Điểm​
Từ có được	0,25​
	0,25​
Do nên ta có (đpcm)	0,25​

b) Cho thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức: .

Đáp án​	Điểm​
Điều kiện	0,25​
Đặt có phương trình trở thành: .	0,25​
	0,25​
Vì và đối chiếu điều kiện nên có được	0,25​
Vậy	0,25​

Câu 2. (2 điểm):

a) Cho phương trình trong đó Chứng minh nếu phương trình có nghiệm thì

Đáp án​	Điểm​
Vì là nghiệm phương trình	0,25​
Ta có	0,25​
	0,25​
	0,25​
​

Cho dãy số gồm 4041 số chính phương liên tiếp, trong đó tổng của 2021 số đầu bằng tổng của 2020 số cuối. Tìm số hạng thứ của dãy số đó.

Đáp án​	Điểm​
Gọi số chính phương thứ 2021 là Ta có 4041 số chính phương liên tiếp là:	0,25​
Theo đề bài	0,25​
	0,25​
(vì x khác 0) Vậy số cần tìm là .	0,25​

Câu 3. (2 điểm):

Giải hệ phương trình:

Đáp án​	Điểm​
	0,25​
Do	0,25​
Thế vào ta có	0,25​
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:	0,25​

b)Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:

Nội dung​	Điểm​
Ta có Đặt với . Khi đó	0,25​
	0,25​
Thay vào (*) mà chia 3 dư 2	0,25​
Với (Thỏa mãn) Với (Loại vì a<0) Với (Thỏa mãn) Vậy	0,25​

Câu 4.(3 điểm): Cho tam giác nhọn có trực tâm và nội tiếp đường tròn Gọi là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác và nằm trong tam giác Gọi là giao điểm của đường thẳng với đường tròn ( ); là giao điểm của đường thẳng với ( ). Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại ,

Vẽ hình:





Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Đáp án​	Điểm​
Ta có ,	0,5​
mà .Suy ra được nên tứ giác nội tiếp	0,5​

• 
  
• Chứng minh thẳng hàng.

Đáp án​	Điểm​
Từ tứ giác nội tiếp, suy ra .	0,25​
Từ các tứ giác nội tiếp ta có	0,5​
.Vậy 3 điểm thẳng hàng.	0,25​

• 
  
• Trong trường hợp là phân giác của chứng minh đi qua trung điểm của đoạn thẳng .

Đáp án​	Điểm​
Ta có: suy ra tương tự suy ra tứ giác là hình bình hành.	0,25​
Vậy hay là phân giác suy ra thẳng hàng.	0,25​
Gọi thì .	0,25​
Từ đó ta có: hay tương tự	0,25​

Câu 5.(1 điểm ): Cho . Chứng minh bất đẳng thức:

.











​

Đáp án​	Điểm​
Đặt với BĐT (*) trở thành :	0,25​
Áp dụng bđt ta có:	0,25​
Lại có :	0,25​
Từ (1) và (2) ta có : BĐT (**) đúng vậy BĐT cần chứng minh là đúng. Đẳng thức xảy ra	0,25​

......................Hết.....................​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 3​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2020 Môn thi: Toán (chuyên) (Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi này có 01 trang)​

Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức với .

a. Rút gọn A.

b. Tìm x để .

Câu 2. (2,5 điểm)

1. Cho phương trình (m là tham số). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn .

2. Giải hệ phương trình .

Câu 3. (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 4. (3,5 điểm) Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (B, C là các tiếp điểm, , ). Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với DE tại H, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh:

a. Tứ giác BCOH nội tiếp;

b. KD là tiếp tuyến của đường tròn (O);

c. .

Câu 5. (1,0 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho là số nguyên.

…...................... Hết …......................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm​

Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh:...............................

Chữ kí của cán bộ coi thi 1:............................... Chữ kí của cán bộ coi thi 2:.........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC​

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2020 Môn thi: Toán (chuyên) (Hướng dẫn này có 03 trang)​

Câu​	Sơ lược lời giải​	Điểm​
1 (2,0 đ)​	a.	0,5​
	0,5​
b.	0,5​
Vì với mọi x nên KL: .	0,5​
2 (2,5 đ)​	1. Đặt . Phương trình trở thành (*) Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt dương	0,5​
	0,25​
	0,25​
Giải phương trình được (loại), ( t/m đk). KL.	0,25​
2. ĐK:	0,25​
	0,5​
(loại do ) ( t/m đk) thay vào phương trình được (đk: )	0,25​
Biến đổi phương trình thành . Giải phương trình đươc (loại do đk ), (t/m đk) Với . Vậy hệ phương trình có nghiệm	0,25​
3 (1,0 đ)​		0,25​
	0,25​
Vậy	0,25​
Vậy M lớn nhất là khi , M nhỏ nhất là khi	0,25​
4 (3,5 đ)​	a. Chỉ ra 5 điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO tứ giác BCOH nội tiếp	1,0​
b.Tứ giác BCOH nội tiếp . OBC cân .	0,25​
OHC và OCK có , chung OHC OCK	0,25​
mà OC = OD	0,25​
OHD và ODK có , chung OHD ODK	0,25​
KD là tiếp tuyến của (O)	0,25​
c. Tứ giác BCOH nội tiếp , theo ý b có .	0,25​
OHC và BHK có BHK OHC	0,25​
ODK vuông tại D, đường cao DH , lại có OH DE HD = HE	0,25​
BHE và EHC có và BHE EHC	0,25​
Lại có (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn ) .	0,25​
5 (1,0 đ)​		0,25​
. , kết hợp với	0,25​
.	0,25​
Kết hợp đk nguyên hoặc . KL: Các cặp số cần tìm là và .	0,25​

Hình vẽ cho câu 4



Những chú ý khi chấm thi:

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.

2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết.

3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn.

...................................... Hết ........................................​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ​ ĐỀ THI CHÍNH THỨC​ Đề số 4​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 21 tháng 7 năm 2020 Môn thi: TOÁN ( Dành cho thí sinh thi chuyên Toán ) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)​

Câu 1. (2,0 điểm)

• Giải hệ phương trình .
• Giải phương trình .

Câu 2. (2,0 điểm)

• Cho các parabol . Lấy các điểm thuộc và thuộc sao cho là hình vuông nhận làm trục đối xứng. Tính diện tích hình vuông .
• Cho là ba số thực phân biệt thỏa mãn . Chứng minh rằng .

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Câu 4. (2,0 điểm)

• Tìm các số nguyên dương để là số chính phương.
• Chứng minh rằng có thể chọn số trong số nguyên tố phân biệt bất kì sao cho chia hết cho .

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi là điểm chính giữa cung không chứa và là điểm trên đoạn sao cho .

• Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
• Vẽ đường tròn tiếp xúc với tại và tiếp xúc với lần lượt tại .
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
• Chứng minh tứ giác nội tiếp.

------ HẾT------



Họ và tên thí sinh ....................................................Số báo danh..................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (CHUYÊN)

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 21 tháng 7 năm 2020.

(Hướng dẫn này có 2 trang)​

HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác nếu đúng cho điểm theo quy định của ý (câu) đó. Điểm toàn bài làm tròn đến hàng 0,25.

Câu​	Ý​	NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM​	Điểm​
1 2,0 điểm​	1​	Hệ	0.25​
TH . Ta được Hệ có nghiệm	0,25​
TH Ta được Hệ có nghiệm	0,25​
Vậy hệ có 2 nghiệm	0,25​
2​	Đặt . Ta được	0,25​
(thỏa mãn)	0,25​
(thỏa mãn)	0,25​
Vậy phương trình có 2 nghiệm .	0,25​
2 2,0 điểm​	1​	​	​
Gọi . Khi đó do là trục đối xứng của hình vuông nên . Do nên	0,25​
	0,5​
Diện tích hình vuông là	0,25
2​	Đặt . Ta có nên là 3 nghiệm của đa thức	0.25​
Do có 3 nghiệm nên	0,25​
Từ đó suy ra	0,25​
Đồng nhất hệ số 2 vế ta được	0,25​
3 1,0 điểm​	1​	Ta có	0,5
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có	0,25​
Dấu “=” xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của là 8	0,25​
4 2,0 điểm​	1​	Gọi là số nguyên dương sao cho . Khi đó	0.25​
Ta có và nên hoặc	0,25​
Giải ra ta được hoặc	0,25​
Vậy là số chính phương khi hoặc	0,25​
2​	Trong 7 số nguyên tố phân biệt, có ít nhất 5 số lớn hơn 3. Chọn 5 số lớn hơn 3 đó. Các số trong 5 số này chia cho 3 có số dư là 1 hoặc 2. Như thế có ít nhất 3 số khi chia cho 3 có cùng số dư. Chọn ra 3 số	0,75​
Khi đó các hiệu . Vậy	0,25​
5 2,0 điểm ​	1​	​	​
Ta có nên	0.25​
Mặt khác ;	0,25​
Mà nên	0,25​
Suy ra là các phân giác trong tam giác nên là tâm đường tròn nội tiếp.	0,25​
2.a​	Ta có thẳng hàng và vì cùng vuông góc nên	0.5​
Do đó . Suy ra thẳng hàng	0,5​
2.b​	Suy ra . Gọi là điểm chính giữa cung không chứa . Chứng minh tương tự	0,25​
Từ đó suy ra . Do đó thẳng hàng.	0,25​
Khi đó . Suy ra tứ giác nội tiếp.	0,5​
Tổng số điểm toàn bài là 10 điểm.​

------ Hết -----​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THPT CHUYÊN

TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2020 – 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ​

MÔN: TOÁN – THPT CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề



Đề số 5

Câu I (2,0 điểm)

1) Tính giá trị đúng của biểu thức

2) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho là một số nguyên.

Câu II (3,0 điểm)

1) Cho phương trình (1) (với là tham số thực).

a) Giải phương trình (1) khi

b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

2) Giải hệ phương trình với

Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho hàm số có đồ thị Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn và nội tiếp trong đường tròn Gọi là điểm đối xứng của qua Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên và với khác và thuộc đoạn thẳng Gọi là giao điểm của đường thẳng và

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh tam giác cân.

3) Chứng minh là trung điểm của

4) Cho điểm nằm bên ngoài đường tròn và một đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua đồng thời cắt tại hai điểm phân biệt Giả sử bán kính đường tròn bằng Tính diện tích lớn nhất của tam giác theo

Câu V (1,5 điểm)

1) Cho đa thức (với ). Tìm biết rằng và

2) Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-------------------HẾT-------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.​

Họ và tên thí sinh: ………………………………………. Số báo danh: ….....…………

Chữ ký giám thị 1: ………………………… Chữ ký giám thị 2: ………………………….



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THPT CHUYÊN

TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2020 – 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

I. Hướng dẫn chung​

1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi.

3. Điểm bài thi là điểm sau khi cộng điểm toàn bài thi và không làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm​

Câu I (2,0 điểm)

1) Tính giá trị đúng của biểu thức

2) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho là một số nguyên.

Câu​	Nội dung​	Điểm​
1​	Ta có Từ đó, ta có	0,25 0,25 0,25
2​	Ta có	0,25
Khi đó là số nguyên khi và chỉ khi	0,25
Ta có 6 trường hợp: (nhận) hoặc (nhận) (nhận) hoặc (nhận) (nhận) hoặc (nhận).	0,75​

Câu II (3,0 điểm)

1) Cho phương trình (1) (với là tham số thực).

a) Giải phương trình (1) khi

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

2) Giải hệ phương trình với

Câu​	Nội dung​	Điểm​
​	1​	a) Khi phương trình (1) trở thành	0,25​
Ta có	0,25​
Nghiệm của phương trình là hoặc	0,5​
b) Ta có Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*)	0,25 0,25​
Với điều kiện (*), theo hệ thức Vi-et, ta có Khi đó	0,25​
So với điều kiện (*), ta nhận:	0,25​
2​	Ta có	​
Dễ thấy Từ phương trình (2), ta có: (3)	0,25​
Đặt Từ (3), ta có Với ta có	0,25​
Thay vào phương trình (1), ta có: (4) Đặt Từ (4), ta có (do )	0,25​
Với ta có Vậy	0,25​

Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho hàm số có đồ thị Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

Câu​	Nội dung​	Điểm​
1​	Bảng biến thiên ​	0,25​
Một số giá trị cụ thể: cho Cho	0,25​
Đồ thị ​	0,5​

Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn, và nội tiếp đường tròn Gọi là điểm đối xứng của qua Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên và với khác và thuộc đoạn thẳng Gọi là giao điểm của đường thẳng và

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh tam giác cân.

3) Chứng minh là trung điểm của

4) Cho điểm nằm bên ngoài đường tròn và một đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua đồng thời cắt tại hai điểm phân biệt Giả sử bán kính đường tròn bằng Tính diện tích lớn nhất của tam giác theo

Câu​	Nội dung​	Điểm​
1​	Hình vẽ thể hiện được đầy đủ giả thiết.	0,25​
a) Ta có nên tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính Do đó, bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.	0,5​
b) Ta có (1) ; (2) và (3) Từ (1), (2) và (3), ta suy ra Suy ra cân tại	0,5​
c) Gọi là trung điểm của Do cân tại nên Mặt khác, ta có Suy ra // Suy ra Suy ra là trung điểm của	0,5​
d) Kẻ đường cao Ta có khi và chỉ khi hay tam giác vuông tại (tam giác luôn tồn tại vì luôn tồn tại hai điểm P và Q thuộc (O) sao cho và đường thẳng PQ đi qua điểm E). Vậy là diện tích lớn nhất của tam giác	0,25 0,25 0,25​

Câu V (1,5 điểm)

1) Cho đa thức (với ). Tìm biết rằng và

2) Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu​	Nội dung​	Điểm​
1​	Ta có và	0,25​
Giải hệ	0,25​
2​	Dễ thấy với mọi số thực dương và ta có (*) Áp dụng (*), với và ta có (**)	0,25​
Với các số thực ta luôn có: Suy ra hay (***)	0,25​
Từ (**) và (***), ta suy ra	0,25​
Vậy là giá trị nhỏ nhất.	0,25​

-------------------HẾT-------------------​

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 – TP.HCM MÔN: TOÁN CHUYÊN 17/07/2020 Đề số 6​

ĐỀ THI​

Bài 1. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện .

Tính giá trị của biểu thức .

Bài 2.

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình .

Bài 3. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh rằng các đường thẳng qua lần lượt vuông góc với đồng quy.

Bài 4.

a) Cho 2 số thực . Chứng minh rằng .

b) Cho hai số dương thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 5. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại . Kẻ đường kính của đường tròn . Gọi là đường thẳng qua song song với . Đường thẳng cắt lần lượt tại .

a) Chứng minh: thẳng hàng.

b) cắt lần lượt tại . Chứng minh .

Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình .

HƯỚNG DẪN GIẢI​

Bài 1. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện .

Tính giá trị của biểu thức .

Hướng dẫn giải.



Bài 2.

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình .

Hướng dẫn giải.

a)

Đặt .

Ta có: . Từ phương trình đã cho, ta được:



.

Như vậy:



Thử lại, ta suy ra phương trình đã cho có tập nghiệm .

b)



TH1: .

Thay vào ta được

​

Do đó trong trường hợp này ta tìm được các nghiệm .

TH2: .

Thay vào ta được

​

Do đó trong trường hợp này ta tìm được các nghiệm .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm .

Bài 3. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh rằng các đường thẳng qua lần lượt vuông góc với đồng quy.

Hướng dẫn giải.

​

Gọi là trực tâm .

Kẻ là đường kính của . Suy ra . Mà nên .

Do đó .

Gọi là điểm đối xứng của qua . Suy ra là hình bình hành, suy ra .

Mà nên .

Vậy đường thẳng qua và vuông góc với đi qua .

Chứng minh tương tự, ta có:

Đường thẳng qua và vuông góc với đi qua .

Đường thẳng qua và vuông góc với đi qua .

Vậy các đường thẳng qua lần lượt vuông góc với đồng quy tại .

Bài 4.

a) Cho 2 số thực . Chứng minh rằng .

b) Cho hai số dương thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải.

a) Ta có

(luôn đúng với mọi là số thực).

b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 16.

Bài 5. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại . Kẻ đường kính của đường tròn . Gọi là đường thẳng qua song song với . Đường thẳng cắt lần lượt tại .

a) Chứng minh: thẳng hàng.

b) cắt lần lượt tại . Chứng minh .

Hướng dẫn giải.

​

Vẽ cắt tại

Xét tam giác có:

Suy ra là trực tâm tam giác , do đó .

Lại có: .

Mà vuông tại nên (do ).

Do đó vuông tại hay . Mặt khác

thẳng hàng.

Do đó và . Suy ra thẳng hàng.

Cách 2: Vì nên . Hai tam giác đều cân mà có các góc ở đỉnh bằng nhau nên chúng đồng dạng. Suy ra , suy ra thẳng hàng.

b)

Do nên (bổ đề hình thang cho hình thang có ).

Chứng minh bổ đề.

Ta có: , mà (chứng minh câu a))

Suy ra: .

Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình .

Hướng dẫn giải.

Từ giả thiết ta có , suy ra chia 3 dư 2, do đó chia 3 dư 2.

Như vậy với . Khi đó:

.

Ta thấy rằng số nguyên dương là ước của nhưng lại không chia hết cho 3, do đó , tức là . Vậy .

Cách 2: Ta có Do đó, tồn tại các số tự nhiên sao cho

.​

Vì nên hay Rút , thay vào phương trình dưới, ta có

hay

​

Vì vế phải nguyên nên ta phải có hay Tuy nhiên, nếu thì chia hết cho trong khi vế trái không chia hết cho vô lý. Do đó, hay

.​

Giải ra được Thay vào đề bài, ta được nên

Vậy nên tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 7​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN (Chuyên)​ Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (1,5 điểm) Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 sao cho hệ phương trình

có nghiệm . Chứng minh rằng .

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Giải phương trình .

Câu 3. (2,5 điểm)

a) Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho và đều là các số chính phương.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) sao cho có giá trị là số nguyên.

Câu 4. (2,5 điểm) Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm và nằm khác phía đối với đường thẳng AB. Đường thẳng d thay đổi đi qua B cắt các đường tròn và lần lượt tại C và D (d không trùng với đường thẳng AB).

a) Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất.

b) Gọi M là điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O); N là điểm di chuyển từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn sao cho luôn bằng . Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

----- HẾT -----​

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.



Họ tên thí sinh ...................................................... Số báo danh ..............................

HƯỚNG DẪN GIẢI​

Câu 1 ​	Cộng theo vế của các phương trình, ta có Trường hợp 1. . Khi đó Trường hợp 2. , Thay vào hệ ta có Nếu Từ (II) suy ra , suy ra Nếu ta có (Vô lí do ). Vậy trong trường hợp 2 ta có .Suy ra Chú ý: Có thể giải theo cách sau , suy ra
Câu 2a ​	Giải hệ Từ phương trình (1) và (2), ta có Với , thay vào phương trình (2), ta có , khi đó hoặc ; Với , thay vào phương trình (2), ta có Khi đó không thỏa mãn; Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm và .
Câu 2b	b) Điều kiện ; Ta có Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt và .
Câu 3a ​	Đặt ; Suy ra . ( ) Từ phương trình trên suy ra là số lẻ đặt ( ) Ta có Ta có , suy ra , đồng thời , suy ra Mặt khác, là số chính phương nên hoặc Nên không tồn tại y để . Vậy không tồn tại n thỏa mãn điều kiện trên
​ Câu 3b ​	Từ giả thiết suy ra là số nguyên. Ta có Suy ra tồn tại giá trị k nguyên dương sao cho Nếu , ta có , suy ra (1) Do nên bất phương trình (1) vô nghiệm. Nếu , ta có (2) Giải ra ta được các cặp thỏa mãn (2) là , , , . Thử lại ta có là cặp số nguyên duy nhất thỏa mãn.
Câu 4a	Kéo dài AO cắt (O) tại E, kéo dài AO’ cắt đường tròn (O’) tại F. Suy ra E, B, F thẳng hàng. Ta có (cùng chắn cung của (O)). (cùng chắn cung của (O’)). Nên và đồng dạng Suy ra do (không đổi) Vậy CD lớn nhất khi d đi qua B và vuông góc với AB.
Câu 4b		Gọi I là trung điểm của EF. Ta có O’I song song và bằng đoạn OA, suy ra là hình bình hành Suy ra Do và M, N di chuyển ngược chiều. Xét hai trường hợp Trường hợp 1. M trùng P hoặc P’. - Nếu M trùng P khi đó N trùng Q Suy ra - Nếu M trùng khi đó N trùng Suy ra
TH2. Nếu M không trùng P và P’ khi đó N không trùng với Q và Do và suy ra Ta có ; Suy ra Trong mọi trường hợp ta luôn có ,suy ra trung trực của đoạn MN luôn đi qua điếm I cố định
Câu 5 ​	Chứng minh BĐT với . Ta có mặt khác suy ra Từ giả thiết suy ra z là số dương, ta có . Đặt suy ra . Ta có . Ta có , suy ra Suy ra . Suy ra , dấu = xảy ra khi . Vậy GTNN của P bằng 1.

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 8​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang)​

Câu 1 (1,0 điểm). Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức

​

Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên dương thỏa mãn

Câu 4 (1,0 điểm). Chứng minh không là số chính phương.

Câu 5 (2,0 điểm). Cho một bảng ô vuông có kích thước (gồm 2020 hàng và 2020 cột). Người ta tô màu đen 3030 ô vuông bất kì của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra 1010 hàng và 1010 cột của bảng sao cho các ô được tô màu đen đều nằm trên 1010 hàng hoặc 1010 cột đã chọn.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho đường tròn tâm đường kính Vẽ đường tròn tâm cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Trên đường tròn lấy điểm nằm trên cung nhỏ với Đoạn thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh :

a)

b)

Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .

a) Chứng minh

b) Cho tính độ dài đoạn thẳng theo

------ HẾT ------

Họ và tên thí sinh:…………….…………................Số báo danh………

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN​ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020- 2021 MÔN THI: TOÁN Dành cho chuyên Tin​

HƯỚNG DẪN CHẤM

( Bản hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)​

I. Hướng dẫn chung

- Giám khảo cần nắm vững yêu cầu của hướng dẫn chấm để đánh giá đúng bài làm của thí sinh. Thí sinh làm cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Khi vận dụng đáp án và thang điểm, giám khảo cần chủ động, linh hoạt với tinh thần trân trọng bài làm của học sinh.

- Nếu có việc chi tiết hóa điểm các ý cần phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm và được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi.

- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu hỏi trong đề thi, chấm điểm lẻ đến 0,25 và không làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm

Câu​	Nội dung​	Điểm​
Câu 1	Ta có:	0.25 0.25 0.25 0.25​
Câu 2	Ta có: TH1: suy ra là nghiệm của phương trình Ta có hai nghiệm TH2: suy ra là nghiệm của phương trình Ta có hai nghiệm Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm	0.25 0.25 0.25 0.25​
Câu 3	Ta có: Vì là các số nguyên dương nên ta có Nên từ (*) suy ra	0.5 0.25​ 0.25​
Câu 4	Ta có: Suy ra Vậy không là số chính phương vì một số chính phương chia cho 4 chỉ có dư là 0 hoặc 1.	0.25 0.25 0.25 0.25​
Câu 5	Vì có 2020 cột nên ta có thể chọn ra 1010 cột có số ô được tô màu đen nhiều nhất. Khi có có hai khả năng xảy ra: Khả năng 1: Trong 1010 cột đã chọn chứa hết 3030 ô màu đen, khi đó ta chọn 1010 hàng bất kì thì bài toán được giải quyết. Khả năng 2: Trong 1010 cột đã chọn không chứa đủ 3030 ô màu đen. Ta đi chứng minh số ô màu đen còn lại nhỏ hơn hoặc bằng 1010. Khi đó, ta chỉ cần chọn ra 1010 hàng chứa các ô màu đen còn lại thì bài toán được chứng minh. Thật vậy, giả sử số ô màu đen còn lại lớn hơn 1010 (hay tổng số ô đen trong 1010 cột đã chọn nhỏ hơn 2020). Theo nguyên lý Dirichlet, trong 1010 cột còn lại không được chọn, có ít nhất 1 cột chứa hai ô màu đen. Mặt khác vì 1010 cột ta chọn chứa số ô màu đen nhiều nhất nên mỗi cột phải chứa ít nhất 2 ô đen. Suy ra tổng số ô đen trong 1010 cột đã chọn lớn hơn hoặc bằng 2020 (mâu thuẫn) Vậy điều giả sử là sai. Bài toán được giải quyết hoàn toàn.	1.0 1.0​
Câu 6	a) Ta có là đường trung trực của suy ra trên có Do đó (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) (1) b) Ta có : Mặt khác ta có (chắn nửa đường tròn) suy ra là tiếp tuyến của Do đó Từ (1) và (2) suy ra tam giác và tam giác đồng dạng (g-g). Suy ra	​ 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25​
Câu 7	​ a) Kẻ cắt tại suy ra là điểm chính giữa cung hay là đường trung trực của Gọi cắt tại , khi đó là trung điểm của Ta có cân tại suy ra Mặt khác ta có (cùng vuông góc với AB) suy ra Từ (1) và (2) suy ra b) Kẻ đường kính của đường tròn suy ra (chắn nửa đường tròn). Xét tứ giác có suy ra là hình bình hành hay là trung điểm của Xét có là đường trung bình nên suy ra Mặt khác theo đề bài ta có: suy ra tam giác đều Khi đó (**) Từ (*) và (**) suy ra	0.25 0.25 0.25 0.25 0.25​ 0.25 ​ 0.25 0.25​

---- Hết---

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 9​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang)​

Câu 1 (1,5 điểm). Cho hai số thực thỏa mãn Chứng minh

​

Câu 2 (1,5 điểm). Giải phương trình .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 4 (1,0 điểm). Cho số nguyên dương thỏa mãn và là các số chính phương. Chứng minh là hợp số.

Câu 5 (1,0 điểm). Bạn Chi được thưởng mỗi ngày ít nhất một chiếc kẹo, nhưng trong ngày liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận được không quá 10 chiếc. Chứng minh trong một số ngày liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận được là chiếc.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho đường tròn từ điểm nằm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và Vẽ đường kính của đường tròn Đường thẳng cắt đường tròn tại khác

a) Chứng minh tam giác và tam giác đồng dạng.

b) Gọi là giao điểm của và Chứng minh

Câu 7 (2,0 điểm). Cho đường tròn nội tiếp tam giác Điểm thuộc cạnh với Đường tròn nội tiếp tam giác Đường thẳng song song với tiếp xúc với đường tròn cắt các cạnh lần lượt tại Gọi là giao điểm của với , đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh:

a) Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

b)

------ HẾT ------

Họ và tên thí sinh:…………….…………................Số báo danh………​

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN​ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020- 2021 MÔN THI: TOÁN Dành cho chuyên Toán​

HƯỚNG DẪN CHẤM

( Bản hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)​

I. Hướng dẫn chung

- Giám khảo cần nắm vững yêu cầu của hướng dẫn chấm để đánh giá đúng bài làm của thí sinh. Thí sinh làm cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Khi vận dụng đáp án và thang điểm, giám khảo cần chủ động, linh hoạt với tinh thần trân trọng bài làm của học sinh.

- Nếu có việc chi tiết hóa điểm các ý cần phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm và được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi.

- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu hỏi trong đề thi, chấm điểm lẻ đến 0,25 và không làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm

Câu​	Nội dung​	Điểm​
Câu 1	Ta có	0,5 0,5 0,5​
Câu 2	ĐK : Ta có: Do với mọi nên từ (*) suy ra Vậy phương trình có một nghiệm	0,25 0,25​ 0,5 0,5​
Câu 3	Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và ta có: CMTT ta có: Từ đó suy ra: Vậy giá trị lớn nhất của là 1010 khi và chỉ khi	0,5 ​ 0,25 ​ 0,25​
Câu 4	Đặt Khi đó ta có: Vì suy ra . Ta cần chứng minh Hay ( luôn đúng) Vậy là hợp số.	0,25 ​ 0,5 ​ 0,25​
Câu 5	Xét 28 ngày liên tiếp từ ngày thứ nhất đến ngày thứ 28 mà Chi nhận được kẹo. Gọi là tổng số kẹo Chi nhận được đến ngày thứ Vì tổng số kẹo Chi nhận được trong 7 ngày liên tiếp không vượt quá 10 chiếc nên ta có: Xét 28 số nguyên dương phân biệt . Theo nguyên lý Đirichlet, tồn tại hai số với hay Mặt khác ta có: suy ra Vậy từ ngày thứ đến ngày thứ thì Chi nhận đúng 27 chiếc kẹo.	0,5​ 0,25 0,25​
Câu 6	​ a) Xét tam giác và tam giác có: chung Do đó tam giác và tam giác đồng dạng (g-g) b) Xét tam giác vuông tại , đường cao có : Mặt khác ta có hai tam giác và đồng dạng (g-g) suy ra Từ (1) và (2) suy ra suy ra hai tam giác và đồng dạng. Do đó Mặt khác (cùng chắn cung ) suy ra Xét hai tam giác và có: chung, suy ra hai tam giác và đồng dạng Do đó	​ 1,0​ 0,25 0,25 0,25​ 0,25 ​
Câu 7	​ a) Ta có: Mà suy ra suy ra (1) Tương tự ta có Từ (1) và (2) suy ra do đó bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. Chú ý : Ra một trong hai nội dung ở (1) hoặc (2) cho 0,5 điểm. b) Xét tam giác và có : do đó hai tam giác và tam giác đồng dạng. Suy ra : Xét tam giác và có : do đó hai tam giác và tam giác đồng dạng. Suy ra Từ (*) và (**) suy ra ( Do suy ra ) Vậy	0,5 0,5​ 0,25 ​ 0,25 ​ 0,25 0,25 ​

---- Hết---

​ ĐỀ THI CHÍNH THỨC​ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH Đề số 10​	ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Bài thi môn chuyên: TOÁN; Ngày thi: 18/7/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)​
​	Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang​

Câu 1 (2,0 điểm):

1. Cho với . Chứng minh là một số tự nhiên.

2. Tính giá trị của biểu thức với .

Câu 2 (2,0 điểm):

1. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

2. Giải hệ phương trình

Câu 3 (1,5 điểm):

1. Tìm tất cả các số nguyên sao cho là số chính phương.

2. Giải bất phương trình .

Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm và dây cung AB cố định ( ). là điểm di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ). Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại ( ). Gọi là tiếp tuyến chung của với tại , là tiếp tuyến chung của với tại , cắt tại điểm .

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh: và bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ).

Câu 5 (1,5 điểm):

1. Cho ba số dương thoả mãn:

Chứng minh rằng:

2. Với số thực , ta định nghĩa phần nguyên của số là số nguyên lớn nhất không vượt quá và kí hiệu là . Dãy các số được xác định bởi công thức . Hỏi trong 200 số có bao nhiêu số khác 0? (Biết )

------HẾT------

Lưu ý: Thí sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ

và không có chức năng soạn thảo văn bản.​

Họ và tên thí sinh:...................................................... Số báo danh:...................................................
Họ và tên, chữ ký:	Cán bộ coi thi thứ nhất:................................................................................ Cán bộ coi thi thứ hai:..................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ​	HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2020 - 2021 Bài thi môn chuyên: TOÁN - Ngày thi: 18/7/2020 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)​

I. Hướng dẫn chung

1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.

2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.

3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.

4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất.

5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi.

6. Tuyệt đối không làm tròn điểm.

II. Hướng dẫn chi tiết

Câu​	Nội dung​	Điểm​
1 (2,0 đ) ​	1. (1,0 điểm) Cho với . Chứng minh là một số tự nhiên.
	0,25​
	0,25​
	0,25​
Vì ( đpcm).	0,25​
2. (1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức với .
Với Ta có:	0,25​
	0,25​
Với	0,25​
Suy ra	0,25​
2 (2,0 đ) ​	1. (1,0 điểm). Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
	0,25​
+) Nếu Từ giả thiết	0,25​
+) Nếu	0,25​
Kết luận .	0,25​
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Có	0,25​
+) Trường hợp 1: thay vào ta được	0,25​
+) Trường hợp 2: thay vào ta được	0,25​
Vậy hệ có 4 nghiệm	0,25​
3 (1,5 đ)​	1. (0,75 điểm) . Tìm tất cả các số nguyên sao cho là số chính phương.
Đặt với là số nguyên khác 0. . Có là số chẵn nên và cùng tính chẵn lẻ	0,25​
Nếu là số lẻ thì cũng lẻ là số lẻ .	0,25​
Nếu là số chẵn thì cũng chẵn (vô lý) Vậy không tồn tại n thỏa mãn bài toán.	0,25
2. (0,75 điểm) Giải bất phương trình
Điều kiện: .	0,25​
	0,25​
Đối chiếu ĐK tập nghiệm của bất phương trình là:	0,25​
4 (3,0 đ) ​	Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm và dây cung AB cố định ( ). là điểm di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ). Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại ( ). Gọi là tiếp tuyến chung của với tại , là tiếp tuyến chung của với tại , cắt tại điểm . 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh: và bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ).
A O N C D B P Q E H Vẽ hình được 0,5 điểm
1. (0,5 điểm) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Có (Tính chất tiếp tuyến)	0,25​
(Tính chất tiếp tuyến) . cùng nhìn dưới một góc vuông nên tứ giác nội tiếp .	0,25​
2. (1,25 điểm) Chứng minh rằng và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
Trong đường tròn có sđ Trong đường tròn có sđ	0,25​
Trong đường tròn có sđ	0,25​
Ta có , suy ra NAQB nội tiếp .	0,25​
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên một đường tròn ( hai góc nội tiếp cùng chắn )	0,25​
Trong có (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). Trong có (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.	0,25
3.(0,75 điểm). Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ).
Theo các ý trên suy ra 5 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính	0,25​
Gọi E là trung điểm ; do cố định suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi đi qua các điểm .	0,25​
thuộc đường trung trực của đoạn thẳng Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định.	0,25​
5 (1,5đ ) ​	1. (0,75 đ) Cho ba số dương thoả mãn: Chứng minh rằng:
Đặt với ( ); và áp dụng các BĐT: suy ra	0,25​
	0,25​
Suy ra (đpcm).	0,25​
2. (0,75 đ) Với số thực , ta định nghĩa phần nguyên của số là số nguyên lớn nhất không vượt quá và kí hiệu là . Dãy các số được xác định bởi công thức . Hỏi trong 200 số có bao nhiêu số khác 0 ? (Biết )
Nên các số khác 0 chỉ nhận giá trị bằng 1.	0,25 ​
	0,25​
Mà nên số các số khác 0 là 141	0,25 ​

------------ Hết ------------

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 11​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề​

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình

b) Giải phương trình

c) Giải hệ phương trình

Câu 2 (1,5 điểm).

a) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho cũng là số nguyên tố.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn .

Cho biết kí hiệu là tích các số tự nhiên từ đến .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số dương . Chứng minh rằng



Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác tia cắt đường tròn tại điểm (khác ). Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm (khác ) và cắt cạnh tại điểm .

a) Chứng minh rằng tam giác cân. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

b) Chứng minh

c) Gọi các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh . Gọi lần lượt là các điểm đối xứng với qua Biết rằng chứng minh

Câu 5 (0,5 điểm). Thầy Du viết số thành tổng của các số nguyên dương rồi đem cộng tất cả các chữ số của các số nguyên dương này với nhau. Hỏi thầy Du có thể nhận được kết quả là số hoặc được không? Tại sao?

-------------Hết-------------

Học sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ............................................................... Số báo danh: ……………......

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin ————————​

Lưu ý chung:

- Hướng dẫn chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải, nếu học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm theo thang điểm của hướng dẫn chấm.

- Trong một bài, thí sinh giải đúng đến đâu cho điểm đến đó.

- Bài hình học nếu không vẽ hình thì không cho điểm, nếu vẽ hình sai thì không cho điểm ứng với phần vẽ hình sai.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu 1 (4,0 điểm).

a) (1,5 điểm). Giải phương trình

Nội dung​	Điểm​
Điều kiện xác định: Phương trình:	0,5​
	0,5​
	0,25​
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất	0,25​

b) (1,5 điểm). Giải phương trình

Nội dung​	Điểm​
Điều kiện xác định (1)	0,25​
+) Nhận xét: không là nghiệm của phương trình. +) Với : Khi đó phương trình viết được thành	0,25​
Đặt , thay vào phương trình trên ta được:	0,5​
Với ta có: vô nghiệm do . Với ta có: , ta có suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt So sánh với điều kiện (1) ta được phương trình có hai nghiệm	0,5​

c) (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

Nội dung​	Điểm​
Điều kiện .	0,25​
	0,25​
	0,25​
Vậy hệ có hai nghiệm là	0,25​

Câu 2 (1,5 điểm).

a) (0,5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho là số nguyên tố.

Nội dung​	Điểm​
Nếu thì là số nguyên tố suy ra thỏa mãn. Nếu thì , kết hợp với suy ra không là số nguyên tố.	0,25​
Nếu thì , kết hợp với suy ra không là số nguyên tố.	0,25​

b) (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn .

Cho biết kí hiệu là tích các số tự nhiên từ đến .

Nội dung​	Điểm​
Giả sử , kết hợp với giả thiết ta được . *) Nếu vô lí.	0,25​
*) Nếu thì +) Nếu thì từ phương trình trên ta được:	0,25​
Từ phương trình này ta được: Với , ta được phương trình + Nếu vô lí. + Nếu vô lí.	0,25​
+) Nếu thì từ phương trình đã cho ta được: Vậy	0,25​

Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số dương . Chứng minh rằng

Nội dung​	Điểm​
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:	0,5​
Ta sẽ chứng minh	0,25​
(luôn đúng). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Do đó bất đẳng thức được chứng minh.	0,25​

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn . Gọi điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác , tia cắt đường tròn tại điểm (khác điểm ). Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm (khác ) và cắt cạnh tại điểm .

​

a) (1,0 điểm). Chứng minh rằng tam giác cân. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Nội dung​	Điểm​
Ta có (1) (do AI, BI lần lượt là phân giác các góc BAC, ABC và tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn).	0,25​
Mặt khác (do AI, BI tương ứng là phân giác góc BAC, ABC) (2). Từ (1) và (2) ta được tam giác DBI cân tại D.	0,25​
Ta có (3) (do AI, CI lần lượt là phân giác các góc BAC, ACB và tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn). Mặt khác (do AI, BI tương ứng là phân giác góc BAC, ABC) (4). Từ (3) và (4) ta được tam giác DCI cân tại D.	0,25​
Do tam giác DBI và DCI cân tại D nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.	0,25​

b) (1,0 điểm). Chứng minh

Nội dung​	Điểm​
Theo kết quả phần a ta có tam giác DIC cân tại D nên Do OD là trung trực của BC suy ra F là trung điểm của BC. Do DE là đường kính của đường tròn (O) suy ra .	0,25​
Kết hợp với CF là đường cao của tam giác DCE nên	0,25​
Xét hai tam giác DIF và DEI có: và suy ra tam giác DIF đồng dạng với tam giác DEI	0,25​
Suy ra .	0,25​

c) (1,0 điểm) Gọi các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh . Gọi lần lượt là các điểm đối xứng với qua . Biết rằng , chứng minh

Nội dung​	Điểm​
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABDC ta được:	0,25​
Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng AI, suy ra là trung điểm của PD. Mặt khác I là trung điểm HM suy ra tứ giác MPHD là hình bình hành . Từ đó suy ra DH = MP = DI (5).	0,25​
Chứng minh tương tự ta được DK = DI (6). Mặt khác theo kết quả phần a ta được DB = DC = DI (7). Từ (5), (6), (7) ta được DB = DC = DH = DK = DI suy ra B, C, H, K, I cùng thuộc đường tròn tâm .	0,25​
Do B, C, H, K, I cùng thuộc đường tròn tâm nên sđ , sđ . Do sđ sđ Từ đó suy ra .	0,25​

Câu 5 (0,5 điểm). Thầy Du viết số thành tổng của một vài số nguyên dương rồi đem cộng tất cả các chữ số của các số nguyên dương này với nhau. Hỏi thầy Du có thể nhận được kết quả là số hoặc được không? Tại sao?

Nội dung​	Điểm​
Nhận xét. Cho số nguyên dương , kí hiệu là tổng các chữ số của . Khi đó . Chứng minh. Giả sử .	0,25​
Ta có Do Mặt khác Từ đó suy ra , . Do đó thầy Du không nhận được kết quả là 2021 và 2022.	0,25​

-----------------HẾT-----------------​

UBND TỈNH KONTUM KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KONTUM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2019- 2020

Môn: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC​

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi:

Đề số 12

Câu 1 (2,0 điểm).

1. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức .

2. Rút gọn biểu thức .

Câu 2 (2,0 điểm).

• Cho phương trình: ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn và .
• Giải phương trình

Câu 3 (5,0 điểm). Cho đường tròn tâm nội tiếp trong tam giác , tiếp xúc với các cạnh theo thứ tự tại các điểm . Đường thẳng đi qua và song song với cắt tại . Đường thẳng cắt tại . Từ điểm kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại . Gọi là trung điểm của cạnh .

• Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
• Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
• Chứng minh rằng .

Câu 4 (2,0 điểm).

Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

• Tìm số nguyên dương lớn nhất để là số chính phương
• Câu 5 (1,0 điểm). Cho tam giác có diện tích bằng . Gọi thuộc cạnh sao cho , thuộc cạnh sao cho . Gọi giao điểm của và là . Tính diện tích tam giác .

------------------------HẾT---------------------​

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và không được sử dụng máy tính cầm tay.

- Giám thị không được giải thích gì thêm.

UBND TỈNH KON TUM​	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10​
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ​ ĐỀ THI CHÍNH THỨC​ ​	Trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, THPT Kon Tum, THCS – THPT Liên Việt Kon Tum Năm học 2020 – 2021​ Môn: TOÁN (Môn chuyên) Ngày thi: 26/7/2020 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

(Bản Hướng dẫn này có 06 trang)​

I. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Chấm theo đúng đáp án và thang điểm.

- Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa. Nếu chỉ đúng một phần trên nào đó của bài thi căn cứ vào thang điểm tương ứng để cho điểm.

- Trong quá trình giải bài của học sinh nếu bước trên sai, các bước sau có sử dụng kết quả phần sai đó nếu có đúng thì không cho điểm.

- Bài hình học, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

- Điểm chi tiết từng ý nhỏ của mỗi bài là 0.25. Tổng điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm.



II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu​	Ý​	Nội dung​	Điểm​
Câu 1 (2,0điểm)​	1 ​	Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức .	1.0 đ​
	0.25​
	0.25​
	0.25​
	0.25​
2 ​	Rút gọn biểu thức .	1.0 đ​
,	0.25​
	0.25​
	0.25​
	0.25​
Câu 2 (2,0điểm)​	1 ​	Cho phương trình: ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn và .	1.0 đ​
Û Ta có ,	0.25​
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm , . Khi đó theo định lí Vi-et ta có	0.25​
Vậy	0.25​
Vậy là giá trị cần tìm.	0.25​
2 ​	Giải phương trình	1.0 đ​
Û Û Û Û	0.25​
+ Giải : Û	0.25​
+ Giải : Bình phương hai về phương trình ta được Û Û Thử lại ta suy ra là nghiệm của phương trình	0.25​
Vậy phương trình có một nghiệm	0.25​
Câu 3 (3,0điểm)​	1 ​	Cho đường tròn tâm nội tiếp trong tam giác , tiếp xúc với các cạnh theo thứ tự tại các điểm . Đường thẳng đi qua và song song với cắt tại . Đường thẳng cắt tại . Từ điểm kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại . Gọi là trung điểm của cạnh .	3.0 đ​
Hình vẽ ​	​
Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.	1.0 đ​
+ là tiếp tuyến của đường tròn tâm , là tiếp điểm Þ	0.25​
mà //	0.25​
+ là tiếp tuyến của đường tròn tâm , là tiếp điểm Þ	0.25​
Tứ giác có nên nội tiếp trong một đường tròn Þ điểm cùng nằm trên một đường tròn.	0.25​
2 ​	Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.	1.0 đ​
+Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác Þ (Góc nội tiếp cùng chắn cung )	0.25​
Chứng minh tương tự ý 1), ta được tứ giác nội tiếp nên (Góc nội tiếp cùng chắn cung ).	0.25​
+ ( bán kính đường tròn tâm )Þ cân tại Þ Þ cân tại . Do nên là trung điểm của	0.25​
+Trong tam giác có ; là trung điểm của nên đi qua trung điểm của Þ thẳng hàng.	0.25​
3​	Chứng minh rằng .	1.0 đ​
+ // và Þ + ( Tiếp tuyến qua của đường tròn ) ( bán kính đường tròn tâm ) Þ là đường trung trực của đoạn thẳng Þ Þ + Từ và suy ra do đó là trực tâm của Þ	0.25​
Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và + Tam giác đồng dạng với tam giác (g-g) Þ Þ +Tam giác vuông tại có là đường cao nên + ( bán kính đường tròn tâm ) Vậy Þ ÞTam giác đồng dạng với tam giác (c-g-c)	0.25​
+ vuông góc với tại nên và nên tứ giác nội tiếp Þ ( Góc nội tiếp cùng chắn cung )	0.25​
Vì (Tam giác vuông tại ) nên .	0.25​
Câu 4 (2,0điểm)​	1​	Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .	1.0 đ​
Với mọi số dương ta có Û Dấu xảy ra khi .	0.25​
+ Áp dụng với , ta được Þ + Áp dụng với , ta được Þ Þ Dấu xảy ra khi .	0.25​
+ Áp dụng với và ta được Þ Dấu xảy ra khi .	0.25​
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi .	0.25​
2​	Tìm số nguyên dương lớn nhất để là số chính phương	1.0 đ​
Giả sử là số chính phương, ta có Vì A và là số chính phương nên là số chính phương.	0.25​
Vì mà là số chính phương nên ta có	0.25​
	0.25​
Với thì là số chính phương. Vậy là số cần tìm.	0.25​
Câu 5 (1,0điểm)​	​	Cho tam giác có diện tích bằng . Gọi thuộc cạnh sao cho , thuộc cạnh sao cho . Gọi giao điểm của và là . Tính diện tích tam giác .	1.0 đ​
​		​
​	Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại . Vì nên Trong tam giác có nên Do nên	0.25​
song song với Þ song song với Þ Þ Þ Þ	0.25​
Từ suy ra Þ Vì nên	0.25​
ÞTừ , , suy ra Þ	0.25​

----------------------- HẾT ------------------------



​

UBND TỈNH KON TUM​	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10​
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ​ ĐỀ THI CHÍNH THỨC​ (Đề thi gồm 5 câu, 1 trang) Đề số 13​	Trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, THPT Kon Tum, THCS – THPT Liên Việt Kon Tum Năm học 2020 – 2021​ Môn: TOÁN (Môn chuyên) Ngày thi: 26 / 7 / 2020 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức .

2) Rút gọn biểu thức .

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Cho phương trình: ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn và .

2) Giải phương trình .

Câu 3. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm nội tiếp trong tam giác , tiếp xúc với các cạnh theo thứ tự tại các điểm . Đường thẳng đi qua và song song với , cắt tại . Đường thẳng cắt tại . Từ điểm kẻ đường thẳng song song với , cắt lần lượt tại . Gọi là trung điểm của cạnh .

1) Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

3) Chứng minh rằng .

Câu 4. (2,0 điểm)

1) Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

2) Tìm số nguyên dương lớn nhất để là số chính phương.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác có diện tích bằng . Gọi điểm thuộc cạnh sao cho , điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi giao điểm của và là . Tính diện tích tam giác .

-----------------HẾT-----------------​

UBND TỈNH KON TUM​	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10​
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ​ ĐỀ THI CHÍNH THỨC​ ​	Trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, THPT Kon Tum, THCS – THPT Liên Việt Kon Tum Năm học 2020 – 2021​ Môn: TOÁN (Môn chung) Ngày thi: 25/7/2020 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

(Bản Hướng dẫn này có 04 trang)​

I. HƯỚNG DẪN CHUNG:

1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.

3) Các điểm thành phần và điểm toàn bài thi làm tròn đến 2 chữ số thập phân.

II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:

Câu​	Ý​	Đáp án​	Điểm​
1 (2,0 đ)​	a​	Cho hàm số bậc nhất . Tính giá trị của khi .
Khi ta có	0,5​
	0,5​
b​	Rút gọn biểu thức M = với và .
	0,25​
	0,25​
= –1	0,5​
2 (2,0 đ)​	Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) b)
a​	Ta có	0,5​
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ,	0,5​
b​		0,25​
	0,5​
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất	0,25​
3 (2,0 đ)​	​	a) Vẽ đồ thị (P)
a​	+ Ta có bảng giá trị x​ -2​ -1​ 0​ 1​ 2​ 8​ 2​ 0​ 2​ 8​	0,5 ​
+ Vẽ đồ thị (P) ​	0,5​
b​	Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ và thỏa mãn điều kiện .
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình (*) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt	0,25​
Theo hệ thức Vi-ét ta có	0,25​
Theo đề ra ta có:	0,25​
(thỏa mãn) Vậy là giá trị cần tìm.	0,25​
4 (1,0 đ)​	​	Hưởng ứng phong trào “Tết trồng cây đời đời nhớ ơn Bác Hồ”, lớp 9A được phân công trồng 390 cây xanh. Lớp dự định chia đều số cây phải trồng cho học sinh trong lớp, nhưng khi lao động có 4 học sinh vắng nên mỗi học sinh có mặt phải trồng thêm 2 cây mới hoàn thành công việc. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh ?
Gọi số học sinh lớp 9A là x ( và ) Số cây dự định mỗi học sinh phải trồng là (cây)	0,25​
Số cây thực tế mỗi học sinh phải trồng là (cây)	0,25​
Theo bài ra ta có phương trình + 2 =	0,25​
Giải phương trình tìm được x = 30 (thỏa mãn) hoặc (loại) Vậy số học sinh lớp 9A là 30 (học sinh).	0,25​
5 (2,5 đ)​	​	​	0,25 (hình vẽ đến câu a)​
a ​	Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
+ Ta có (tính chất tiếp tuyến)	0,25​
+ Ta có (tính chất tiếp tuyến)	0,25​
suy ra ABOC là tứ giác nội tiếp.	0,25​
b​	Chứng minh AH.AO = AE.AF
Ta có OB = OC (cùng bằng bán kính) và AB = AC (tính chất tiếp tuyến) AO là đường trung trực của BC tại H.	0,25​
Ta có tam giác vuông tại B, BH là đường cao (1)	0,25​
Xét hai tam giác và có (cùng chắn cung BE) và chung đồng dạng với (g.g) (2)	0,25​
Từ (1) và (2) suy ra AH.AO = AE.AF	0,25​
c​	Chứng minh
Ta có (theo câu b)	0,25​
Xét hai tam giác và có và chung đồng dạng với (g.g) Suy ra = 2.	0,25​
6 (0,5 đ)​	​	Giải phương trình (**)
Điều kiện: Đặt (với ) Khi đó (**) trở thành	0,25​
Suy ra x = 2023; y = 2024; z = 2025.	0,25​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ​ ĐỀ THI CHÍNH THỨC​ Đề số 14​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 21 tháng 7 năm 2020 Môn thi: TOÁN ( Dành cho thí sinh thi chuyên Toán ) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)​

Câu 1. (2,0 điểm)

• Giải hệ phương trình .
• Giải phương trình .

Câu 2. (2,0 điểm)

• Cho các parabol . Lấy các điểm thuộc và thuộc sao cho là hình vuông nhận làm trục đối xứng. Tính diện tích hình vuông .
• Cho là ba số thực phân biệt thỏa mãn . Chứng minh rằng .

Câu 3. (1,0 điểm) Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Câu 4. (2,0 điểm)

• Tìm các số nguyên dương để là số chính phương.
• Chứng minh rằng có thể chọn số trong số nguyên tố phân biệt bất kì sao cho chia hết cho .

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi là điểm chính giữa cung không chứa và là điểm trên đoạn sao cho .

• Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
• Vẽ đường tròn tiếp xúc với tại và tiếp xúc với lần lượt tại .
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
• Chứng minh tứ giác nội tiếp.

------ HẾT------



Họ và tên thí sinh ....................................................Số báo danh..................





HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (CHUYÊN)

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 21 tháng 7 năm 2020.

(Hướng dẫn này có 2 trang)​

HDC chỉ gợi ý một cách giải, thí sinh có cách giải khác nếu đúng cho điểm theo quy định của ý (câu) đó. Điểm toàn bài làm tròn đến hàng 0,25.

Câu​	Ý​	NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM​	Điểm​
1 2,0 điểm​	1​	Hệ	0.25​
TH . Ta được Hệ có nghiệm	0,25​
TH Ta được Hệ có nghiệm	0,25​
Vậy hệ có 2 nghiệm	0,25​
2​	Đặt . Ta được	0,25​
(thỏa mãn)	0,25​
(thỏa mãn)	0,25​
Vậy phương trình có 2 nghiệm .	0,25​
2 2,0 điểm​	1​	​	​
Gọi . Khi đó do là trục đối xứng của hình vuông nên . Do nên	0,25​
	0,5​
Diện tích hình vuông là	0,25
2​	Đặt . Ta có nên là 3 nghiệm của đa thức	0.25​
Do có 3 nghiệm nên	0,25​
Từ đó suy ra	0,25​
Đồng nhất hệ số 2 vế ta được	0,25​
3 1,0 điểm​	1​	Ta có	0,5
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có	0,25​
Dấu “=” xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của là 8	0,25​
4 2,0 điểm​	1​	Gọi là số nguyên dương sao cho . Khi đó	0.25​
Ta có và nên hoặc	0,25​
Giải ra ta được hoặc	0,25​
Vậy là số chính phương khi hoặc	0,25​
2​	Trong 7 số nguyên tố phân biệt, có ít nhất 5 số lớn hơn 3. Chọn 5 số lớn hơn 3 đó. Các số trong 5 số này chia cho 3 có số dư là 1 hoặc 2. Như thế có ít nhất 3 số khi chia cho 3 có cùng số dư. Chọn ra 3 số	0,75​
Khi đó các hiệu . Vậy	0,25​
5 2,0 điểm ​	1​	​	​
Ta có nên	0.25​
Mặt khác ;	0,25​
Mà nên	0,25​
Suy ra là các phân giác trong tam giác nên là tâm đường tròn nội tiếp.	0,25​
2.a​	Ta có thẳng hàng và vì cùng vuông góc nên	0.5​
Do đó . Suy ra thẳng hàng	0,5​
2.b​	Suy ra . Gọi là điểm chính giữa cung không chứa . Chứng minh tương tự	0,25​
Từ đó suy ra . Do đó thẳng hàng.	0,25​
Khi đó . Suy ra tứ giác nội tiếp.	0,5​
Tổng số điểm toàn bài là 10 điểm.​

------ Hết -----



​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề thi gồm 01 trang Đề số 15​

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18 tháng 7 năm 2020​

Câu I (2,0 điểm)

1. Cho là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Chứng minh rằng trong ba số có ít nhất một số bằng .

2. Cho là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tính giá trị của biểu thức:

.​

Câu II (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình .

2. Giải hệ phương trình

Câu III (2,0 điểm)

1. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn .

2. Chứng minh rằng nếu ( với , , là các số tự nhiên thỏa mãn , ) thì chia hết cho 6.

Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn có . Vè phía ngoài tam giác dựng các hình vuông và . Đường thẳng cắt đoạn thẳng tại , đường thẳng cắt đoạn thẳng tại .

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

• 2. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
• 3. Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại ( khác ). Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại và cắt nhau tại . Chứng minh bốn điểm thẳng hàng.

Câu V (2,0 điểm) Trên một đường tròn người ta lấy điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xem kẻ nhau. Tại mỗi điểm người ta ghi một số thực khác và sao cho quy tắc sau được thỏa mãn “số tại mỗi điểm màu xanh bằng tổng hai số ghi tại mỗi điểm màu đỏ kề nó, số ghi tại mỗi điểm màu đỏ bằng tích hai số ghi tại mỗi điểm màu xanh kề nó”. Tính tổng số đó.

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: TOÁN CHUYÊN​

Câu I.1. Cho là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Chứng minh rằng trong ba số có ít nhất một số bằng .

Lời giải​

Xét tích

Từ

Suy ra .

Vậy trong ba số có ít nhất một số bằng .

Câu I.2. Cho là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tính giá trị của biểu thức : .

Lời giải​

Ta thấy, với ba số tùy ý thì





Do đó, nếu thì .

Đặt từ giả thiết suy ra . Theo trên suy ra .

Mặt khác, theo giả thiết ta có suy ra .

Vậy hoặc hoặc .

Nếu , khi đó .

Tương tự nếu hoặc thì cũng suy ra .

Vậy .

Câu II.1. Giải hệ phương trình . ​

Lời giải​

Điều kiện xác định

- Nếu thì phương trình vô nghiệm do hai vế trái dấu

- Nếu thì phương trình tương đường với .

.

Đặt phương trình trở thành (do )

Khi đó .

Kết hợp điều kiện thì có và là các giá trị thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

Câu II.2. Giải hệ phương trình

Lời giải​

Nhân phương trình đầu với rồi trừ đi phương trình thứ hai vế với vế ta được



.

- Nếu , thay vào phương trình đầu ta được



Với suy ra , nên hệ phương trình có nghiệm .

Với suy ra , nên hệ phương trình có nghiệm .

- Nếu , thay vào phương trình đầu ta được



Vậy hệ phương trình có nghiệm là

, , , .

​

Câu III. 1. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn . 2. Chứng minh rằng nếu ( với , , là các số tự nhiên thỏa mãn , ) thì chia hết cho 6.

Lời giải​

1.

TH1: thì mọi giá trị đều thỏa mãn.

TH2: , ta có , mà là số nguyên nên và là hai số chính phương liên tiếp. Suy ra không tồn tại số nguyên thỏa mãn.

TH3: , ta có , mà là số nguyên nên và là hai số chính phương liên tiếp. Suy ra không tồn tại số nguyên thỏa mãn.

TH4: .

TH5: .

TH6: .

Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn là , , và

2. Vì mà nên có tận cùng là .

Đặt ( với , là các số tự nhiên thỏa mãn ), khi đó

TH1: có tận cùng là 6, suy ra (1).

TH2: thì có tận cùng bằng 0 ( vì có tận cùng bằng ). Suy ra có tận cùng là , hay . Khi đó (2)

Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.

Câu IV. Cho tam giác nhọn có . Vè phía ngoài tam giác dựng các hình vuông và . Đường thẳng cắt đoạn thẳng tại , đường thẳng cắt đoạn thẳng tại . 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 3. Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại ( khác ). Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại và cắt nhau tại . Chứng minh bốn điểm thẳng hàng.

Lời giải​

1.

​

Xét hai tam giác vuông và ta có và (cùng phụ với ) nên chúng đồng dạng, suy ra .

Xét hai tam giác và có (đối đỉnh) và do nên chúng đồng dạng, suy ra .

Do đó tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.



2. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và .

Tứ giác có nên nó là hình bình hành.

Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng . Suy ra ba điểm thẳng hàng.

• Mặt khác, ta thấy tứ giác có nên nó nội tiếp được trong đường tròn đường kính . Suy ra hay là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
• 
  
• 3.
• 
  
• Ta chứng minh thẳng hàng
• Gọi là giao điểm của và . Dẽ thấy tứ giác nên .
• Lại có (Do tứ giác nội tiếp), suy ra .
• Do đó tứ giác nội tiếp.
• Mặt khác, do nội tiếp nên năm điểm cùng thuộc một đường tròn. Vậy thuộc đường tròn ngoại tiêp tam giác .
• Chứng minh tương tự ta có cũng thuộc đường tròn ngoại tiêp tam giác .

Suy ra . Vậy ba điểm thẳng hàng (1).

Ta chứng minh thẳng hàng

Do năm điểm cùng thuộc một đường tròn nên , suy ra . Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp nên .

Tương tự ta có , suy ra (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). Suy ra tứ giác nội tiếp.

Mặt khác nên tứ giác nội tiếp.

Do đó năm điểm cùng thuộc một đường tròn nên ta có , suy ra .

Mà , suy ra ba điểm thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra bốn điểm thẳng hàng.

​

Trên một đường tròn người ta lấy điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xem kẻ nhau. Tại mỗi điểm người ta ghi một số thực khác và sao cho quy tắc sau được thỏa mãn “số tại mỗi điểm màu xanh bằng tổng hai số ghi tại mỗi điểm màu đỏ kề nó, số ghi tại mỗi điểm màu đỏ bằng tích hai số ghi tại mỗi điểm màu xanh kề nó”. Tính tổng số đố.

Lời giải

​

Theo chiều kim đồng hồ ta gọi là hai số ghi tại hai điểm màu xanh liên tiếp nào đó trên đường tròng ( khác và ). Khi đó số ghi tại điểm màu đỏ nằm giữa hai điểm màu xanh nói trên là . Theo quy tắc ghi số đã cho, năm điểm liên tiếp tiếp theo sễ được ghi năm số lần lượt là (xem hình trên)

.

Tổng các số ghi tại điểm trên là

.

Cũng theo quy tắc ghi số này, dễ suy ra điểm thứ được tô màu xanh và tại đó ghi . Từ đó suy ra điểm thứ được tô màu đỏ và ghi số , điểm thứ được tô màu xanh và ghi số .

Như vậy, bộ điểm tiếp theo được lặp lại như bộ điểm đầu tiên.

Do đó, số đã ghi được chia thành nhóm, mỗi nhóm gồm số theo quy luật trên.

Vậy tổng số ghi trên đường tròn là .





















SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2020-2021

MÔN: TOÁN (Chuyên)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Đề số 16 Ngày thi: 15 tháng 7 năm 2020

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức với .

b) Giải phương trình .

c) Giải hệ phương trình .

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Cho đa thức với là hai số thực thỏa mãn . Chứng minh phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: .

Câu 3 (1,0 điểm). Với các số thực dương và thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn có đường kính . Từ điểm thuộc tia đối của tia kẻ đến hai tiếp tuyến và ( và là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của đường kính và dây . Vẽ đường tròn đi qua và tiếp xúc với đường thẳng tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại điểm khác .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , là giao điểm của và . Chứng minh rằng song song với .

c) Các đường thẳng và lần lượt cắt tại các điểm và ( khác ). Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông khi và chỉ khi .

Bài 5 (1,0 điểm). Cho tam giác có ba góc nhọn và có trực tâm . Gọi lần lượt là chân ba đường cao kẻ từ của tam giác . Biết , hãy chứng minh rằng tam giác đều.

--------- HẾT---------​

Họ và tên thí sinh:......................................... ……..……..Số báo danh:......

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (3,0 điểm). a) Rút gọn biểu thức với . b) Giải phương trình . c) Giải hệ phương trình .

Lời giải​

a)

b) Điều kiện . Khi đó

Đặt , ta có phương trình .

Ta được .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

c)



TH1: , thay vào phương trình ta được (vô nghiệm)

TH2: , thay vào phương trình ta được .

Vậy hệ phương trình có một nghiệm là

Câu 2 (2,0 điểm). a) Cho đa thức với là hai số thực thỏa mãn . Chứng minh phương trình có bốn nghiệm phân biệt. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: .

Lời giải​

a)

• không phải là nghiệm của phương trình.
• 
  
• Đặt , ta được phương trình
• Ta có nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt .
• Do đó phương trình cho
• Ta thấy mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai phương trình này không có nghiệm chung nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt.

b) Nhân vào hai vế của phương trình ta được



Suy ra . Do là số chính phương lẻ nên

Với , thay vào phương trình ta được .

Với , thay vào phương trình ta được .

Vậy có 3 cặp số nguyên thỏa mãn là

Câu 3 (1,0 điểm). Với các số thực dương và thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải​

a) . Do đó .

Đặt , ta được

Ta chứng minh được . Thật vậy đúng

Do đó . Dấu đẳng thức xảy ra khi . Vậy .

Bài 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn có đường kính . Từ điểm thuộc tia đối của tia kẻ đến hai tiếp tuyến và ( và là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của đường kính và dây . Vẽ đường tròn đi qua và tiếp xúc với đường thẳng tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại điểm khác . a) Chứng minh tứ giác nội tiếp. b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , là giao điểm của và . Chứng minh rằng song song với . c) Các đường thẳng và lần lượt cắt tại các điểm và ( khác ). Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông khi và chỉ khi .

Lời giải

​

a) Ta có là tứ giác nội tiếp.

b) là tứ giác nội tiếp

Tứ giác có nên nội tiếp là tứ giác nội tiếp

.

c) Ta có là hình chữ nhật. Do đó là hình vuông vuông cân, tức là vuông cân.

Như vậy với là bán kính đường tròn . Khi đó

Suy ra đồng dạng

Bài 5 (1,0 điểm). Cho tam giác có ba góc nhọn và có trực tâm . Gọi lần lượt là chân ba đường cao kẻ từ của tam giác . Biết , hãy chứng minh rằng tam giác đều.

Lời giải

​

Đặt và là diện tích . Ta có

. Do đó



Suy ra .

Ta lại có

Mà

Do đó

Dấu đẳng thức xảy ra .

Vậy đều.

SỞ GD&ĐT SƠN LA ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ (Đề thi có 01 trang) Đề số 17​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 23/7/2020 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề​

Câu 1. (2,0 điểm)

Tính giá trị của biểu thức: A =

Giải phương trình:

Câu 2. (2,0 điểm) Cho Parabol (P) và đường thẳng d: (m là tham số).

Tìm để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt.

Tìm để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng nhỏ hơn 1.

Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: .

Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B và C Qua A vẽ đường thẳng không đi qua tâm O cắt đường tròn tại D và E Đường thẳng vuông góc với AB tại A, cắt đường thẳng CE tại F.

Chứng minh rằng tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.

Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh

Chứng minh:

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Chứng minh rằng:

Câu 6. (1,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm chính giữa cung C là một điểm trên nửa đường tròn. AC cắt MO tại D. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi C di động trên nửa đường tròn.

-------------Hết-------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.​

Họ và tên thí sinh: …………………………………………….

Số báo danh: ………….

SỞ GD&ĐT SƠN LA ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ (HDC có 06 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN CHUYÊN​

Câu​	Đáp án​	Điểm​
1​	Tính giá trị của biểu thức: A = Giải phương trình:	​
Ta có: A =	0,25 ​
=	0,25 ​
= =	0,25 ​
=	0,25​
Ta có:	0,5 ​
	0,25​
	0.25 ​
2​	Cho Parabol (P) và đường thẳng d: Tìm để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt. Tìm để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng nhỏ hơn 1.	​
​	(P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt. Phương trình có hai nghiệm phân biệt	​ 0,25
	0,25​
	0,25​
(*)	0,25​
Với điều kiện (*) thì Parabol (P) cắt d tại hai điểm phân biệt. Khi đó, parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng nhỏ hơn 1.	0,25​
	0,25​
	0,25​
Kết hợp với điều kiện (*) ta được: parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng nhỏ hơn 1 khi	0,25​
3 ​	Giải hệ phương trình: .	​
Ta có:	0,25 ​
Vậy và là 2 nghiệm của phương trình:	0,25​
+) Với	0,25​
+) Với Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: ,	0,25​
4 ​	Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B và C Qua A vẽ đường thẳng không đi qua tâm O cắt đường tròn tại D và E Đường thẳng vuông góc với AB tại A, cắt đường thẳng CE tại F. Chứng minh rằng tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn. Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh Chứng minh:	​
​	0,25​
Ta có Vì , tứ giác ABEF có Suy ra tứ giác ABEF nội tiếp.	0,25 0,5​
Ta có bằng sđ cung (của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF ) Mặt khác bằng sđ cung (của đường tròn tâm O) Do đó mà	0,5 0,5​
Xét tam giác ACF và tam giác ECB Vậy (đpcm)	0,5 0,5​
5​	Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Chứng minh rằng:	​
Áp dụng BĐT: Ta có	​ 0,25 ​
Mặt khác (vì )
Vậy Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	0,25 ​
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Đặt Xét biểu thức	0,25 ​
Ta có
Mặt khác dễ dàng chứng minh được: Vậy hay (đpcm).	0,25​
6​	Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm chính giữa cung C là một điểm trên nửa đường tròn. AC cắt MO tại D. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi C di động trên nửa đường tròn.	​
​	Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC, xảy ra hai khả năng Trường hợp 1. Điểm C nằm trên cung nhỏ ​ Ta có Lại có nên tam giác MID vuông cân tại I, do đó hay Suy ra M, I, B thẳng hàng nên I thuộc BM cố định	0,5 ​
Trường hợp 2. Điểm C nằm trên cung nhỏ ​ Tương tự ta có Mà nên tam giác MID vuông cân tại I, do đó Mặt khác nên Suy ra ba điểm I, M, B thẳng hàng, hay I thuộc BM cố định.	0,5​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO​ TỈNH YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 05 câu) Đề số 18​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 - 2021​ Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 20/07/2020

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức , với .

1. Rút gọn biểu thức .

2. Tìm tất cả các giá trị của để .

Câu 2. (3,0 điểm)

1. Cho parabol và đường thẳng , với là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số để parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

2. Giải phương trình .

3. Giải hệ phương trình .

Câu 3. (3,5 điểm) Cho hình vuông nội tiếp đường tròn tâm , bán kính . Trên tia đối của tia lấy điểm khác điểm . Kẻ vuông góc với ( thuộc ). Gọi là giao điểm của với .

• 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp, là tia phân giác của .
• 2. Chứng minh .
• 3. Gọi là trung điểm của cạnh , tia cắt đường tròn tại . Tính độ dài đoạn thẳng theo .
• 4. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại ( khác ). Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Câu 4. (1,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho là số chính phương.

2. Cho biểu thức , với là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức chia hết cho thì chia hết cho 3.

Câu 5. (1,0 điểm)

1. Cho các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

.​

2. Cho điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một lục giác đều cạnh Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá

_________ Hết _________

Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.​

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………. Số báo danh:……….…………….....

Cán bộ coi thi thứ nhất: ……………………………….… Kí tên: ……………………………….

Cán bộ coi thi thứ hai: ..……………………….…………… Kí tên: ………………………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI HDC ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 05 câu)​	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 - 2021​ Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 20/07/2020
​

Câu​	Nội dung​	Điểm
Câu 1 (1,5 đ)	Cho biểu thức , với . 1. Rút gọn biểu thức . 2. Tìm tất cả các giá trị của a để .
1. Với ta có	0,25
	0,25
	0,25
. Vậy	0,25
2. Tìm tất cả các giá trị của a để . Vậy thì .	0,5
Câu 2 (3,0 đ)	1. Cho parabol và đường thẳng , với là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số để parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .
Phương trình hoành độ giao điểm (*) cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi	0,25
Gọi là nghiệm của (*) khi đó là hoành độ giao điểm của và Theo hệ thức Vi-et, ta có .	0,25
Do đó . Thỏa mãn điều kiện . Vậy .	0,5
2. Giải phương trình .
Điều kiện xác định: thỏa mãn với mọi . Đặt , Điều kiện . Phương trình trở thành	0,25
	0,25
( thỏa mãn điều kiện).	0,25
* Với ta có . * Với ta có . Phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình có các nghiệm là và .	0,25
3. Giải hệ phương trình .
Cộng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được	0,25
	0,25
hoặc . Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .	0,5
Câu 3. (3,5 đ)	Cho hình vuông nội tiếp đường tròn tâm , bán kính . Trên tia đối của tia lấy điểm khác điểm . Kẻ vuông góc với ( thuộc ). Gọi là giao điểm của với . 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp, là tia phân giác của . 2. Chứng minh . 3. Gọi là trung điểm của cạnh , tia cắt đường tròn tại . Tính độ dài đoạn thẳng theo . 4. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại ( khác ). Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
​
1. Theo giả thiết nên . Vì là hình vuông nên . Suy ra nên tứ giác nội tiếp.	0,5
Vì nội tiếp nên . Suy ra là phân giác của .	0,5
2. Theo chứng minh ở phần a) ta có là phân giác của suy ra (1)	0,5
Mặt khác dễ thấy (g.g) nên (2) Từ (1) và (2) suy ra .	0,5
3. Ta có (g.g) Suy ra	0,25
Xét vuông cân có nên , .	0,25
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông ta có . Vậy .	0,25
4. *Ta chứng minh thẳng hàng. Thật vậy: Gọi là giao điểm của và đoạn Vì nên theo định lí Talet ta có (3) (vì ) Mà (g.g) nên . Mặt khác theo chứng minh phần b) ta có . Từ đó suy ra (4) Từ (3), (4) ta có (với thuộc đoạn ) suy ra . Vậy thẳng hàng (3)	0,25
* Ta chứng minh thẳng hàng. Thật vậy Vì nên đường tròn ngoại tam giác có đường kính là suy ra . Vì là đường của đường tròn nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ). Từ đó suy ra nên thẳng hàng (4). Từ (3) và (4) ta có thẳng hàng.	0,5
Câu 4. (1,0 đ)	1. Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho là số chính phương.
Đặt ( ) Với ta có là số chính phương.	0,5
2. Cho biểu thức , với là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức chia hết cho thì chia hết cho 3.
Ta có chia hết cho suy ra chia cho dư 1. Suy ra hai số không chia hết cho và phải có cùng số dư khi chia cho . Giả sử đều chia cho dư thì chia cho dư (trái giả thiết) . Suy ra đều chia cho dư Vậy chia hết cho 3.	0,5
Câu 5 ( 1,0 đ)	1. Cho các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau . 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có .	0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng khi .	0,25
2. Cho điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một lục giác đều cạnh Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá
+ Giả sử điểm đã cho nằm trong hoặc nằm trên cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm + Nối với 6 đỉnh của lục giác tạo thành 6 tam giác đều. Khi đó sẽ có ít nhất 5 điểm nằm trong hay trên cạnh của một tam giác đều trong số 6 tam giác đó (theo nguyên lý Dirichlet)	0,25
+ Giả sử 5 điểm trong 25 điểm đó cùng nằm trong hay nằm trên cạnh của tam giác đều . + Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng Khi đó bốn tam giác là các tam giác đều cạnh bằng . + Năm điểm nằm trong hay nằm trên cạnh của tam giác sẽ có ít nhất hai điểm nằm trong một trong hay nằm trên cạnh của một trong bốn tam giác đều trong số bốn tam giác trên (theo nguyên lý Dirchlet). Khoảng cách giữa hai điểm đó không quá .	0,25

Chú ý: Thí sinh làm bài theo cách khác chính xác vẫn cho điểm tối đa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 19​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2020 - 2021 Môn: Toán (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút ​

Câu 1 (2,0 điểm).

Cho biểu thức với

1. Rút gọn biểu thức .

2. Tìm để .

Câu 2 (2,0 điểm).

Cho phương trình Tìm giá trị của để phương trình có bốn nghiệm phân biệt sao cho và

2. Giải hệ phương trình

Câu 3 (4,0 điểm).

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn , có đường cao . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Gọi là điểm đối xứng với qua . Đường thẳng cắt các đường thẳng theo thứ tự tại và . Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm .

• Chứng minh tam giác là tam giác cân và .
• Chứng minh và tứ giác là tứ giác nội tiếp.
• Gọi là trung điểm của cạnh , chứng minh ba điểm thẳng hàng.
• Chứng minh nếu thì là trọng tâm của tam giác .

Câu 4 (1,0 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh :

---HẾT---​

Họ và tên thí sinh…………………………….…….Số báo danh…………………….……

Cán bộ coi thi thứ 1……………………………….Cán bộ coi thi thứ 2……………….……

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC​ ​

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2020-2021 Môn: Toán (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút ​

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm thi có 5 trang)​

Lưu ý: - Điểm làm tròn đến 0,25.

- Học sinh nếu dùng định lý Menelauyt mà không chứng minh thì trừ 0,25 điểm/bài.

- Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương.

Nội dung	Điểm
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức với
1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức P
	0,25
	0,25
	0,25
	0,25
2.(1,0 điểm) Tìm để
	0,25
	0,25
( vì với mọi )	0,25
Vậy x = 9 thỏa mãn điều kiện.	0,25
Câu 2.1 (1,0 điểm) Cho phương trình Tìm giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt sao cho: và
Phương trình (1) Đặt , ta có : (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ó phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt (3)	0,25
Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm dương => phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt: Theo đề bài ta có	0,25
Theo định lí Vi-ét, ta có: (5) Từ (4) và (5) ta có: và	0,25
Đối chiếu với điều kiện suy ra với thì phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán.	0,25
Câu 2.2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Điều kiện: Phương trình	0,5
Thế vào phương trình thứ 2 ta được	0,25
Với , thay vào (2) ta được: Ap dụng bất đẳng thức AM-GM ta có = Do đó phương trình (3) vô nghiệm	0,25
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K. Gọi L là giao điểm của MA và BC. Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S.
​
1.(1,0 điểm) Chứng minh rằng tam giác là tam giác cân và .
Ta có mà AI là phân giác của góc nên AI là phân giác góc .	0,25
tam giác ANA' cân tại A.	0,25
	0,25
	0,25
2. (1,0 điểm) Chứng minh rằng và tứ giác NHIK là tứ giác nội tiếp.
	0,25
	0,25
	0,25
. Vậy tứ giác NHIK nội tiếp.	0,25
3. (1,0 điểm) Gọi T là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng
Tứ giác NHIK nội tiếp suy ra .	0,25
Suy ra tứ giác AIHS nội tiếp. Do đó .	0,25
	0,25
, suy ra ba điểm thẳng hàng	0,25
4. (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu thì I là trọng tâm của tam giác AKS.
Ta có	0,5
Kẻ . Ta có	0,25
Suy ra L là trung điểm của SK mà nên I là trọng tâm của tam giác ASK.	0,25
Câu 4 (1,0 điểm). Tìm cặp số nguyên dương thỏa mãn:
Ta có .	0,25
Vì 65 chia hết cho 5 và không chia hết cho 5 với mọi nguyên dương nên nếu cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình (1) thì là số nguyên không chia hết cho 5. Suy ra . Do đó , suy ra , với là số nguyên dương.	0,25
Thay vào phương trình (1) ta được: (2)​	0,25
Vì nguyên dương nên , từ (2) suy ra và . Do đó ​ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là và	0,25
Câu 5 (1,0 điểm). Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng​
Vì là các số thực dương thỏa mãn nên tồn tại các số thực dương sao cho . Bất đẳng thức trở thành	0,25
	0,25
Từ (2) và (3) có	0,25
Lại có Ta có bất đẳng thức (1) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .	0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC​	KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2020 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN​
​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ (Đề thi gồm có 01 trang) Đề số 20​	Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)​ Ngày thi: 19/07/2020

Câu 1. (1,0 điểm). Cho biểu thức

• Rút gọn biểu thức .
• Tính giá trị của khi .

Câu 2. ( 2,0 điểm).

a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (1,5 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình và phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

c) Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực khác 0 thì tồn tại ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm

Câu 4. (3,5 điểm). Cho tam giác nhọn với nội tiếp đường tròn . Ba đường cao cắt nhau tại trực tâm .

• Chứng minh rằng các tứ giác ; nội tiếp và là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
• Gọi là trung điểm của . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
• Tia cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
• Câu 5. (1,0 điểm).
• Giải phương trình nghiệm nguyên sau: .

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn .

Câu 6. ( 1,0 điểm).

Cho là hai số dương. Chứng minh rằng:

i. ii. .

Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

HẾT.​

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh:...................................................

Chữ ký của giám thị 1:..............................................Chữ ký của giám thị 2:....................................​

​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC (Hướng dẫn chấm gồm 07 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2020 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN​

Lưu ý: Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,125; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

​

Câu​	Nội dung​	Điểm​
1​	Cho biểu thức	1,0 ​
​	a) Rút gọn biểu thức A.	0,5​
ĐKXĐ:	0,125 ​
	0,25 ​
	0,125 ​
b) Tính giá trị của A khi .	0,5​
	0,125​
Khi đó	0,25​
Vậy khi thì	0,125​
2​	a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: (I)	2,0 ​
​	a) Giải phương trình: (1)	1,0 ​
ĐK:	0,125​
(1)	0,25​
	0,25​
(vô nghiệm)	0,25​
Kết hợp với điều kiện và	0,125​
b) Giải hệ phương trình : (I)	1,0​
không phải là nghiệm của hệ phương trình.	0,125​
Xét	0,125​
​	0,25​
Đặt thay vào ta có: ​	0,25​
Giải hệ phương trình hoặc	0,25 ​
3​	a) Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình và phương trình có ít nhất một nghiệm chung. c) Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực khác 0 thì tồn tại ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm	1,5​
​	a) Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.	0,5 ​
Phương trình hoành độ giao điểm của và là: (1)	0,125​
Để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt	0,125​
Tức là:	0,125​
Vậy với thì cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.	0,125​
​	b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình và phương trình có ít nhất một nghiệm chung.	0,5​
Giả sử là nghiệm chung của hai phương trình Khi đó ta có: và	0,125​
Suy ra: (3)
Với m =1 ta được hai phương trình và đều vô nghiệm. Vậy m = 1 không thỏa mãn.	0,125​
Với từ (3) suy ra thay vào (2) ta được ​	0,125​
Khi phương trình có hai nghiệm là 2 và 4 ; phương trình có hai nghiệm là 2 và – 3. Vậy thì hai phương trình có nghiệm chung là 2.	0,125​
c) Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực khác 0 thì tồn tại ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm	0,5​
Với a, b, c là các số thực khác 0 nên các phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn. Ta có: ; ; Suy ra:	0,125 ​
Ta có: Suy ra:	0,25​
Vậy trong ba phương trình đã cho tồn tại ít nhât một phương trình có nghiệm.	0,125​
4​	Cho tam giác nhọn với nội tiếp đường tròn . Ba đường cao cắt nhau tại trực tâm . a) Chứng minh rằng các tứ giác ; nội tiếp và là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh tứ giác nội tiếp. c) Tia cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.	3,5​
​	​	​
a) Chứng minh rằng các tứ giác ; nội tiếp và là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .	1,5​
Ta có nên tứ giác nội tiếp	0,25​
Ta có nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính	0,25​
Ta có (Cùng chắn cung của tứ giác nội tiếp )	0,25​
Mặt khác lại có (Cùng chắn cung của tứ giác nội tiếp ) .	0,25 ​
Suy ra hay là phân giác của góc .	0,25​
Tương tự cũng là phân giác của góc hay là tâm nội tiếp của tam giác (đpcm)	0,25​
​	b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh tứ giác nội tiếp.	1,0​
Vì là trung tuyến của tam giác vuông nên ta có tam giác cân tại .	0,125​
Hay ta có (góc ngoài của tam giác )	0,25​
Theo câu a) ta có (do cũng là phân giác của góc )	0,25​
Mà ta lại có (Cùng chắn cung của tứ giác nội tiếp )	0,125​
Từ đó suy ra nội tiếp (đpcm)	0,25​
​	c) Tia cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.	1,0​
Kẻ đường kính của đường tròn . Ta có vì cùng vuông góc với	0,125​
Và vì cùng vuông góc với	0,125​
Nên có tứ giác là hình bình hành nên có thẳng hàng	0,125​
Từ đó ta có nằm trên đường tròn với đường kính (vì )	0,125​
Gọi cắt tại , cắt tại . Ta có và	0,25​
Ta chứng minh được không đổi gọi là phương tích của đối với đường tròn .	0,125​
Từ đó ta có và có cùng phương tích đối với đường tròn nên	0,125​
5	Giải phương trình nghiệm nguyên sau: . Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn .	1,0 ​
	a) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: .	0,5​
Phương trình đa cho tương đương với : . Chúng ta xem đây là phương trình bậc hai đối với biến . Do đó, để phương trình có nghiệm nguyên thì là số chính phương.	0,125​
Ta có:	0,125​
Nếu . Thay vào phương trình ta được: Do đó là một nghiệm của phương trình.	0,125 ​
Nếu . Khi đó, để là số chính phương thì phải tồn tại số sao cho: ​ Với , thay vào phương trình ta được: Thử lại, ta thấy các nghiệm thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên là	0,125 ​
b) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn .	0,5​
Do nên tồn tại số nguyên dương sao cho: hay nên Hơn nữa, do nên .	0,125 ​
Do đó, các số và là các số nguyên dương. Ta có: là một số nguyên dương nên là một số nguyên dương hay là một số nguyên dương; do đó .	0,125​
Khi đó, tồn tại hai số nguyên dương sao cho: . Từ đó, suy ra . Do đó, nên . Khi đó, điều kiện ban đầu của bài toán trở thành:	0,125​
Ta xét ba khả năng có thể có của như sau: Nếu thì Nếu thì . Do là bội của nên không tồn tại . Nếu thì Vậy có hai cặp số thỏa yêu cầu bài toán là .	0,125 ​
6​	Cho là hai số dương. Chứng minh rằng: Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	1,0 ​
	a) Cho là hai số dương. Chứng minh rằng: ii.	0,5​
Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương: Ta có:	0,125 ​
Hơn nữa: Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi	0,125​
Ta cần chứng minh .​	0,125 ​
Mặt khác, nên bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi	0,125 ​
b) Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	0,5​
Áp dụng bất đẳng thức ta được:	0,125 ​
Áp dụng bất đẳng thức ta được: ​	0,125 ​
Từ ta có: .​ Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức ta có: ​	0,125 ​
Từ ta được: Vậy giá trị lớn nhất của là đạt được khi	​ 0,125 ​

HẾT.

Lưu ý: học sinh giải cách khác với đáp án thì giám khảo xem xét, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 21​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2020 – 2021 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi​

Bài 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

Rút gọn . Tìm tất cả các giá trị của để

b) Cho phương trình ẩn là (với là các số nguyên tố). Tìm tất cả các giá trị của và biết phương trình có nghiệm là các số nguyên dương.

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

Bài 3. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm cạnh BC. P là một điểm di động trên đoạn AM (P khác A và M). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, cắt đường thẳng BP tại K (K khác P). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AC tại A, cắt đường thẳng CP tại L (L khác P).

a) Chứng minh

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC luôn đi qua hai điểm cố định.

c) Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC và E là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AC. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PLB và F là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AB. Chứng minh EF // IJ.

Bài 4. (1,0 điểm) Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh

.​

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

Bài 5. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên

b) Giả sử rằng là tập hợp con của tập hợp sao cho không chứa hai số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

----- Hết -----

​

Họ tên thí sinh:……………….………………...Số báo danh: …………..................................

Cán bộ coi thi 1:……….………...…..................Cán bộ coi thi 2:.....………..……..…….........





SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC​

HẢI PHÒNG Năm học 2020 – 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Hướng dẫn gồm 04 trang

Bài​	Đáp án​	Điểm​
1 (2,0 điểm)​	a) (1,0 điểm)
ĐK:	0,25​
	0,25​
	0,25​
	0,25​
b) (1,0 điểm)
Điều kiện để phương trình có nghiệm là Áp dụng định lý Vi-et ta có với	0,25​
Vì là số nguyên tố nên hoặc	0,25​
Nếu thì và là các số nguyên tố liên tiếp, suy ra là số nguyên tố chẵn nên . Tương tự, nếu thì	0,25​
Ta thấy thỏa mãn điều kiện là các giá trị cần tìm.	0,25​
2 (2,0 điểm)​	a) (1,0 điểm)
Đặt Ta được	0,5​
Nếu , thay vào ta được:	0,25​
Nếu thay vào ta được: Vậy nghiệm của phương trình là	0,25​
b) (1,0 điểm)
Với điều kiện thì hệ phương trình trở thành	0,25​
	0,25​
Nếu do	0,25​
Nếu do Vậy hệ phương trình có hai nghiệm	0,25​
3 (3,0 điểm)​	​ Đáp án cho trường hợp hình vẽ trên, các trường hợp khác chứng minh tương tự.
a) (1,0 điểm)
BA là tiếp tuyến của đường tròn (APK) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (APL) nên	0,5​
Từ (1) và (2) suy ra	0,5​
b) (1,0 điểm)
Gọi là đường cao của tam giác	0,5​
Từ (1) và (3) . Suy ra tứ giác HPKC nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC đi qua hai điểm cố định là C và H.	0,5​
c) (1,0 điểm)
Theo câu b) đường tròn (J) đi qua H. Chứng minh tương tự (I) đi qua H. (I) và (J) cắt nhau tại H, P nên	0,25​
Từ (5) và (6) suy ra tứ giác APEF nội tiếp nên	0,25​
Gọi G là giao điểm của HP và EF. Do các tứ giác HPEC và APEF nội tiếp nên Từ (4), (7) suy ra IJ // EF.	0,5 ​
4 (1,0 điểm)​		0,25​
	0,5​
Đẳng thức xảy ra khi	0,25 ​
5 (2,0 điểm)​	a) (1,0 điểm)
Phương trình ban đầu tương đương với	0,25​
Vì nên	0,25​
Lập bảng các giá trị ​ ​ ​ ​ ​ ​ 4​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ Mà nên nghiệm của phương trình là	0,5​
b) (1,0 điểm)
Chia các số từ đến 1023 thành các tập con Dễ thấy số phần tử của tập là . Nhận thấy	0,25​
Xét , rõ ràng không chứa số nào gấp đôi số khác.	0,25​
Ta chỉ ra rằng không thể chọn tập con có nhiều hơn 682 số thỏa mãn bài ra. Thật vậy: Giả sử tập thỏa mãn yêu cầu bài toán và chứa phần tử thuộc , Xét các tập hợp và . Với tùy ý, ta có . Số các cặp như vậy là và trong mỗi cặp như vậy có nhiều nhất một số thuộc	0,25​
Ngoài ra tập còn chứa số lẻ, tức là có nhiều nhất số thuộc được lấy từ và Suy ra . Cộng các bất đẳng thức ta được Vậy số phần tử lớn nhất của là 682.	0,25​

Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.

- Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.

- Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm.

- Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được.

- Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó.

- Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.

​ ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH	KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2020 - 2021​
​	ĐỀ THI MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)​
​	Ngày thi: 13 tháng 7 năm 2020​
Đề số 22​	Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)​
​	(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)​

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu I (2,0 điểm)

• Rút gọn biểu thức:
• a) b)
• Giải phương trình:

Câu II (2,0 điểm)

Cho phương trình: ( m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

2) Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 96km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B là 100km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h.

Câu III (2,0 điểm)

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M khác B, M khác C), từ M kẻ MI, MK, MP lần lượt vuông góc với AB, AC, BC ( , , ).

1) Chứng minh rằng:

2) Chứng minh rằng : Tam giác MIP đồng dạng với tam giác MPK.

3) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích đạt giá trị lớn nhất.

Câu IV (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho ba số thỏa mãn đồng thời:

Tính giá trị của biểu thức:

Câu V(2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên và thỏa mãn:

2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng .

-------- Hết --------​

Họ và tên thí sinh:............................................. Số báo danh: ......................... Phòng thi: .....

Giám thị 1:........................................................Giám thị 2: .....................................................

​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH	KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2020-2021​
​	HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)​
to¸n​	(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)​

Câu I (2,0 điểm)

Phần​	Nội dung	Điểm​
1​		0,5​
	0,5​
2​	TH1: Giải phương trình ta được	0,5​
TH2: Giải phương trình ta được KL….	0,5​

Câu II (2,0 điểm)

Phần​	Nội dung​	Điểm​
1​	Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m	0,25​
Ta có:	0,25​
Theo hệ thức vi ét ta có:	0,25​
Giải phương trình ta được KL…	0,25​
2​	Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) (x > 4) Vận tốc xuôi dòng là: ; vận tốc ngược dòng là:	0,25đ​
Thời gian xuôi dòng là , thời gian ngược dòng là . Theo bài ra ta có phương trình	0,5đ ​
Giải phương trình được . KL………..	0,25đ​

Câu III (2,0 điểm)

Phần​	Nội dung​	Điểm​
​	​	​
1​	Tứ giác KMPC nội tiếp (cùng chắn cung KM)	0,5​
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CM) (1)	0,5​
2 ​	Tứ giác IMPB nội tiếp (cùng chắn cung PM)(2) Từ (1) và (2)	0,25​
Chứng minh tương tự	0,25​
3​		0,25​
Vì lớn nhất khi MP lớn nhất M là điểm chính giữa cung nhỏ BC.	0,25​

Câu IV (2,0 điểm)

Phần​	Nội dung​	Điểm​
1	Giải (*) Đặt	0,5​
Vậy hệ phương trình có một nghiệm là :	0,5​
2​		0,5​
	0,5 ​

Câu V (2,0 điểm)

Phần​	Nội dung​	Điểm​
1 ​		0,5​
	0,25​
Giải (I) được các nghiệm	0,25​
Giải (II) được các nghiệm KL…………….	0,25​
2​		​
Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = AB. Xét DCDK và DBDA có: CK = AB (vì cùng bù với ) CD = BD ( ).	0,5​
DK = DA. Trong có AK < AD + DK Û AB + AC < AD + AD = 2AD.	0,5​

* Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN Đề chính thức (Có 01 trang) Đề số 23​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán (Chuyên) Ngày thi: 15/7/2020 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề​

ĐỀ BÀI​

Câu 1. (2,0 điểm).

1. Cho biểu thức: ( với ).

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của .

2. Giải hệ phương trình:

Câu 2. (2,0 điểm). Cho phương trình: ( với là tham số).

a) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó.

b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

.

Câu 3. (2,0 điểm).

a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc sang phải hoặc sang trái. Robot xuất phát từ vị trí đi thẳng quay sang trái rồi đi thẳng , quay sang phải rồi đi thẳng đến đích tại vị trí . Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot.

b) Cho hai số thỏa mãn và . Chứng minh: .

Câu 4. (3,0 điểm).

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Đường cao cắt nhau tại . Kéo dài cắt đường tròn lần lượt tại và .

a) Chứng minh cân.

b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng và .

c) Khi cố định, xác định vị trí của trên đường tròn để lớn nhất.

Câu 5. (1,0 điểm).

a) Cho và . Chứng minh rằng: .

b) Cho là số nguyên dương. Biết rằng và là hai số chính phương. Chứng minh rằng chia hết cho .

.................. Hết ...................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN (Hướng dẫn chấm có 04 trang)​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học : 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN​

Câu​	Hướng dẫn​	Điểm​
1.1 (1,0đ)​	Cho biểu thức: a) Rút gọn	​
Với	0,25​
	0,25​
b) Tính giá trị nhỏ nhất của .	​
(Với )	0,25​
Vậy giá trị nhỏ nhất của khi .	0,25​
1.2​	Giải hệ phương trình:	​
Điều kiện:	0,25​
Đặt (điều kiện ) (thỏa mãn)	0,5​
(thỏa mãn). Vậy HPT có 1 nghiệm	0,25​
2.a (1,0đ)​	Phương trình: . a) Tìm để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó.	​
Ta có:	0,25​
Để phương trình có nghiệm kép thì	0,25​
nghiệm kép là	0,25​
nghiệm kép là	0,25​
2.b (1,0đ)​	b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì .	​
PT có 2 nghiệm phân biệt thì	0,25​
và và	0,25​
Xét	0,25​
Suy ra (vì ). Đpcm.	0,25​
3.a (1,0đ)​	a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc sang phải hoặc sang trái. Robot xuất phát từ vị trí đi thẳng quay sang trái rồi đi thẳng , quay sang phải rồi đi thẳng đến đích tại vị trí . Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot.	​
Học sinh vẽ được hình minh họa ​	0,25​
Kẻ như hình vẽ: ​	0,25​
Ta có:	0,25​
Vậy khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot là	0,25​
3.b (1,0đ)​	b) Chứng minh: . Với và .	​
Vì	0,25​
Do (BĐT AM-GM)	0,25​
Dấu bằng xẩy ra khi:	0,25​
Vậy . Dấu bằng xẩy ra khi	0,25​
4.a (1,0đ)​	Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Đường cao cắt nhau tại . Kéo dài cắt đường tròn lần lượt tại và . a) Chứng minh cân.	​
Vẽ hình đúng đến câu 4.a ​	0,25​
Ta có: (cùng phụ với )	0,25​
Lại có (cùng chắn cung )	0,25​
Suy ra cân tại .	0,25​
4.b (1,0đ)​	b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng và .	​
Ta có (cùng vuông ), (cùng vuông ).	0,25​
là hình bình hình .	0,25​
Mà là trung điểm của cũng là trung điểm của ba điểm thẳng hàng.	0,25​
là đường trung bình của	0,25​
4.c (1,0đ)​	c) Khi cố định, xác định vị trí của trên đường tròn để lớn nhất.	​
Theo câu 1 ta có	0,25​
Suy ra	0,25​
Ta có Dấu bằng xẩy ra khi .	0,25​
Vậy để lớn nhất thì là điểm chính giữa cung lớn .	0,25​
5.a (0,5đ)​	a) Cho và . Chứng minh rằng:	​
Vì: Chứng minh được nếu:	0,25​
Áp dụng công thức trên ta có: Lại có: . (Đpcm)	0,25​
5.b (0,5đ)​	b) Cho là số nguyên dương. Biết rằng và là hai số chính phương. Chứng minh rằng chia hết cho .	​
Đặt lẻ vì chẵn chẵn Đặt lẻ (do chẵn) và vì là hai số chẵn liên tiếp mà .	0,25​
Ta có một số chính phương chia cho 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4. Mặt khác chia cho 5 dư 1 Nên Từ (1), (2) và . Đpcm.	0,25​

(Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN​ Đề thi chính thức​ Đề số 24​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH NĂM HỌC 2020 - 2021​

Môn thi chuyên: TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (6,0 điểm).

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình .

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Tìm tất cả các số nguyên dương và số nguyên tố thỏa mãn .

b) Chứng minh rằng nếu là hai số tự nhiên thỏa mãn

thì là số chính phương.

Câu 3 (2,0 điểm). Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ( ) nội tiếp đường tròn . Các đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm .

a) Chứng minh là đường phân giác ngoài của tam giác .

b) Gọi là giao điểm của đường thẳng với đường tròn ( nằm trên cung nhỏ ); , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tam giác . Chứng minh .

c) Lấy điểm trên đoạn thẳng ( khác và ), đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là và đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh hệ thức . (Trong đó là diện tích tam giác , là diện tích tam giác ).

Câu 5 (2,0 điểm). Trong hình chữ nhật có chiều dài bằng cm, chiều rộng bằng cm cho điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm trong số điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn cm.

.......... HẾT ..........

Họ và tên thí sinh: .............................................................................................................. Số báo danh: ..............................................................................​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH NĂM HỌC 2020 - 2021​

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC​

Câu	Nội Dung​	Điểm​
1	a) 3,0	ĐKXĐ:	0,25​
Ta có	0,5​
	0,5​
	0,5​
hoặc	0,5​
TH1: (vô nghiệm)	0,25​
TH2: (tm). Vậy	0,5​
b) 3,0	, ĐKXĐ:	0,5​
Ta có:	0,5​
	0,5​
TH1: kết hợp với ĐK ta có (loại)	0,5​
TH2: thay vào phương trình (2) ta được	0,25​
	0,25​
Đặt , ta có	0,25​
Với , ta có Vậy nghiệm của hệ phương trình là	0,25​
2	a) 1,5	, ta có (2)	0,25​
Nếu	0,25​
Nếu và thay vào (2) ta có (loại, vì )	0,25​
Nếu và , kết hợp với (2) suy ra hoặc	0,25​
TH1: TH2: , kết hợp với suy ra	0,25​
Thay vào (1) ta có (3) Vì nên từ (3) Từ (3) chẵn chia cho 8 dư 4. Suy ra phương trình (3) vô nghiệm. Vậy	0,25​
b 1,5	Ta có (1)	0,25​
Gọi	0,25​
(2)	0,25​
Từ (2) (3)	0,25​
Từ (2) và (3) (4)	0,25​
Từ (1) và (4) suy ra và đều là số chính phương, ta có đpcm.	0,25​
3	2.0	Theo bất đẳng thức AM-GM ta có	0,25​
Mặt khác: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có	0,25​
Chứng minh tương tự, ta có ;	0,25​
	0,25​
Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên và thu gọn ta được	0,25​
Mà (Vì )	0,25​
Do đó , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi	0,25​
Vậy khi	0,25​
4	a 3,0	​	​
Ta có tứ giác DCAF nội tiếp	0,5​
tứ giác DHEC nội tiếp	0,5​
	0,5​
DA là tia phân giác của	0,5​
Mà	0,5​
Do đó BC là đường phân giác ngoài của tam giác DEF	0,5​
b 2.0	Gọi P là giao điểm thứ hai của EF với đường tròn (O) và AJ đường kính của đường tròn (O). Ta có và	0,5​
Mà nên	0,5​
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC.	0,5​
Chứng minh tương tự ta có MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF	0,25​
	0,25​
c 2.0	Ta có và	0,5​
(1)	0,25​
Ta có (2)	0,25​
Qua K kẻ đường thẳng song song với BE cắt EF tại N, theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có (3)	0,25​
Mà và (4)	0,25​
Từ (3) và (4) nên tứ giác EGNK là hình bình hành EF đi qua trung điểm của KG (5) Từ (1); (2) và (5) suy ra đpcm.	0,5​
5	2.0	Giả sử ABCD là hình chữ nhật có , ; A’B’C’D’ là hình chữ nhật có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật ABCD sao cho và ,	0,5​
	​
Vẽ 2020 hình tròn bán kính bằng 1cm có tâm là các điểm ban đầu. Gọi là hình tròn của điểm thứ i, và là diện tích của nó thì , với .	0,5​
Ta có	0,25​
Mặt khác:	0,25​
Từ và mọi nằm trọn trong A’B’C’D’ nên tồn tại sao cho .	0,25​
Gọi tương ứng là hai tâm của và (khi đó thuộc vào tập hợp 2020 điểm đã cho). Ta có (trong đó là bán kính của và ). Suy ra đpcm	0,25​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN​ Đề thi dự bị​ Đề số 25​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH NĂM HỌC 2020 - 2021​

Môn thi chuyên: TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề​

Câu 1 (6,0 điểm).

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình .

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì chia hết cho .

b) Tìm các số nguyên dương sao cho và đều là số nguyên tố đồng thời .

Câu 3 (2,0 điểm). Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng .

Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ( ) nội tiếp đường tròn . Các đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm . Đường kính của đường tròn cắt đường thẳng tại điểm và đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm

a) Chứng minh và tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm ( khác ). Chứng minh .

Câu 5 (2,0 điểm). Trong hình chữ nhật có chiều dài bằng cm, chiều rộng bằng cm cho điểm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tồn tại một hình tròn có bán kính bằng cm nằm trong hình chữ nhật mà không chứa điểm nào trong điểm đã cho.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH NĂM HỌC 2020 - 2021​

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI DỰ BỊ​

Câu	Nội Dung	Điểm
1	a)	ĐKXĐ: Ta có	0,5
	0,5
	0,5
hoặc	0,5
TH1: (vô nghiệm)	0,5
TH2: (t/M) Vậy	0,5
b) 3,0	ĐK:	0,25
Ta có:	0,5
	0,25
TH1: thay vào phương trình (2) ta được (Thỏa mãn)	0,5
	0,5
TH2: , từ (2) suy ra	0,5
(loại) Vậy nghiệm của hệ phương trình là	0,5
2	a 1,5	Ta có:	0,25
	0,25
với mọi n (1)	0,25
Nếu n là số chẵn	0,25
Nếu n là số lẻ thì và Từ đó với mọi n (2)	0,25
Từ (1) và (2) , vì	0,25
b 1,5	Không mất tính tổng quát, giả sử . Ta có và	0,25
(do là số nguyên tố).	0,25
Suy ra (3)	0,25
Từ (2) và (3) . Kết hợp với suy ra hoặc	0,25
TH1: , thay vào (1) ta có (vô nghiệm vì )	0,25
TH2: . Mà là số nguyên tố là số lẻ lẻ là số nguyên tố chẵn Suy ra Vậy	0,25
	3 2,0	(1) Đặt suy ra dương và Ta có	0,25
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có	0,5
Mặt khác: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có (vì )	0,5
Do đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được	0,5
(luôn đúng). (vì ) Đẳng thức xẩy ra khi	0,25
4	a) 3,0
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)	0,5
	0,5
Tương tự: , do đó tứ giác BHCI là hình bình hành nên M là trung điểm BC.	0,5
Ta có: (do tam giác MBE cân tại M), mà (1)	0,5
Mặt khác: (2) Từ (1) và (2)	0,5
(do ) nên tứ giác DMEF nội tiếp.	0,5
b 2,0	Vì	0,25
nên tam giác KAE vuông tại K	0,5
Ta có: suy ra tứ giác HKID nội tiếp	0,5
(3)	0,25
Vì (4)	0,25
Từ (3) và (4)	0,25
c 2,0	Nối AN cắt đường tròn (O) tại điểm Q, ta có: suy ra tứ giác QAEF nội tiếp và tứ giác AQDM nội tiếp	0,5
	0,25
Mà tứ giác AEHF nội tiếp nên tứ giác QAEH nội tiếp suy ra	0,25
Vậy ba điểm M, H, Q thẳng hàng suy ra H là trực tâm tam giác ANM (5)	0,25
Gọi nên EP’MC là tứ giác nội tiếp	0,25
ba điểm A, P, M thẳng hàng nên tứ giác HPMD nội tiếp	0,25
(6) Từ (5) và (6) suy ra ba điểm N, H, P thẳng hàng	0,25
5	2,0
Giả sử ABCD là hình chữ nhật có , ; A’B’C’D’ là hình chữ nhật có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật ABCD sao cho và , Vẽ 2020 hình tròn bán kính bằng 1cm có tâm là các điểm ban đầu.	0,5
Gọi là hình tròn của điểm thứ i, và là diện tích của nó thì , với . Ta có	0,5
Mặt khác: Từ và mọi nằm trọn trong ABCD nên tồn tại một điểm M nằm trong hình chữ nhật A’B’C’D’ và không thuộc các hình tròn đã cho với .	0,5
Gọi là hình tròn tâm M bán kính bằng , khi đó hình tròn không chứa điểm nào trong 2020 điểm đã cho. Suy ra đpcm	0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM​	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020-2021​
ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 26​	Môn thi : TOÁN (Toán chuyên) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 23-25/7/2020

Câu 1. (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức , với

Rút gọn biểu thức .

b) Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn là lập phương của một số tự nhiên.

Câu 2. (1,0 điểm).

Cho parapol và đường thẳng Tìm giá trị của tham số biết rằng đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ dương thuộc



Câu 3. (2,0 điểm).

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình



Câu 4. (2,0 điểm). Cho tam giác cân tại , là trung điểm của , là trọng tâm của tam giác .

a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh vuông góc với

b) Lấy điểm trên cạnh sao cho . Vẽ vuông góc với tại , vuông góc với AC tại , vuông góc với tại . Tính tỉ số .

Câu 5. (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn có ba đường cao đồng qui tại . Vẽ đường tròn đường kính . Tiếp tuyến của đường tròn tại cắt tại

a) Chứng minh

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn ( là tiếp điểm). Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh thẳng hàng.

Câu 6. (1,0 điểm). Cho ba số thực dương thõa mãn Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

--------------- HẾT ---------------​

Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: ......................................

Giám thị 1 ……………………………………………Giám thị 2 ………………………..

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM​	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020-2021​
HDC CHÍNH THỨC​	HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN​

(Bản hướng dẫn này gồm 05 trang)​

Câu​	Nội dung​	Điểm​
Câu 1 (2,0)​	a) Cho biểu thức , với Rút gọn biểu thức .	1,0​
	0,25​
	0,25​
	0,25​
	0,25​
b) Tìm tất cả các số tự nhiên thõa mãn là lập phương của một số tự nhiên.	1,0​
Xét là các ước của nên ta có:	0,25​
Từ (1) suy ra thay vào ta được: Với : Vế trái của (3) chia 9 dư 3.	0,25​
+ : từ . Suy ra Khi đó, vế phải của (3) chia hết cho 9. Do đó, không thỏa.	0,25​
Với : suy ra . Khi đó, . Với : Không thỏa Vậy là giá trị cần tìm. (Học sinh kiểm tra n=2 thỏa : 0,25đ)	0,25​

Câu​	Nội dung​	Điểm​
Câu 2 (1,0)​	Cho parapol và đường thẳng Tìm giá trị của tham số biết rằng đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ dương thuộc	1,0​
+ Tìm được hai giao điểm của	0,25​
+ cắt tại điểm có hoành độ dương thuộc nên đi qua .	0,25​
+ Do đó	0,25​
Giải	0,25​

Câu​	Nội dung​	Điểm​
Câu 3 (2,0)​	a) Giải phương trình	1,0​
	0,25
	0,25​
	0,25​
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm . (Nếu học sinh chỉ ghi được điều kiện thì cho 0.25đ)	0,25​
b) Giải hệ phương trình	1,0​
	0,25​
Đặt Khi đó hệ (*) trở thành	0,25​
Từ (1) suy ra thay vào (2) ta được	0,25​
hoặc	0,25​

Câu​	Nội dung​	Điểm​
Câu 4 (2,0)​	Cho tam giác cân tại , là trung điểm của , là trọng tâm của tam giác a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh vuông góc với b) Lấy điểm trên cạnh sao cho . Vẽ vuông góc với tại , vuông góc với AC tại , vuông góc với tại . Tính tỉ số .	1,0​
Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 ​	Hình vẽ phục vụ câu b: 0,25 ​	0,25​
0,25​
0,25​
0,25​
​
a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh vuông góc với	0,75​
Gọi là giao điểm của . Suy ra là trọng tâm của tam giác . Lập tỉ lệ suy ra được .	0,25​
Mà vuông góc với nên Lập luận vuông góc với nên là trực tâm của tam giác	0,25​
Suy ra vuông góc với hay vuông góc với .	0,25​
b) Lấy điểm trên cạnh sao cho . Vẽ vuông góc với tại , vuông góc với AC tại , vuông góc với tại . Tính tỉ số .	1,0​
Gọi là điểm đối xứng của của qua Suy ra tam giác cân tại Xét hai tam giác có: Suy ra hai tam giác bằng nhau.	0,25​
Suy ra	0,25​
	0,25​
Mà nên hay	0,25​
Câu​	Nội dung​	Điểm​
Câu 5 (2,0)​	Cho tam giác nhọn có ba đường cao đồng qui tại . Vẽ đường tròn đường kính . Tiếp tuyến của đường tròn tại cắt tại a) Chứng minh b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn ( là tiếp điểm). Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh thẳng hàng.	2,0​
(Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25đ)​	0,25 ​
a) Chứng minh	0,75​
Ta có: Tam giác cân tại nên Do đó	0,25​
Mà	0,25​
Suy ra tam giác cân tại .Do đó (đpcm).	0,25
b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn ( là tiếp điểm). Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh thẳng hàng.	1,0​
Chứng minh được tam giác đồng dạng với tam giác . Suy ra	0,25​
Chứng minh được tam giác đồng dạng với tam giác . Suy ra Suy ra	0,25
Hai tam giác có: chung và Suy ra hai tam giác đồng dạng. Suy ra	0,25​
Do đó là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Suy ra Mà nên thẳng hàng.	0,25​
Câu ​	Nội dung​	Điểm​
Câu 6 (1,0)​	Cho ba số thực dương thõa mãn Tính giá trị lớn nhất của biểu thức	1,0​
+ Không mất tính tổng quát giả sử , khi đó	0,25​
(Đẳng thức xảy ra khi hoặc )	0,25​
(Đẳng thức xảy ra khi )	0,25​
Suy ra , dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của bằng 4 khi (Phải có cơ sở lập luận phần này mới cho điểm)	0,25​

* Lưu ý:

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 27​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Ngày thi: 18/7/2020 Môn thi: Toán (Hệ chuyên) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)​

Bài 1. (1,5 điểm)

1. Rút gọn biểu thức , với

2. Cho hàm số , với là tham số. Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi

Bài 2. (1,5 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là số chính phương.

2. Ta nhận thấy số 2025 thỏa mãn tính chất rất đẹp: . Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số cũng thỏa mãn tính chất trên, nghĩa là

Bài 3. (2,5 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

2. Giải phương trình

3. Cho biểu thức với là các số thực. Biết Tính giá trị của

Bài 4. (3,5 điểm)

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Tia phân giác của cắt HC tại D. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AC. Tính AB, biết và .

2. Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn Gọi là trực tâm của tam giác Đường thẳng cắt tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và , là giao điểm của hai đường thẳng và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và là đường trung trực của đoạn thẳng

b) Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng OM cắt các đường thẳng lần lượt tại Gọi N là trung điểm Chứng minh hai đường thẳng HM và AN cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (O).

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho 16 số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2021, đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 16 số trên có ít nhất một số là số nguyên tố.

HẾT

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ (Có 05 trang)​	KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 Ngày thi: 18/7/2020 Môn: Toán (Hệ chuyên)​

HƯỚNG DẪN CHẤM​

Bài 1. (1,5 điểm)

1. Rút gọn biểu thức , với

2. Cho hàm số , với là tham số. Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi

Hướng dẫn giải​	Điểm
1. Ta có:	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm​
2. Xét điểm trên mặt phẳng tọa độ. Khi đó, A là điểm cố định khi và chỉ khi A thuộc đồ thị hàm số với mọi m. Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm​

Bài 2. (1,5 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho số là số chính phương.

Hướng dẫn giải​	Điểm
Số chính phương với . . Vì nên có các trường hợp sau hoặc . Tìm được	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

2. Ta nhận thấy số 2025 thỏa tính chất rất đẹp: . Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số cũng thỏa tính chất trên, nghĩa là

Hướng dẫn giải​	Điểm
Giả sử là số thỏa tính chất trên, Đặt , ta có , . khi đó Do đó, ta có suy ra Vì vế phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số nên phải được phân tích ở dạng đó. Ta biết các bội của 11 có hai chữ số gồm bội của 9 có hai chữ số gồm Như vậy x chỉ có thể là các số sau {98, 20, 30}. Kiểm tra trực tiếp ta thấy các số 9801, 2025, 3025 thỏa tính chất của đề bài.	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Bài 3. (2,5 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải​	Điểm
Ta có biểu thức xác định với mọi thuộc . Do đó (*) (+) Nếu thì . (+) Xét , ta có pt có nghiệm . Vậy và .	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

2. Giải phương trình

Hướng dẫn giải​	Điểm
Điều kiện Thử lại, chọn .	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

3. Cho biểu thức với là các số thực. Biết Tính giá trị của

Hướng dẫn giải​	Điểm
Đặt Do đó hay là hai nghiệm của phương trình . Mà P(x) là đa thức bậc ba nên ta có . Khi đó Do vậy, .	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Bài 4. (3,5 điểm)

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Tia phân giác của góc cắt HC tại D. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AC. Tính AB, biết và .

Hướng dẫn giải​	Điểm
B 6 3 2 1 K H A D C
1. Ta có (AD cạnh chung; ) Ta lại có (cùng phụ ); ; Mà cân tại B . Đặt . vuông tại A, có đường cao AH nên . Giải phương trình, ta được: Vậy hoặc .	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm​

2. Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn Gọi là trực tâm của tam giác Đường thẳng cắt tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K. Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và là đường trung trực của đoạn thẳng

b) Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng OM cắt các đường thẳng lần lượt tại Gọi N là trung điểm đoạn thẳng Chứng minh hai đường thẳng HM và AN cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (O).

Hướng dẫn giải​	Điểm
	Vẽ hình đúng đến câu a) 0,25 điểm
a) Ta có H là trực tâm nên , suy ra . Suy ra tứ giác BCSL nội tiếp Ta có (cùng chắn cung của ). Mặt khác, (do cùng phụ với góc ) và . Do đó, suy ra là tam giác cân tại Mà nên là đường trung trực của	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
b) Gọi là đường kính của (O). Khi đó, (do cùng vuông góc với AB), (do cùng vuông góc với AC). Suy ra BHCI là hình hình hành. Do đó H, M, I thẳng hàng. Gọi là giao điểm của và , ta chứng minh nằm trên . Ta có (cùng chắn cung BL của đường tròn (BCSL) ), (cùng chắn cung LH của đường tròn (ALHS)), (do ). Suy ra . Tương tự ta có . Từ đó suy ra . Mà là trung điểm , là trung điểm nên suy ra Do đó, , mà (đối đỉnh). Suy ra hay là tứ giác nội tiếp. Mà nên hay do vậy E nằm trên đường tròn (O).	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho 16 số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2021, đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong 16 số trên có ít nhất một số là số nguyên tố.

Hướng dẫn giải​	Điểm
Giả sử 16 số đã cho gồm và tất cả chúng đều là hợp số. Gọi là ước nguyên tố nhỏ nhất của số (với ). Vì 16 số đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau nên 16 số là phân biệt. Gọi , khi đó vì nhỏ hơn 51 chỉ có 15 số nguyên tố . Mà là ước nguyên tố nhỏ nhất của nên , mâu thuẫn với . Vậy trong số các số đã cho phải có ít nhất một số là số nguyên tố.	0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Ghi chú :

+ Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh.

+ Điểm từng câu và toàn bài tính đến 0,25 không làm tròn số.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH LONG​	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021​
​ ĐỀ CHÍNH THỨC​ Đề số 28​	Môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 19/07/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)​

Bài 1. (2.0 điểm)

a) Cho biểu thức . Tìm điều kiện xác định của và tính giá trị của khi .

b) Tính giá trị của biểu thức

Bài 2. (1.0 điểm) Cho phương trình có hai nghiệm , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:

a) b) .

Bài 3. (1.5 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Giải phương trình .

Bài 4. (1.5 điểm)

a) Cho . Chứng minh rằng chia hết cho 25 với mọi số tự nhiên .

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình .

Bài 5. (1.0 điểm) Cho tam giác vuông ở , đường cao . Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm trên cạnh và . Biết (cm), (cm).

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Các đường thẳng vuông góc với tại và cắt cạnh lần lượt tại và . Tính diện tích tứ giác .

Bài 6. (2.0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp , là điểm thuộc cung nhỏ . Vẽ vuông góc với tại vuông góc với tại (ba điểm không thẳng hàng).

a) Chứng minh .

b) Chứng minh đồng dạng .

c) Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Chứng minh rằng vuông góc với .

Bài 7. (1.0 điểm) Cho là các số thực dương và .

a) Chứng minh rằng

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

... HẾT ...​

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ............................................... SBD: ..............................................................



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

VĨNH LONG NĂM HỌC 2020 – 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC​

Môn thi: TOÁN (chuyên)

HƯỚNG DẪN CHẤM​

Bài 1. (2.0 điểm)

a) Cho biểu thức . Tìm điều kiện xác định của và tính giá trị của khi .

b) Tính giá trị của biểu thức

Bài​		Điểm​
1​		2.0​
​	a) Điều kiện: ; .	0.25​
= =	0.5​
Thay vào ta được .	0.25​
b)	0.5​
= 1.	0.5​

Bài 2. (1.0 điểm) Cho phương trình có hai nghiệm , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:

a) b) .

2​		1.0​
	a) Áp dụng Vi-ét ta có	0.25​
Ta có	0.25​
b) Do , là hai nghiệm của phương trình nên	0.25​
.	0.25​

Bài 3. (1.5 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Giải phương trình .

3​		1.5​
	a) Đặt , ta được	0.25​
	0.25​
Với suy ra là nghiệm của phương trình (vô nghiệm) Với suy ra là nghiệm của phương trình Vậy tập nghiệm .	0.25​
b) Điều kiện	0.25​
Đặt ( ) Phương trình trở thành Với Với (vô nghiệm) Thử lại ta nhận nghiệm Vậy tập nghiệm .	0.5​

Bài 4. (1.5 điểm)

a) Cho . Chứng minh rằng chia hết cho 25 với mọi số tự nhiên .

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình .

4​		1.5​
	a) Ta có	0.25​
Khi đó	0.5​
b) Ta có Vì nên	0.5​
Nếu thì Nếu thì không là số chính phương nên loại Nếu + Khi thì hoặc + Khi thì hoặc Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên là	0.25​

Bài 5. (1.0 điểm) Cho tam giác vuông ở , đường cao . Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm trên cạnh và . Biết (cm), (cm).

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Các đường thẳng vuông góc với tại và cắt cạnh lần lượt tại và . Tính diện tích tứ giác .

5		1.0​
	​	​
a) Ta có (cm). Vì nên tứ giác là hình chữ nhật. (cm).	0.5​
b) Ta có tam giác cân tại (1) cân tại (cm). Chứng minh tương tự ta được (cm). Tứ giác là hình thang vuông tại D và E nên (cm2).	0.5​

Bài 6. (2.0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp , là điểm thuộc cung nhỏ . Vẽ vuông góc với tại vuông góc với tại (ba điểm không thẳng hàng).

a) Chứng minh .

b) Chứng minh đồng dạng .

c) Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Chứng minh rằng vuông góc với .

6​		2.0​
	​	​
a) Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính	0.25​
(cùng chắn )	0.25​
b) Ta có (cùng bằng ) (cùng bằng )	0.5​
Vậy .	0.25​
c) Ta có Do .	0.25​
Ta có Do , mà .	0.5​

Bài 7. (1.0 điểm) Cho là các số thực dương và .

a) Chứng minh rằng

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

7​	​	1.0​
	a) Ta có (luôn đúng).	0.25​
b) Ta có	0.25​
Đặt , điều kiện , ta được Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi .	0.5​

...HẾT...​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) Đề số 29​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN (Chuyên Tin học)​ Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên thí sinh: .................................................................................... ; Số báo danh:.................................................................................................



Câu 1 (2,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức , với .

b) Xác định để đường thẳng ( ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .

Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai ( là tham số).

a) Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình .

b) Trong đợt dịch Covid-19, theo kế hoạch thì hai tổ I và II của công ty may X phải sản xuất 10000 khẩu trang y tế trong thời gian hai ngày để kịp thời cung cấp cho người dân. Do được cải tiến kỹ thuật nên tổ I làm vượt mức 15% và tổ II vượt mức 20% so với kế hoạch ban đầu của mỗi tổ. Vì vậy, sau hai ngày họ đã làm được nhiều hơn 1700 khẩu trang so với kế hoạch. Tính số khẩu trang làm được của mỗi tổ sau khi cải tiến kỹ thuật.

Câu 4 (3,0 điểm). Từ điểm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến và với đường tròn ( là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ lấy điểm ( không trùng với ). Gọi thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ đến các đường thẳng và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Gọi giao điểm của và là , giao điểm của và là . Chứng minh .

Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương là nghiệm của phương trình

, biết rằng và chia hết cho .

----- HẾT -----​

Chữ ký của giám thị 1:…………......….....; Chữ ký của giám thị 2:………..….........……………..

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2020 - 2021​ Môn thi: TOÁN (Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)​

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

​

Hướng dẫn chung.

Nếu học sinh giải cách khác hướng dẫn chấm nhưng giải đúng thì vẫn được điểm tối đa.

Điểm toàn bài của thí sinh không làm tròn.

Đáp án – Thang điểm.

Câu​	Đáp án​	Điểm​
1 (2 điểm)​	a) Với , ta có:	0,50​
	0,50​
b) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng nên suy ra . Khi đó	0,25​
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên, ta có:	0,25​
(tmđk)	0,25​
Vậy ,	0,25​
2 (2 điểm)​	a) Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì	0,25​
	0,25​
	0,25​
Vậy .	0,25​
b) Với điều kiện thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt . Theo Vi-ét ta có .	0,25​
	0,25​
	0,25​
. So với điều kiện ta nhận	0,25​
3 (2 điểm) ​	a) Xem là phương trình bậc hai theo , ta có Vì vậy phương trình có hai nghiệm .	0,25​
Trường hợp 1: thay vào phương trình thứ hai của hệ đã cho ta được: .	0,25​
Trường hợp 2: thay vào phương trình thứ hai của hệ đã cho ta được:	0,25​
Vậy hệ phương trình có nghiệm	0,25​
b) Gọi ( ) lần lượt là số khẩu trang dự định may ban đầu của tổ I và tổ II. Ta có	0,25​
Sau khi cải tiến kỹ thuật, ta có	0,25​
Ta được hệ phương trình (tmđk)	0,25​
Số sản phẩm làm được khi thay thiết bị mới : +) của tổ I là (khẩu trang) +) của tổ II là (khẩu trang)	0,25​
4 (3 điểm)​	Vẽ hình đúng đến câu a ​	0,25 ​
a) Ta có :	0,50​
Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính	0,25​
b) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .	0,25​
(cùng chắn cung của đường tròn đường kính ) (cùng chắn cung của đường tròn đường kính ) (cùng chắn cung của đường tròn đường )	0,25​
Do đó s​ (vì có và )	0,25​
.	0,25 ​
c) Ta có (từ trên). Chứng minh tương tự ta cũng có	0,25​
mà hay tứ giác nội tiếp (nội tiếp cùng chắn một cung)	0,25​
( ) mà và là hai góc đồng vị //	0,25​
Theo giả thiết nên suy ra	0,25​
5 (1 điểm)​	Vì nên không có ước số nguyên tố nào ngoài các số có thể là .	0,25​
Vì nên ta có các lập luận sau: Nếu (hoặc ) thì (hoặc ) nhưng (hoặc ). Nếu thì nhưng Từ những lập luận trên, ta suy ra (loại) hoặc .	0,25​
Khi ta được phương trình (*). Đặt , là số nguyên dương sẽ tìm sau. Từ ta được (**). Từ trên ta suy ra , do đó . Thật vậy, nếu (mâu thuẫn).	0,25​
Ta xét các trường hợp: . Từ (*) ta suy ra được , ta suy ra Nếu cùng chia hết cho thì trong khi đó . Do đó cả hai đều không chia hết cho . Ta có Vì , nên . Với , thay vào (**) ta được . Ta được các hệ phương trình . Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: ,	0,25​

-----HẾT-----

​

​

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC ( Đề thi có 01 trang) Đề số 30​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)​

Họ và tên thí sinh:……………..………………………..……………….; SBD……………….

Câu 1: (2,0 điểm)

• a) Rút gọn biểu thức , với .
• b) Tìm giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên và đồ thị của nó đi qua điểm .

Câu 2: (2,0 điểm)

• a) Cho phương trình , (với là tham số) có hai nghiệm phân biệt . Tìm giá trị của tham số để .
• b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình .

Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn , là một dây cung cố định của không qua . Gọi là điểm di động trên cung lớn sao cho và tam giác nhọn. Các đường cao và cắt nhau tại . Gọi là giao điểm của với

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác theo

Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

------------------HẾT----------------​

Chữ ký giám thị 1……………………… Chữ ký giám thị 2…………………..…………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC ​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)​

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

​

• Hướng dẫn chung.
• Nếu học sinh giải cách khác hướng dẫn chấm nhưng giải đúng thì vẫn được điểm tối đa.
• Điểm toàn bài của thí sinh không làm tròn.
• Đáp án – Thang điểm.

Câu​	Đáp án​	Điểm​
1 (2 điểm)​	a) Ta có	0,5​
.	0,5​
b) Hàm số nghịch biến trên và đồ thị của nó đi qua điểm nên	0,5​
. Vậy giá trị cần tìm là .	0,5​
2 (2 điểm)​	a) Ta có	0,25​
	0,25​
Suy ra .	0,25​
Vậy thì .	0,25​
b) Với nguyên dương, ta có	0,25​
	0,25​
Nhận thấy nên ta phải phân tích số 56 thành tích của ba số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại	0,25​
Xét các trường hợp xảy ra, ta được nghiệm nguyên dương của phương trình là	0,25​
3 (2 điểm) ​	a) ĐK: . Đặt .	0,25​
(vì ).	0,25​
Do đó	0,25​
Vậy phương trình có hai nghiệm là .	0,25​
b) Ta có Thay (1) vào (2) ta được:	0,25​
.	0,25​
Thay vào (1) ta được .	0,25​
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .	0,25​
4 (3 điểm)​	​	a) Hình vẽ đúng	0,25​
Ta có	0,5​
là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn (không đổi) dưới một góc . Suy ra là tứ giác nội tiếp đường tròn.	0,25​
b) Vì là tứ giác nội tiếp nên (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )	0,25​
Xét tam giác và tam giác có chung, nên tam giác đồng dạng với tam giác	0,25​
	0,25​
Mà nên	0,25​
c) Kẻ đường kính của và gọi là trung điểm của . Ta có . Suy ra tứ giác là hình bình hành nên là trung điểm của .	0,25​
Tam giác có là đường trung bình nên mà , Từ (1) và (2) suy ra (không đổi). Tam giác vuông tại nên	0,25​
Áp dụng BĐT, ; Đẳng thức xảy ra khi .	0,25​
Chu vi của tam giác là . Vậy chu vi của tam giác lớn nhất bằng khi .	0,25​
5 (1 điểm)​	Với hai số dương x, y ta có , đẳng thức xảy ra khi . Ta có và .	0,25​
Do đó (1) Tương tự Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được	0,25​
Với ta có Nên hay	0,25​
Suy ra , đẳng thức xảy ra khi . Vậy GTNN của cần tìm là , khi .	0,25​

------HẾT------​

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số 31​

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP NĂM HỌC 2020 - 2021 Khóa ngày 16/7/2020 Môn: TOÁN (CHUNG)​

SBD:………….. Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề có 01 trang gồm 5 câu

​

MÃ ĐỀ 001​

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức: (với ).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của x để .

Câu 2 (1,5 điểm). Cho hàm số: có đồ thị là đường thẳng (với là tham số).

a) Tìm để hàm số (1) đồng biến trên .

b) Tìm để đường thẳng đi qua hai điểm và .

Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình: (2) (với là tham số).

a) Giải phương trình (2) với .

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn:

.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 5 (3,5 điểm). Cho tam giác vuông ở có đường cao . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm , vẽ nửa đường tròn đường kính cắt tại ( khác ) và nửa đường tròn đường kính cắt tại ( khác ) . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác là hình chữ nhật.

b) Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

c) là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn và .

...........................HẾT..........................​

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP

NĂM HỌC 2020 -2021

Khóa ngày 16/7/2020

Môn: TOÁN (CHUNG)​

(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)

​

MÃ ĐỀ: 001; 003

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng.

* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước sau có liên quan.

* Điểm thành phần của mỗi câu được phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm là 0,5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Đối với Câu 5, học sinh vẽ hình để làm được câu a thì cho 0,5 điểm, học sinh không vẽ hình thì cho điểm 0. Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì điểm 0 ở ý đó.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm từng câu.

* Học sinh giải nhầm mã đề câu nào thì không chấm điểm câu đó.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.

Câu​	Nội dung​	Điểm​
1​	Cho biểu thức: (với ). a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để .	2,0 điểm​
a​	Ta có:	0,25​
	0,25​
	0,25​
	0,25​
b​	Với thì: .	0,25​
.	0,25​
(thỏa mãn)	0,25​
Vậy thì	0,25​
2​	Cho hàm số: có đồ thị là đường thẳng (với là tham số). a) Tìm để hàm số (1) đồng biến trên . b) Tìm để đường thẳng đi qua hai điểm và	1,5 điểm​
a​	Để hàm số (1) đồng biến trên thì	0,5​
b​	Vì thuộc nên	0,25​
Vì thuộc nên	0,25​
Từ (*) và (**) ta có	0,5​
3​	Cho phương trình: (2) (với là tham số). a) Giải phương trình (2) với . b) Tìm các giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn: .	2,0 điểm​
a​	Với ta có phương trình	0,25​
Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt	0,25​
	0,25​
b​	Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi:	0,25​
Theo hệ thức Vi-ét ta có:	0,25​
Khi đó:	0,25​
(thỏa mãn)	0,25​
Vậy với thì phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn:	0,25​
4​	Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức	1,0 điểm​
​	Với là các số thực dương ta chứng minh được: Thật vậy: luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi	0,25​
Ta có: Dấu bằng xảy ra khi .	0,25​
Áp dụng (1) và (2) vào ta được:	0,25​
Dấu bằng xảy ra khi Vậy GTNN của là 14 khi .	0,25​
5​	Cho tam giác vuông ở có đường cao . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm , vẽ nửa đường tròn đường kính cắt tại ( khác ) và nửa đường tròn đường kính cắt tại ( khác ) . Chứng minh rằng: a) Tứ giác là hình chữ nhật. b) Tứ giác là tứ giác nội tiếp. c) là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn và .	3,5 điểm​
​	K I O1 O2 H B C A O Hình vẽ	0,5 ​
a​	Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ( vì hai góc kề bù) (1)	0,25​
Tương tự (2)	0,25​
Vì tam giác vuông tại A nên (3)	0,25​
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác là hình chữ nhật	0,25​
b​	Vì tứ giác là hình chữ nhật nên nội tiếp được trong một đường tròn (góc nội tiếp chắn cung ) (4)	0,25 ​
Theo giả thiết nên là tiếp tuyến của đường tròn (cùng chắn cung của đường tròn ) (5)	0,25 ​
Từ (4) và (5) suy ra (6)	0,25​
Ta cũng có (hai góc kề bù) (7)
Từ (6) và (7) suy ra là tứ giác nội tiếp	0,25​
c​	Gọi O là giao điểm của IK và AH Tứ giác AIHK là hình chữ nhật là tam giác cân tại O	0,25​
Tam giác cân tại Mà suy ra Do đó là tiếp tuyến của nửa đường tròn	0,25​
Chứng minh tương tự ta cũng có nên là tiếp tuyến của nửa đường tròn	0,25​
Vậy là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn và	0,25​

………………………………………………..​