Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 - TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC được soạn dưới dạng file word gồm 66 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền xác định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
f(x,y,...) £ M "(x,y,..) Î D
$ (x0, y0,...) Î D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...) Î D
M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
f(x,y,...) ³ M "(x,y,..) Î D
$ (x0, y0,...) Î D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...) Î D
Các kiến thức thường dùng
2.1. Luỹ thừa:
a) x2 ³ 0 "x Î R Þ x2k ³ 0 "x Î R, k Î z Þ x2k £ 0
Tổng quát : [f (x)]2k ³ 0 "x Î R, k Î z Þ [f (x)]2k £ 0
Từ đó suy ra : [f (x)]2k + m ³ m "x Î R, k Î z
M [f (x)]2k £ M
b) ³ 0 "x ³ 0 Þ ()2k ³ 0 "x ³ 0 ; k Îz
Tổng quát : ()2k ³ 0 " A ³ 0 (A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a) |x| ³ 0 " xÎR
b) |x + y| £ |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0
c) |x y| ³ |x| |y| ; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0 và |x| ³ |y|
2.3. Bất đẳng thức côsi:
"ai ³ 0 ; i = : "nÎN, n ³ 2.
dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2 £ (
Dấu "=" xảy ra Û = Const
Nếu bi = 0 xem như ai = 0
2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :
Với a ³ 0 : (1 + a)n ³ 1 + na "n ÎN.
Dấu "=" xảy ra Û a = 0.
Để tìm Max f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :
sao cho f(x0,y0,...) = M
Để tìm Min f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :
sao cho f(x0,y0,...) = m
Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) 0 { hoặc A(x) 0 }
Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
LÝ THUYẾT
Định nghĩaM. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền xác định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
f(x,y,...) £ M "(x,y,..) Î D
$ (x0, y0,...) Î D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...) Î D
M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
f(x,y,...) ³ M "(x,y,..) Î D
$ (x0, y0,...) Î D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...) Î D
Các kiến thức thường dùng
2.1. Luỹ thừa:
a) x2 ³ 0 "x Î R Þ x2k ³ 0 "x Î R, k Î z Þ x2k £ 0
Tổng quát : [f (x)]2k ³ 0 "x Î R, k Î z Þ [f (x)]2k £ 0
Từ đó suy ra : [f (x)]2k + m ³ m "x Î R, k Î z
M [f (x)]2k £ M
b) ³ 0 "x ³ 0 Þ ()2k ³ 0 "x ³ 0 ; k Îz
Tổng quát : ()2k ³ 0 " A ³ 0 (A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a) |x| ³ 0 " xÎR
b) |x + y| £ |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0
c) |x y| ³ |x| |y| ; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0 và |x| ³ |y|
2.3. Bất đẳng thức côsi:
"ai ³ 0 ; i = : "nÎN, n ³ 2.
dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2 £ (
Dấu "=" xảy ra Û = Const
Nếu bi = 0 xem như ai = 0
2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :
Với a ³ 0 : (1 + a)n ³ 1 + na "n ÎN.
Dấu "=" xảy ra Û a = 0.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
Sử dụng phép biến đổi đồng nhất
Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số . Từ đó :Để tìm Max f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :
sao cho f(x0,y0,...) = M
Để tìm Min f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :
sao cho f(x0,y0,...) = m
Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) 0 { hoặc A(x) 0 }
Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.