Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11 THEO CHUYÊN ĐỀ CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Yopovn · 12/10/23

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11 THEO CHUYÊN ĐỀ CHƯƠNG TRÌNH MỚI được soạn dưới dạng file word gồm các thư mục file trang. Các bạn xem và tải tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11 về ở dưới.
III. HỆ PHƯƠNG TRINH

1. Không có tham số

Dạng 1: Biến đổi tương đương

Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải

Điều kiện: .

Phương trình (3) .

(vì (1;1) không thỏa phương trình(2))

Thay vào phương trình (2), ta được :
.

Vậy .

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

Hướng dẫn giải

Đặt .

Điều kiện:

Thay vào (2) ta được:

Phương trình (*) vô nghiệm do: .

Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình.

Giải hệ phương trình:
Giải hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình:

Lời giải

Điều kiện: .

- Ta có (1).

Xét hàm số , suy ra hàm số g(t) đồng biến trên khoảng . Kết hợp với (1) ta có

- Thế (2) vào phương trình còn lại của hệ đã cho ta được:

Xét hàm số

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng , từ đó phương trình ( 3) có nghiệm duy nhất, suy ra .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Giải hệ phương trình:

Điều kiện :

Thế vào pt đầu ta được

Giải hpt

Điều kiện x ≥

Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0.

Ta có

Thay vào phương trình thứ hai ta được

Đặt t = ta được t4 – 3t – 10 = 0 Û t = 2

Từ đó tìm được

Tìm tất cả các số thực thỏa hệ:.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh nếu các số thỏa mãn hai điều kiện đầu thì

Thay ,ta chứng minh

với
Ta có

Do đó nghịch biến trên hơn nữa nên nhận giá trị dương trên và âm trên Suy ra với mọi
Từ đó,hệ phương trình có nghiệm
Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải

ĐK:
Từ (2) suy ra:

Do y0 phương trình (1) tương đương với

.Đặt
* Xét

hương trình (1')trở thành:.

Nhân liên hợp của mẫu số đưa về phương trình: được nghiệm

+ suy ra không thoả mãn loại.

+ .Thế vào (2') được

* Xét

hương trình trở thành:.Phương trình này có nghiệm u=0 suy ra x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán).

Vậy hệ đã cho có một nghiệm

Giải hệ phương trình : .

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thế vào (2) ta có :

Vậy nghiệm của hệ PT là: và .

Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải

Điều kiện : .

Thế vào pt đầu ta được :

Giải hệ phương trình:

(Chưa giải)

Giải hệ phương trình:

(Chưa giải)

Giải hệ phương trình:

(Chưa giải)

Giải hệ phương trình:

(Chưa giải)

Giải các hệ phương trình

a) b)

(Chưa giải)

Giải các hệ phương trình:
a) b) c)

(Chưa giải)

(Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đầu của hệ ta có

Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có nên (*) vô nghiệm.

Do đó hệ phương trình tương đương với

Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là
(Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

(1) .
Thay vào (2) ta có phương trình
Xét thỏa mãn (3), suy ra

Xét : (3)

Kết hợp (3) và (4) ta được
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải

Điều kiện: . Đặt với
HPT Û Û Û

Û ÛÛ Û (thỏa).

Kết luận: nghiệm hệ phương trình là .

Giải hệ phương trình:

Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho,

ta xét các giá trị , chia hai vế của PT thứ nhất cho ta được

Đặt ta có hệ phương trình

Với ta có (*)

Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)

Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)

Hệ phương trình tương đương với
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm

+ Với , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có

Đặt
Khi đó ta có hệ phương trình

Do đó
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2)

Giải hệ phương trình:
Điều kiện . Viết lại hệ dưới dạng:

Đặt
Hệ phương trình trở thành :
hay
.

Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của hệ là:

Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Đặt

Xét với

t	- ¥ -2 2 +¥
f’(t)	+	+ 0 - 0 +	+
f(t)	-11		+¥ 1

.

vô nghiệm .

.

, đk: .

Ta có : .

Do (t/m).

Giải hệ phương trình :

Hướng dẫn giải

+) Đặt
+) Đưa về hệ:

Giải hệ (I) ta được
Hệ (II) vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm .

[Đề xuất, Chyên Lào Cai, DHDDBBB, 2015] Giải hệ phương trình:
Lời giải

Hệ phương trình tương đương với
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm

+ Với , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có

Đặt
Khi đó ta có hệ phương trình

Do đó
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2)

[Đề thi hsg Ngô Gia Tự, Vp, 2012-2013] Giải hệ phương trình:
Lời giải
Đặt : khi đó ta có hpt : .
[Đề xuất, Chuyên Thái Bình, DHĐBBB,2015] Giải hệ phương trình sau:

Lời giải

ĐKXĐ:
Từ (1) ta được:

Trường hợp đầu suy ra x=y=0 nhưng ko là nghiệm của hệ2

Do vậy ta được: x2 = y + 1 (1 điểm).

Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay

Dễ thấy nên trường hợp thứ ba bị loại.

Hai trường hợp đầu ta tính được x=-1/2

KL: Hệ có một nghiệm x=-1/2; y=-3/4

Giải hệ phương trình sau:

;

Hướng dẫn giải

Điều kiện:.

Đặt ().Hệ phương trình đã cho trở thành

Nhận xét:; .Do đó là một nghiệm của hệ.

Bây giờ ta xét .Đặt .Với cách đặt này thì

Phương trình (1)trở thành:

(3)

Phương trình (2)trở thành:

(4)

Thay (3)vào (4)ta được: (5)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5)ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .Khi đó hay .

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là .

Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện:
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được:

Chia cả hai vế của PT cho ,ta được:
+ Đặt ta có phương trình:

Với thì
Với suy ra thay vào PT (1):
Kết luận:Nghiệm của hệ phương trình là:
Giải hệ phương trình:.

Hướng dẫn giải

Giải hệ phương trình:
Vì không thỏa hệ pt nên
Đặt thì .

Từ (2):
Vậy .Thay vào (3):
Vậy .

Vì nên .

Vậy .

Vì nên .

Vậy hệ có nghiệm: trong đó

Giải hệ phương trình:

(Chưa giải)

(Chuyên Vĩnh Phúc 2010 – 2011) Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải

+) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm
+) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được
+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn

+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay vào (1) ta có . Do đó nghiệm của hệ là
(Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình, năm 2013) Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Điều kiện ; ;

Từ phương trình thứ nhất suy ra và cùng dấu mà nên . Ta có

từ phương trình thứ nhất suy ra không thỏa mãn pt thứ 2 nên
Thay vào phương trình thứ hai ta được
Đặt ta được .Từ đó tìm được
Giải hệ phương trình

Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải:
(I)
* Đặt . Ta có (II)
Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất
* Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm duy nhất
Vì là nghiệm của (II) nên cũng là nghiệm của (II)
Do đó để (II) có nghiệm duy nhất thì
Với ta có :
* Điều kiện đủ :
Với . Ta có
* Vì , Dấu = xảy ra nên ( Thỏa mãn (2 ))
Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất .
* Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất .
Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải:
Ta có:
+) Điều kiện :
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta có:

Chia cả hai vế của PT cho , ta có:
+ Đặt ta có phương trình:

Với thì
Với suy ra thay vào PT (1):
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ:
Từ (1) ta được:
Trường hợp đầu suy ra nhưng ko là nghiệm của hệ2
Do vậy ta được:
Thay vào phương trình (2) ta được: (*)
Đặt
Thay vào (*) ta được
Dễ thấy nên trường hợp thứ ba bị loại.
Hai trường hợp đầu ta tính được
KL: Hệ có một nghiệm .
Giải hệ:

Hướng dẫn giải:
Điều kiện:

Kết hợp với (1) ta được:
Cộng (3) và (4) ta được y = -x, thế vào (2) ta được:
Đặt , phương trình (5) trở thành

Với ta được
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = ; (x,y) = (1;-1)

Dạng 3: Sử dụng hàm số
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải
Đặt .

với .
.
Suy ra f(t) đồng biến trên . Do đó:
Thế vào phương trình (3) ta được:
.
Đặt .
Phương trình trở thành:
- Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: .
- Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Xét các hàm số trên .
- Khi đó ta có .
- Mà là các hàm số liên tục trên suy ra đồng biến trên và nghịch biến trên .
- Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó ta có:
Nếu
suy ra , vô lí vì .
- Do vậy , tương tự lí luận như trên ta được suy ra .
- Thay trở lại hệ ta được (1).
- Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm
Mà là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
- Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
- Giải hệ phương trình :
- Hướng dẫn giải
Ta có : .
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1.
Do đó .
Ta có .
Vậy hệ có 2 nghiệm : .

Giải hệ phương trình:

Lời giải.
Phương trình (2) .
Xét hàm số ,
ta có: do đó hàm số đồng biến trên .
từ (2) ta suy ra . Vây
Thay vào (1) ta được:

(3)
Xét hàm số: , (a>0)

Vậy hàm là hàm đồng biến trên khoảng (0, ), do đó:

Kết hợp điều kiện ta nhận được suy ra
Vậy hệ phương trình có nghiệm

Giải hbpt (x > 3).
(2 đ) Đặt y = 2004. Do x > 0, y > 0 nên ta được:
Û x2y + xy > y2x + yx Û x2y – y2x + xy – yx >0 Û (xy – yx)(xy + yx + 1) > 0
Û xy – yx > 0 Û xy > yx ( do xy + yx + 1 > 0).
(1.5 đ) xy > yx Û ln(xy) > ln(yx) Û ylnx > xlny Û . Vậy: (3).
Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: (4).
Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: (5).
(1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = , y’=<0, "x > 3.
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +¥), do đó: tương đương với
2003 < x < 2004.

Giải hệ phương trình:
Giải:
Ta có

Thế vào

Xét trên

đồng biến trên
Từ và

Giải hệ phương trình .

(Chuyên Bắc Giang)
Lời giải
Điều kiện xác định: .
Phương trình tương đương với phương trình:

Thế vào ta được:

.
Ta có hai trường hợp:
* TH 1: Nếu thì .
Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn.
* TH 2: Nếu thì ta có phương trình

(vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .

Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải

(1)
ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0
(1)
Thay vào (2): (3)
Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R
(3)
NX: x >1 không là nghiệm của phương trình
Xét 01: Đặt x = cos với Ta có: (k) Do
Vậy hệ có nghiệm
- [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm):
- Giải hệ phương trình sau trên tập số thực
- Lời giải
- Điều kiện
Đặt
Phương trình (2) tương đương với

Ta có đồng biến trên nên

Suy ra
Xét phương trình (1) tương đương với

Xét ta có hàm số g(x) đồng biến.
Xét ta có hàm số g(y+1) nghịch biến
Ta có nên
nên
Mặt khác g(x) liên tục trên (0 ; + nên
Khi đó
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 2 ; 3)
- [Đề dữ liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình:
- Lời giải
- Điều kiện: Ta có
Đặt ta có phương trình (*)
Xét hàm số với
Ta có
Nên hàm số nghịch biến trên
Mà suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Với ta có

Xét hàm số với ta có
đồng biến trên
Do đó phương trình có dạng

Với ta có (thỏa mãn điều kiện )
Vậy hệ có nghiệm

Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải
+ ĐK:
+ Biến đổi được:

+ Thế vào ta được:
Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
▪
▪
Suy ra .Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Vậy nghiệm cần tìm là

Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải
(1)
Xét hàm số trên ;

+ 0 -

Từ bảng biến thiên, ta có
Do đó
Thế vào phương trình (2) ta được:
(4)
Điều kiện xác định của (4) là: Với đk (*), ta có:

(tm (*)) ( Vì
Với (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Giải hệ phương trình :

Hướng dẫn giải
Ta có : .
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1.
Do đó
Ta có
Vậy hệ có 2 nghiệm :

Giải hệ phương trình :

Hướng dẫn giải
+) y = 0 không thỏa mãn
+) y ≠ 0, hệ pt Û
Đặt t =, hệ phương trình trở thành
+) Từ hai phương trình trên suy ra
x3 + 3x2 + 6x + 4 = t3 + 3t Û (x +1)3 + 3(x +1) = t3 + 3t (3)
Xét hàm f(t) = t3 + 3t đồng biến trên . Phương trình (3) tương đương x+ 1 = t.
Thay vào phương trình (2) và giải phương trình được x = 1, y = .
Nghiệm của hpt là (1; ).

(Olimpic Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình :

Hướng dẫn giải
Hệ phương trình :
Ta có :

Tương tự :

Ta có :
Xét hàm số với, ta có : nên hàm số f(x) đồng biến trên , suy ra
Xét hàm số với, ta có : nên hàm số g đồng biến trên , suy ra
Suy ra :
Do đó phương trình
Vì không thoả mãn phương trình thứ 2 của hệ nên hệ đã cho vô nghiệm .
(Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải
Điều kiện

Xét hàm số liên tục trên có

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên
Khi đó
Thay y vào phương trình đầu ta được
- Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải
Trừ vế với vế của 2 phương trình (1), (2) ta có:

Đưa về xét hàm số: có

là hàm số đồng biến trên R, lại có
,

(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam 2014) Giải hệ phương trình sau :

Hướng dẫn giải
§ Điều kiện : (*)
§ Với điều kiện (*), phương trình (1) tương đương : (3)
Xét hàm số :

liên tục , suy ra là hàm số luôn đồng biến trên
Khi đó : pt(3)
§ Thay vào phương trình (2), ta được :
với

; vì :
Với suy ra
Với suy ra
Thử lại ta thấy cả hai đều thỏa điều kiện (*)
§ Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : ,
Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có:
Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm
- Giải hệ phương trình:
- Giải hệ phương trình
Giải hệ phương trình sau trên R:

Hướng dẫn giải:
Cộng hai phương trình vế theo vế thu được phương trình
Xét hàm số với
Ta có nên hàm số đồng biến
nên từ
từ đó thay vào giải ra được hoặc .
Tìm tất cả các số thực thỏa hệ: .

Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh nếu các số thỏa mãn hai điều kiện đầu thì

Thay , ta chứng minh: với
Ta có

Do đó nghịch biến trên hơn nữa nên nhận giá trị dương trên và âm trên Suy ra với mọi
Từ đó, hệ phương trình có nghiệm
Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải:
+) không thỏa mãn hệ.
+) Xét , hệ tương đương
Cộng vế với vế ta được
Xét hàm số:
Do đó là hàm số đồng biến trên , suy ra
Thế vào (1), kết hợp , ta được
Do đó là nghiệm của hệ.
Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
Ta biến đổi phương trình thứ hai tương đương với:

Nhận thấy hàm số đồng biến trên khoảng
nên ta có
Thế vào phương trình đầu ta có cặp nghiệm duy nhất của hệ phương trình là và

Dạng 4: Đánh giá
Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh hệ có nghiệm duy nhất.
Giả sử (*) khi đó

Với ta có

Với ta có

Suy ra mâu thuẫn (*).
Tương tự giả sử ta cũng dẫn đến điều vô lý.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Nếu hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm.
Nếu (x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn.
Do đó x > 0, y > 0.
Vì nên từ phương trình (1) suy ra

Mặt khác, ta có . (4)
Ta chứng minh rằng: .
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương

(6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5)
Từ (4) và (5) suy ra:
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng , ta được:
(7)
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1).
Giải hệ phương trình sau:

Lời giải.
ĐK: Đặt

Nhận xét: từ (2) ta có:
Ta có:
Do đó, từ (1) suy ra:
Ta có:
Do đó, từ (2) suy ra:
Từ (3) và (4) suy ra: .
Thay vào hệ ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Giải hệ phương trình:

Lời giải
+) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm.
+) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được

+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn
+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay vào (1) ta có . Do đó nghiệm của hệ là

Giải hệ phương trình sau:

Lời giải
Đặt , phương trình (1) trở thành:
(Sử dụng tính chất đơn điệu)

Thế (3) vào (2) ta được:

Đặt Phương trình (4) trở thành:
(5)
Áp dụng bđt AM – GM ta có:
Từ (5) ta có:
Từ đó . Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Giải hệ phương trình :

()
Lời giải
Đặt :
Ta có : ,suy ra :
Xét vế trái của phương trình (2)
, suy ra
là hàm số đồng biến trên (1;2) , suy ra : ,suy ra VT =
Dấu bằng xẩy ra khi , suy ra : hoặc .

Giải hệ phương trình sau:

;
Lời giải
Điều kiện: .
Đặt (). Hệ phương trình đã cho trở thành

Nhận xét: ; . Do đó là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét . Đặt . Với cách đặt này thì
Phương trình (1) trở thành: (3)
Phương trình (2) trở thành: (4)
Thay (3) vào (4) ta được: (5)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5) ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Khi đó hay .
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là .

Giải hệ phương trình

Bài giải
Điều kiện
Nếu hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu (x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn. Do đó x > 0, y > 0. 1.0 đ
Vì nên từ phương trình (1) suy ra
1.0 đ
Mặt khác, ta có . (4)
Ta chứng minh rằng: . 1.0 đ
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương

(6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5)
Từ (4) và (5) suy ra:
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng , ta được:
(7)
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1)
- Giải hệ phương trình: ().
- Hướng dẫn giải
- Điều kiện: , ; ; .
+) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có:
=
=
Suy ra: 3 + +
Vì vậy, ta phải có: .
Vậy phương trình đầu tương đương với x = y.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
+ (*).
Do + nên ta phải có: ( do).
Khi đó phương trình (*) tương đương với:

.

ó .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

[Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệ phương trình sau:

Lời giải
Điều kiện
Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được

Thế y=8-x vào phương trình trên ta được

(1)
Trong hệ trục tọa độ xét ;
Khi đó ||.||=
.=
Pt (1) tương đương với ||.||=.(2)
Ta có ||.||.
Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc hoặc (không xảy ra) hoặc cùng hướng suy ra x=4.
KL: Nghiệm của hệ là (4;4)

[Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệ phương trình :
1/
2/
[Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệ phương trình

Lời giải
Điều kiện :
Ta có : ( dấu = xảy ra khi xy =)
Do đó từ (1) (3) Từ (2) và (3) ta suy ra :

(4)
Ta lại có
Do đó (4) hoặc hoặc
Thử lại ta thấy chỉ có là nghiệm của hpt.0,5

Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải
Đặt
Hệ trở thành:
Ta có với mọi nên hàm đồng biến.
Giả sử thì hay suy ra
Hay
Do nên từ (*)ta có
Lại theo giả sử ở trên, nên .Thế vào hệ phương trình ban đầu ta được
Thử lại thấy là nghiệm.
Kết luận:Hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Giải hệ phương trình :

(Chưa giải)

2. Có tham số
Tìm m để hpt sau có nghiệm thực:

Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Phương trình (4) .
Xét hàm số , với .
.
f(t) là hàm số nghịch biến trên (vì nó liên tục trên đoạn này).
Suy ra: .
Thay vào phương trình (5) ta được: .
Đặt , . Ta có phương trình: g(u) =
.
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm .

Tìm để hpt có nghiệm

Do đó hệ có nghiệm khi chỉ khi phương trình:f(x) = x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trong [m;+¥) (*)
f(x) = 0 có D = 4m + 17 nên f(x) = 0 có nghiệm .
Do đó: (*)

Một số cách giải khác:
Cách 2:
Hệ (I) có nghiệm Û x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trên [-2;2].
Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – 4 trên [-2;2], và đường thẳng y = m suy ra kết quả.
Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai....

Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm .

Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương
.
Do đó và là nghiệm của phương trình

Để hệ trên có nghiệm khi phương trình (*) có 2 nghiệm không âm
.

Đặt

Tìm m để hệ: có nghiệm.

Hướng dẫn giải
+) Đặt
+) Đưa về hệ:
+) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm
Ta xét hệ có nghiệm hay ko
Biến đổi hệ (**) trở thành:
+) Xét hệ (I): u=v ta được 2v2+v+2-m=0 có với PT luôn có nghiệm hệ có nghiệm u=v=v0 suy ra hệ ban đầu có x=y=vo2+1
+) Xét hệ (II): ……….
Tìm tham số để hệ sau có nghiệm:.

Lời giải

Do (2)nên và là hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 4 số dương ta được:

Do đó (1)chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3)tức là:
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi và nghiệm của hệ là:
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để cho hệ phương trình sau có nghiệm:

Hướng dẫn giải
+ Đặt:
Ta đ ược:; ; .
Do đó ta có hệ .
+ Chú ý:
Do đó:Hệ đã cho có nghiệm thì:

Suy ra:.
+ Xét .Ta có hệ:
Từ (1)có thể đặt ,thay vào (2)và (3)ta có:.
Do đó ta có hệ:với .
+ Từ đó:Đáp số của bài toán là
a/ Tìm sao cho hệ có nghiệm.
b/ Với p tìm được ở câu a/, hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng: với ai > 0 và .

Hướng dẫn giải
Câu a
Do:.
Khi đó:.Vậy hệ có nghiệm.
Chọn và có nghiệm.Nên là nghiệm của hệ.
có nghiệm.Nên là nghiệm của hệ.
Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi
Câu b
Ta có:.
Xét hàm: Ta có:.
Do đó: Dấu đẳng thức xảy ra khi:
vì .Dấu đẳng thức xảy ra khi , liên tục trên (0;1).Khi thì .Vậy ,tập giá trị là:
Chọn .Thỏa giả thiết:
liên tục trên ; .Vậy tập giá trị là:.
Chọn thỏa giả thiết: với ; liên tục trên ; .Tập giá trị là: .
- Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
- (Chưa giải)
- Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
- .
- (Chưa giải)
(THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Tìm các giá trị của để hệ phương trình sau có nghiệm sao cho

Hướng dẫn giải
Đặt hệ trở thành
Từ hệ suy ra khi đó là nghiệm của phương trình:
.
Do nên .
Bài toán trở thành tìm để phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng.
Đặt phương trình (*) trở thành: .
Để pt (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 pt (**) có hai nghiệm không âm
- Giải được: .
- Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm: