BỘ KHO Các đề thi học sinh giỏi toán thcs, THPT CÓ ĐÁP ÁN CẤP QUỐC GIA TUYỂN TẬP

[Yopovn]

BỘ KHO Các đề thi học sinh giỏi toán thcs, THPT CÓ ĐÁP ÁN CẤP QUỐC GIA TUYỂN TẬP được soạn dưới dạng file word gồm các file, thư mục zip trang. Các bạn xem và tải các đề thi học sinh giỏi toán thcs, các đề thi học sinh giỏi toán thpt/...về ở dưới.

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 10 VÀ 11

CHỦ ĐỀ 01. BẤT ĐẲNG THỨC​

Bài 1.

1. Cho x,y là các số thực dương sao cho 2x + y và 2y + x khác 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2. Cho a , b, c, > 0 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng

(THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)​

Lời giải​

1. Ta sẽ chứng minh :



(đúng).

Chứng minh tương tự ta được: . Vậy GTNN của P là -1 khi hoặc

2. Theo BĐT Cauchy-Schwartz thì

Một điều luôn đúng vì và . Vậy BĐT được chứng minh, Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c = 1.

Đặt ab + bc + ca = x , abc = y . BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta chứng minh được

Bài 2

Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức đúng với mọi số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x + y + x = 3.

(Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp.HCM)​

Lời giải​

Dễ dàng tìm được các bộ số để BĐT không đúng với k = 1 và k =2.

Nhận xét rằng nếu BĐT đúng với k = 3 thì BĐT sẽ đúng với mọi k > 3 vì Điều này gợi ý cho ta chứng minh rằng k = 3 là số nhỏ nhất cần tìm, bằng cách chứng minh.

(1.1)

Thật vậy, giả sử z là số nhỏ nhất trong ba số x , y , z suy ra .Ta có



Khi đó:

(1.2)

Để ý rằng:

Đồng thời:

Nên (1.2) đúng, và BĐT ban đầu được chứng minh. Vậy k =3 là số nguyên dương nhỏ nhất để BĐT ban đầu đúng. Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.

Bài 3.

Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a, b, c

(THPT chuyên Đại học Vinh)​

Lời giải​

Không mất tính tổng quát giả sử Khi đó

Như vậy, ta sẽ tìm k sao cho :

Cho c = 0, a = 2b ta được Ta sẽ chứng minh với mọi

Ta có nên BĐT đầu tiên đúng . Đồng thời nên BĐT thứ hai cũng đúng.

Bài 4

1. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh bất đẳng thức



2. Cho x , y, z không âm và thỏa . Chứng minh bất đẳng thức

(Bà Rịa – Vũng Tàu)​

Lời giải​

Trước hết xin phát biểu không chứng minh một bổ bề quen thuộc.

Bổ đề 1. Co x, y, z > 0. Khi đó

Trở lại bài toán.

1. Theo bất đẳng thức AM-GM , ta có

THẦY CÔ TẢI NHÉ!