- Tham gia
- 28/1/21
- Bài viết
- 82,496
- Điểm
- 113
tác giả
TUYỂN CHỌN 55+ Sáng kiến kinh nghiệm môn toán thpt 2021,2022, 2023 GOM CŨ - MỚI CHỌN LỌC FILE WORD được soạn dưới dạng file word gồm các thư mục file trang. Các bạn xem và tải sáng kiến kinh nghiệm môn toán thpt 2021 về ở dưới.
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Đứng trước một bài toán ,đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt ra phương hướng giải quyết. Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm các cách giải quyểt khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì lại càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê học toán .
Hiện nay trong các đề thi THPT Quốc gia ,đề thi chọn học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận các lời giải đó thực tế cho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, nhất là học sinh có lực học trung bình, chẳng hạn bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp tọa độ tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa. Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2016 với nội dung “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian”
Mục đích nghiên cứu
Với việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian” sẽ giúp học sinh ,đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, kể cả trung bình có thể tính được các bài toán về khoảng cách một cách dễ dàng thông qua công thức có sẵn.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến này là học sinh ở mức độ đại trà lớp 12-THPT Trần Phú –Thanh Hóa. Tất nhiên với từng đối tượng học sinh mà sẽ có những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau
4. Phương pháp nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bầy theo hình thức tổng hợp lý thuyết sách giáo khoa , bài toán minh họa điển hình theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp và một số bài tập áp dụng .Qua đó mong muốn khai thác thêm được cái hay cái đẹp của toán học và đồng thời góp phần tăng thêm kỹ năng giải toán cho học sinh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi kiến thức được trình bày trong Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn và nâng cao (chương III), các ví dụ được tổng hợp từ các bài tập trong Sách giáo khoa và Sách bài tập, các bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp.
Các kí hiệu thường dùng trong sáng kiến:
+ VTPT: vectơ pháp tuyến, VTCP: vectơ chỉ phương
+ (XYZ): mặt phẳng qua 3 điểm X, Y, Z
+ d(X,(P)): khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng (P)
+ d((P),(Q)): khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q)
+ d(a,b): khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Các kiến thức cần nhớ
a.Khoảng cách giữa 2 điểm :
Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
b.Khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:
Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d)
Đường thẳng đi qua có VTCP thì khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:
c. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi côngthức
d.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
Đường thẳng (d) điqua M(x0;y0;z0);có VTCP
Đường thẳng (d’)qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP
Khi đó khoảng cách giiữa hai đưởng thẳng (d) và (d’) là :
ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng
Để “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian” ta có “Ba bước cơ bản” sau đây:
+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp
+ Xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Chuyển bài toán hình không gian tổng hợp về bài toán tương ứng trong không gian tọa độ và vận dụng các công thức thích hợp (chứng minh vuông góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…).
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Trong quá trình giảng dạy nhiều năm tại trường THPT Trần Phú –Thanh hóa là
một trường mới thành lập do đó có nhiều học sinh còn hạn chế về mặt tư duy đặc biệt là tư duy hình học . Khi dạy bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nhiều học sinh không làm được bài này.Khi chưa áp dụng sáng kiến chỉ có một số ít em làm được nhưng phải loay hoay với sự hỗ trợ của Thầy.Qua kiểm tra khảo sát hai lớp 12B và 12C tại trường THPT Trần Phú để đối chứng lớp 12B áp dụng sáng kiến và lớp 12C không áp dụng sáng kiến kết quả thu được như
sau :
Qua thực tế áp dụng ở trên để so sánh ta thấy việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy đã mang đến hiện quả rõ rệt, không những thế việc áp dụng sáng kiến còn tạo ra sự hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt tạo ra tư duy tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tập của các em . Sau những năm trực tiếp giảng dạy ôn thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng trước đây cũng như ôn thi THPT Quốc gia hiện nay và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ,học sinh dự thi học sinh giỏi trường , giỏi tỉnh tôi đã đi tìm tòi các cách giải phù hợp trong đó “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian” là những phương pháp như thế và tôi đã mạnh dạn cải tiến phương pháp này đồng thời áp dụng sáng kiến này trong các năm học từ 2005- 2006 đến nay ở trường THPT Trần Phú Thanh Hoá.
3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1 . Các ví dụ minh
Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 10 ví dụ điển hình và 8 bài tập áp dụng cho sáng kiến như sau
Ví dụ 1 . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 và I là tâm của ABCD. Gọi P là trung điểm của A’D’.Tính theo khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’.
Giải
Tương tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz sao cho:
OA, tia ABtia Ox, tia ADtia Oy,
tia AA’tia Oz.
Khi đó, ta có:
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1),
C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1).
Vì P lần lượt là trung điểm của A’D’ nên ,
P(0;;1) và I là tâm của ABCD
Ta có:
.
Mặt khác,
.
Nhận xét: Việc sử dụng phương pháp tọa độ vào việc giải bài toán ta có cách làm đơn giản dễ hiểu và có thể dùng cho mọi đối tượng học sinh.
Ví dụ kế tiếp ta chuyển sang một đối tượng hình không gian khác, đó hình chóp đặc biệt hình tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc nhau (gọi tắt là tam diện vuông) phương án tọa độ hóa còn hiệu quả hơn.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = , SC(ABC), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M, N lần lượt di động trên tia AS và CB sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t sao cho MN ngắn nhất;
Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Giải
Nhận xét: Tại vị trí điểm A hoặc điểm C ta nhận thấy đã có một cặp cạnh vuông góc (ABAC, CSCA, CSCB) nhưng chưa đạt đủ điều kiện cần thiết là phải có ba cạnh đôi một vuông góc cùng xuất phát từ một đỉnh, do đó ta dựng đường thẳng qua A và vuông góc với (ABC) (đường thẳng này song song với SC).
Khi đó, chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với
AO(0;0;0), B(;0;0),
C(0; ;0), S(0;
.
a). Tính độ dài đoạn MN theo a và t.
Tìm t sao cho MN ngắn nhất.
Theo giả thiết M thuộc tia AS và AM = t
Tương tự, N thuộc tia CB và CN = t
.
Vậy ta có .
Hơn nữa, , dấu đẳng thức xảy ra khi (thỏa 0 < t < 2a). Vậy .
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Khi MN ngắn nhất, ta có nên
Mặt khác
hay MN là đường vuông góc chung của SA và BC.
Nhận xét: Qua ví dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước. Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn. Ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
Tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với AO(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0. Khi đó
Do đó: (SCD) có VTPT là
hay (SCD): .
Đường thẳng SB có phương trình tham số là
.
.
Vậy .
Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là
. o
Nhận xét: Nếu so với cách tổng hợp trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải này rõ ràng và trực tiếp hơn, dễ hiểu hơn kể cả với học sinh học ở mức độ trung bình.
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD.
Vì hình chóp đã cho là hình chóp
đều nên SO(ABCD).
Ta chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa
độ,
tia OCtia Ox, tia ODtia Oy,
tia OStia Oz.
Khi đó ta có
O(0;0;0), A(;0;0), C(;0;0),
B(0;;0), D(0; ;0),
Stia Oz (x > 0).
E đối xứng với D qua trung điểm của SA
ADSE là hình bình hành
M là trung điểm của AE
N là trung điểm của BC
Mặt khác .
Lại có .
Mà . o
Nhận xét: Bài toán này có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy bằng việc kẻ thêm đường thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành bộ ba đường thẳng đôi một vuông góc tại đỉnh đó. Cái hay của việc tọa độ hóa ở lời giải chính là việc chọn biến x chưa biết đối với tọa độ điểm S, nhưng kết quả lại không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH(ABCD) và SH = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Giải
Để tính khoảng cách giữa haiđường thẳng DM và SC bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có CO(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0).
M là trung điểm AB
N là trung điểm AD
H
cùng phương và cùng
phương
và .
Vậy H()
Khi đó,
Mặt khác .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc (ABC). Biết SB = và .
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Giải
Ta có : SB = và .
Để ta tính khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (SAC) bằng phương pháp
tọa độ.
Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ,
tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz
là tia Bz song song và cùng hướng với
tia HS.
Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0),
S(0;3a.
mặt phẳng (SAC) có phương trình là
.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là
.
Nhận xét: Nếu so với cách tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC) thông qua khoảng cách từ điểm H thì cách trên là trực tiếp, dễ định hướng hơn và dễ thực hiện hơn.
Ví dụ 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc . Tính khoảng từ điểm D đến mặt phẳng (ACM) theo a.
Giải:
THẦY CÔ TẢI NHÉ!
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Đứng trước một bài toán ,đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt ra phương hướng giải quyết. Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm các cách giải quyểt khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì lại càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê học toán .
Hiện nay trong các đề thi THPT Quốc gia ,đề thi chọn học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận các lời giải đó thực tế cho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, nhất là học sinh có lực học trung bình, chẳng hạn bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp tọa độ tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa. Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2016 với nội dung “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian”
Mục đích nghiên cứu
Với việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian” sẽ giúp học sinh ,đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, kể cả trung bình có thể tính được các bài toán về khoảng cách một cách dễ dàng thông qua công thức có sẵn.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến này là học sinh ở mức độ đại trà lớp 12-THPT Trần Phú –Thanh Hóa. Tất nhiên với từng đối tượng học sinh mà sẽ có những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau
4. Phương pháp nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bầy theo hình thức tổng hợp lý thuyết sách giáo khoa , bài toán minh họa điển hình theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp và một số bài tập áp dụng .Qua đó mong muốn khai thác thêm được cái hay cái đẹp của toán học và đồng thời góp phần tăng thêm kỹ năng giải toán cho học sinh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi kiến thức được trình bày trong Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn và nâng cao (chương III), các ví dụ được tổng hợp từ các bài tập trong Sách giáo khoa và Sách bài tập, các bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp.
Các kí hiệu thường dùng trong sáng kiến:
+ VTPT: vectơ pháp tuyến, VTCP: vectơ chỉ phương
+ (XYZ): mặt phẳng qua 3 điểm X, Y, Z
+ d(X,(P)): khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng (P)
+ d((P),(Q)): khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q)
+ d(a,b): khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Các kiến thức cần nhớ
a.Khoảng cách giữa 2 điểm :
Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
b.Khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:
Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d)
Đường thẳng đi qua có VTCP thì khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:
c. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi côngthức
d.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
Đường thẳng (d) điqua M(x0;y0;z0);có VTCP
Đường thẳng (d’)qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP
Khi đó khoảng cách giiữa hai đưởng thẳng (d) và (d’) là :
ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng
Để “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian” ta có “Ba bước cơ bản” sau đây:
+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp
+ Xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Chuyển bài toán hình không gian tổng hợp về bài toán tương ứng trong không gian tọa độ và vận dụng các công thức thích hợp (chứng minh vuông góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…).
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Trong quá trình giảng dạy nhiều năm tại trường THPT Trần Phú –Thanh hóa là
một trường mới thành lập do đó có nhiều học sinh còn hạn chế về mặt tư duy đặc biệt là tư duy hình học . Khi dạy bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nhiều học sinh không làm được bài này.Khi chưa áp dụng sáng kiến chỉ có một số ít em làm được nhưng phải loay hoay với sự hỗ trợ của Thầy.Qua kiểm tra khảo sát hai lớp 12B và 12C tại trường THPT Trần Phú để đối chứng lớp 12B áp dụng sáng kiến và lớp 12C không áp dụng sáng kiến kết quả thu được như
sau :
Thời gian và kết quả thực nghiệm
Thứ ngày | Môn/Lớp | Sĩ số | Số học sinh không giải được bài toán | Số học sinh giải được bài toán |
Thứ tư ngày 9/3/2016 | Toán – 12C | 43 | 36 | 7 |
Thứ sáu ngày 11/3/2016 | Toán – 12B | 44 | 12 | 32 |
Qua thực tế áp dụng ở trên để so sánh ta thấy việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy đã mang đến hiện quả rõ rệt, không những thế việc áp dụng sáng kiến còn tạo ra sự hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt tạo ra tư duy tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tập của các em . Sau những năm trực tiếp giảng dạy ôn thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng trước đây cũng như ôn thi THPT Quốc gia hiện nay và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ,học sinh dự thi học sinh giỏi trường , giỏi tỉnh tôi đã đi tìm tòi các cách giải phù hợp trong đó “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian” là những phương pháp như thế và tôi đã mạnh dạn cải tiến phương pháp này đồng thời áp dụng sáng kiến này trong các năm học từ 2005- 2006 đến nay ở trường THPT Trần Phú Thanh Hoá.
3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1 . Các ví dụ minh
Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 10 ví dụ điển hình và 8 bài tập áp dụng cho sáng kiến như sau
Ví dụ 1 . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 và I là tâm của ABCD. Gọi P là trung điểm của A’D’.Tính theo khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’.
Giải
Tương tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz sao cho:
OA, tia ABtia Ox, tia ADtia Oy,
tia AA’tia Oz.
Khi đó, ta có:
|
C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1).
|
Ta có:
|
Mặt khác,
.
Nhận xét: Việc sử dụng phương pháp tọa độ vào việc giải bài toán ta có cách làm đơn giản dễ hiểu và có thể dùng cho mọi đối tượng học sinh.
Ví dụ kế tiếp ta chuyển sang một đối tượng hình không gian khác, đó hình chóp đặc biệt hình tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc nhau (gọi tắt là tam diện vuông) phương án tọa độ hóa còn hiệu quả hơn.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = , SC(ABC), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M, N lần lượt di động trên tia AS và CB sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t sao cho MN ngắn nhất;
Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Giải
Nhận xét: Tại vị trí điểm A hoặc điểm C ta nhận thấy đã có một cặp cạnh vuông góc (ABAC, CSCA, CSCB) nhưng chưa đạt đủ điều kiện cần thiết là phải có ba cạnh đôi một vuông góc cùng xuất phát từ một đỉnh, do đó ta dựng đường thẳng qua A và vuông góc với (ABC) (đường thẳng này song song với SC).
Khi đó, chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với
AO(0;0;0), B(;0;0),
C(0; ;0), S(0;
.a). Tính độ dài đoạn MN theo a và t.
Tìm t sao cho MN ngắn nhất.
Theo giả thiết M thuộc tia AS và AM = t
Tương tự, N thuộc tia CB và CN = t
.
Vậy ta có .
Hơn nữa, , dấu đẳng thức xảy ra khi (thỏa 0 < t < 2a). Vậy .
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Khi MN ngắn nhất, ta có nên
Mặt khác
hay MN là đường vuông góc chung của SA và BC.
Nhận xét: Qua ví dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước. Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn. Ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
Tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với AO(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0
. Khi đó Do đó: (SCD) có VTPT là
hay (SCD): .
Đường thẳng SB có phương trình tham số là
.
.
Vậy .
Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là
. o
Nhận xét: Nếu so với cách tổng hợp trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải này rõ ràng và trực tiếp hơn, dễ hiểu hơn kể cả với học sinh học ở mức độ trung bình.
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD.
Vì hình chóp đã cho là hình chóp
đều nên SO(ABCD).
Ta chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa
độ,
tia OCtia Ox, tia ODtia Oy,
tia OStia Oz.
Khi đó ta có
O(0;0;0), A(;0;0), C(;0;0),
B(0;;0), D(0; ;0),
Stia Oz (x > 0).
E đối xứng với D qua trung điểm của SA
ADSE là hình bình hành
M là trung điểm của AE
N là trung điểm của BC
Mặt khác .
Lại có .
Mà . o
Nhận xét: Bài toán này có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy bằng việc kẻ thêm đường thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành bộ ba đường thẳng đôi một vuông góc tại đỉnh đó. Cái hay của việc tọa độ hóa ở lời giải chính là việc chọn biến x chưa biết đối với tọa độ điểm S, nhưng kết quả lại không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH(ABCD) và SH = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Giải
Để tính khoảng cách giữa haiđường thẳng DM và SC bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có CO(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0).
M là trung điểm AB
N là trung điểm AD
H
cùng phương và cùng
phương
và .
Vậy H()
Khi đó,
Mặt khác .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc (ABC). Biết SB = và .
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Giải
Ta có : SB = và .
Để ta tính khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (SAC) bằng phương pháp
tọa độ.
Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ,
tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz
là tia Bz song song và cùng hướng với
tia HS.
Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0),
S(0;3a
.mặt phẳng (SAC) có phương trình là
.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là
.
Nhận xét: Nếu so với cách tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC) thông qua khoảng cách từ điểm H thì cách trên là trực tiếp, dễ định hướng hơn và dễ thực hiện hơn.
Ví dụ 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc . Tính khoảng từ điểm D đến mặt phẳng (ACM) theo a.
Giải:
THẦY CÔ TẢI NHÉ!
CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN
CHỦ ĐỀ QUAN TÂM
CHỦ ĐỀ MỚI NHẤT
