TUYỂN TẬP ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH DỰ THI CHỌN HSGQG THPT MÔN TOÁN NĂM HỌC 2021 – 2022 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

[Yopovn]

TUYỂN TẬP ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH DỰ THI CHỌN HSGQG THPT MÔN TOÁN NĂM HỌC 2021 – 2022 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT được soạn dưới dạng file word gồm các file, thư mục trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC​	KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH DỰ THI CHỌN HSGQG THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN HỌC Ngày thi: 06/10/2021 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề​
	(Đề thi này có 01 trang)​

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh

​

b) Cho các số thực không âm trong đó không có hai số nào đồng thời bằng thỏa mãn Chứng minh

​

Câu 2 (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

​

trong đó kí hiệu

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng tại Đường thẳng cắt các đường thẳng theo thứ tự tại và Các điểm và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh các đường thẳng đồng quy.

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho trước số nguyên dương và số nguyên tố

a) Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương để

b) Chứng minh với mọi số nguyên dương đều tồn tại số nguyên dương để

------------------ HẾT ------------------​

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
• Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:…………………………………

Chữ kí của Giám thị 1:…………………………….. Chữ kí của Giám thị 2:……………………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC​	HƯỚNG DẪN CHẤM THI LẬP ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH DỰ THI CHỌN HSGQG THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN HỌC Ngày thi: 06/10/2021​
	(Hướng dẫn này có 03 trang)​

Câu​	Sơ lược lời giải/Một số gợi ý chính​	Điểm​
1a	Biến đổi BĐT đã cho thành	0,5
Đặt , chỉ ra	0,5
Biến đổi BĐT thành , tương đương với .	0,5
Chỉ ra BĐT trên luôn đúng với , dấu “=” xảy ra khi . BĐT đã cho được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi .	0,5
1b	Không mất tổng quát giả sử Chỉ ra và .	1,0
Đặt thì và . Theo 1a, ta có	1,0
Chỉ ra suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi .	1,0
2	Giả sử là một hàm thỏa mãn (1) Đặt , Trong (1), cho , ta được , ; (2) Thay bởi , ta được , ; Suy ra , . (3)	1,0
Trong (1), cho , ta được , ; Thay bởi , ta được , ; suy ra , . (4)	1,0
Từ (3) và (4) suy ra , nên , . Trong (1), cho ta tính được hoặc .	1,0
Nếu thì , thay vào (2) ta được , thử lại thỏa mãn.	1,0
Nếu thì , thay vào (2) ta được , không đúng nếu cho . Vậy .	1,0
3	Ta chứng minh hay chứng minh . (1)	1,0
Gọi là điểm đối xứng với qua thì và ; .	1,0
Mà (theo định lý sin)	1,0
Măt khác tứ giác là tứ giác điều hòa nên .	1,0
Do đó (1) được chứng minh, theo định lý Ceva, các đường đồng quy.	1,0
4a	TH1: Nếu thì chọn thỏa mãn đề bài.	0,5
TH2: Nếu thì ta chọn thỏa mãn đề bài, thật vậy	1,5
4b	TH1: Nếu thì chọn thỏa mãn đề bài.	0,5
TH2: Nếu , ta chứng minh quy nạp theo . Với , theo phần a, tồn tại số thoải mãn đề bài. Giả sử khẳng định đúng với , tức là tồn tại sao cho . Ta chỉ ra tồn tại số thỏa mãn đề bài.	0,5
Đặt , xét số , thì ;	1,0
nên ta chỉ cần chọn sao cho , luôn chọn được vì .	0,5
Khi đó với , thì chỉ ra được . Theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.	0,5

Hướng dẫn khi chấm:

1. Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất chi tiết nhưng không được quá số điểm dành cho câu, phần đó.

2. Có thể chia điểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.

3. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi thống nhất trong cả tổ chấm và ghi vào biên bản.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH​

THẦY CÔ TẢI NHÉ!