SIÊU TUYỂN TẬP Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 ĐÃ GOM - Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - DIỄN ĐÀN TÀI LIỆU

Yopovn

Ban quản trị Team YOPO

Thành viên BQT

tác giả

28/1/24

SIÊU TUYỂN TẬP Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 ĐÃ GOM được soạn dưới dạng file word , pdf gồm CÁC FILE, THƯ Mục trang. Các bạn xem và tải tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 về ở dưới.

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

ĐA THỨC

PHẦN I: MỤC TIÊU

Cung cấp các lý thuyết chung về đa thức
Vận dụng lý thuyết giải một số dạng toán về đa thức thường gặp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

PHẦN II: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ ĐA THỨC

CÁC ĐỊNH NGHĨA

1/ Đa thức P(x) bậc n là hàm được xác định như sau:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0

Trong đó a0, a1, …, an là các hằng số cho trước và

Khi đó a0, a1, …, an được gọi là các hệ số của đa thức

Người ta dùng deg P(x) để kí hiệu bậc của đa thức P(x)

Nếu ai là các số nguyên thì P(x) gọi là đa thức với hệ số nguyên
Nếu ai là các số hữu tỉ thì P(x) gọi là đa thức với hệ số hữu tỉ.

2/ Số x0 được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(x0) = 0

3/ Cho hai đa thức P(x) và Q(x). Ta nói rằng P(x) chia hết cho Q(x) nếu tồn tại đa thức h(x) sao cho P(x) = h(x). Q(x). Khi đó đa thức Q(x) là ước của đa thức P(x).

4/ Hai đa thức P(x) và Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu P(x) và Q(x) không có ước chung bậc dương

5/ Cho k là một số nguyên dương. Số x0 được gọi là nghiệm bội k của đa thức P(x) nếu như đa thức P(x) chia hết cho đa thức (x – x0)k nhưng không chia hết cho đa thức (x – x0)k+1

6/ Đa thức nguyên thuỷ là đa thức với hệ số nguyên và các hệ số của nó là nguyên tố cùng nhau.

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC

Mệnh đề 1: Giả sử P(x) và Q(x) là hai đa thức tuỳ ý. Đặt h(x) = P(x) + Q(x). Khi đó h(x) cũng là đa thức và

deg h(x) = max{degP(x),degQ(x)} nếu degP(x) degQ(x)
deg h(x) max{degP(x),degQ(x)} nếu degP(x) = degQ(x)

Mệnh đề 2: Giả sử P(x) và Q(x) là hai đa thức tuỳ ý. Đặt h(x) = P(x).Q(x). Khi đó h(x) cũng là đa thức và nếu thì deg h(x) = degP(x) + degQ(x).

Mệnh đề 3: Giả sử P(x) = h(x).Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức với hệ số hữu tỉ và thì h(x) cũng là đa thức với hệ số hữu tỉ.

Mệnh đề 4: (Định lý Bezout) Số x0 là nghiệm của đa thức P(x)

Hệ quả 1: Mọi đa thức P(x) bậc n () không thể có quá n nghiệm.
Nếu đa thức P(x)Bậc không quá n lại có n + 1 nghiệm thì tất cả các hệ số của nó bằng 0.
Hệ quả 2: Nếu P(x) là đa thức mà lại là hàm tuần hoàn thì P(x) C, với C là hằng số nào đó

Mệnh đề 5: (Định lý Viete) Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 có các nghiệm x1, x2, …, xn. Khi đó ta có các đẳng thức sau:

Mệnh đề 6: (Định lý Viete đảo) Nếu như các số thực x1, x2, …, xn thoả mãn hệ:

Khi đó x1, x2, …, xn là n nghiệm của đa thức bậc n: P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0

Mệnh đề 7: (Định lý về nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên)

Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 là đa thức với hệ số nguyên, trong đó . Khi đó , nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) có dạng , trong đó r là ước của a0, s là ước của an và (r,s) =1

Hệ quả 2: Nếu đa thức P(x) = xn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 , trong đó ai nguyên. Khi đó nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) đều là số nguyên và là một trong các ước số của hệ số a0.
LƯỢC ĐỒ HORNER

1/ Tính giá trị của đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 khi x = ta dùng bảng Horner

	an	an-1	an-2	…	ak	…	a1	a0
	bn	bn-1	bn-2	…	bk	…	b1	b0

2/ Chia đa thức cho nhị thức bậc nhất x -

Nếu như trong bảng Horner b0 = 0 thì P() = 0 nên P(x) x -

CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Giả sử cho các số khác nhau b0, b1, …, bn và các giá trị tuỳ ý c0, c1, …, cn. Khi đó tồn tại duy nhất đa thức P(x) có bậc không vượt quá n thoả mãn các đẳng thức:

P(b0) = c0 ; P(b1) = c1 ; … ; P(bn) = cn

Đa thức này có dạng như sau:

ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

Định nghĩa: Giả sử P(x) là đa thức với các hệ số hữu tỉ. P(x) được gọi là bất khả quy trên Q nếu P(x) không biểu diễn được dưới dạng tích của hai đa thức bậc dương với các hệ số hữu tỉ.

Mệnh đề 8: Nếu P(x) là đa thức với các hệ số hữu tỉ thì nó có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Trong đó: là phân số tối giản
Q(x) là một đa thức nguyên thuỷ

Bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên thuỷ là một đa thức nguyên thuỷ.
Mệnh đề 9: Nếu đa thức P(x) với các hệ số nguyên có bậc degP(x) > 1 mà bất khả quy trên Z thì cũng bất khả quy trên Q.

Mệnh đề 10: Cho đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 với hệ số nguyên và n > 1. Giả sử tồn tại số nguyên tố p thoả mãn các điều kiện sau:

Nếu P(x) có thể biểu diễn được dưới dạng tích của hai đa thức với hệ số nguyên thì bậc của một trong hai đa thức đó không nhỏ hơn k + 1

Mệnh đề 11: (Định lý Eisenstein về tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên) Cho đa thức với hệ số nguyên P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 ,

Biết rằng tồn tại số nguyên tố p sao cho

Khi đó P(x) bất khả quy trên Q.

Mệnh đề 12: Giả sử Q(x) là một đa thức với hệ số hữu tỉ có bậc 1. Khi đó với mọi đa thức với hệ số hữu tỉ P(x) tồn tại duy nhất một cặp đa thức R(x), S(x) với hệ số hữu tỉ sao cho ta có biểu diễn sau: P(x) = R(x).Q(x) + S(x) và deg S(x) < degQ(x) nếu S(x)0

Mệnh đề 13: Cho đa thức P(x) 0 với hệ số hữu tỉ. Giả sử a là một nghiệm của P(x). nếu P(x) là bất khả quy trên Q thì P(x) là một đa thức có bậc nhỏ nhất với các hệ số hữu tỉ và có một nghiệm là a.

PHẦN III: CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH BẬC CỦA ĐA THỨC

THẦY CÔ TẢI NHÉ!