MÔN TOÁN BỘ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 THEO CHUYÊN ĐỀ MỚI NHẤT

[Yopovn]

BỘ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 THEO CHUYÊN ĐỀ MỚI NHẤT được soạn dưới dạng file word gồm CÁC FILE trang. Các bạn xem và tải tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 về ở dưới.

Chuyên đề 1 - Tính đơn điệu và cực trị​

1. Kiến thức trọng tâm​

Định lý Lagrange: Cho f là một hàm liên tục trên , có đạo hàm trên . Lúc đó tồn tại để:

hay

​

Định lý Rolle: Cho f là một hàm liên tục trên , có đạo hàm trên và . Lúc đó tồn tại để .

Định lý Cauchy: Cho f và g là hai hàm liên tục trên , có đạo hàm trên và tại mỗi .

Lúc đó tồn tại để .

Tính đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng khi đó:

- Nếu f đồng biến trên thì với mọi .

- Nếu f nghịch biến trên thì với mọi .

- Nếu với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm của thì hàm số đồng biến trên khoảng .

- Nếu với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm của thì hàm số nghịch biến trên khoảng .

- Nếu f đồng biến trên khoảng và liên tục trên thì đồng biến trên ; và liên tục trên thì đồng biến trên ; liên tục trên thì đồng biến trên .

- Nếu f nghịch biến trên và liên tục trên thì nghịch biến trên ; liên tục trên thì nghịch biến trên ; liên tục trên thì nghịch biến trên .

- Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên D.

Cực trị của hàm số

Cho hàm số f xác định trên tập hợp D và .

được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và , .

được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và .

​

Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên . Nếu f đạt cực trị tại điểm thì .

- Cho liên tục trên khoảng chứa có đạo hàm trên các khoảng và :

Nếu đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại

Nếu đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại

- Cho có đạo hàm cấp hai trên khoảng chứa

Nếu và thì f đạt cực tiểu tại

Nếu và thì f đạt cực đại tại

Ứng dụng vào phương trình

- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình có tối đa 1 nghiệm. Nếu , a thuộc K thì là nghiệm duy nhất của phương trình .

- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì là hàm đơn điệu nên phương trình có tối đa 2 nghiệm trên K. Nếu và với thì phương trình chỉ có 2 nghiệm là và .

- Nếu f là một hàm liên tục trên , có đạo hàm trên thì phương trình có ít nhất một nghiệm .

Đặc biệt, nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm hay giữa hai nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm .

Chú ý:

1) Tung độ cực trị tại :

Hàm đa thức:

Hàm hữu tỉ:

Đặc biệt: Với hàm bậc 3 có CĐ, CT và nếu thì phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là .

2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: .

Nếu hay thì chỉ có 1 nghiệm.

Nếu có 2 nghiệm phân biệt và:

Với : phương trình chỉ có 1 nghiệm

Với : phương trình có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

Với : phương trình có 3 nghiệm phân biệt

2. Các bài toán​

Bài toán 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi

a)

b)

Hướng dẫn giải​

a)





, với mọi x.

Do đó f hằng trên R nên .

b) Đạo hàm theo biến x (a là hằng số).



.

Do đó f hằng trên R nên .

Bài toán 1.2: Cho 2 đa thức và thỏa mãn: với mọi x và . Chứng minh: .

Hướng dẫn giải​

Xét hàm số

Ta có theo giả thiết, do đó là hàm hằng nên với mọi x.

.

Bài toán 1.3: Chứng minh rằng:

a)

b)

Hướng dẫn giải​

a) Nếu thì đúng.

Nếu thì xét hàm số



b) Với , xét

Ta có (vì )

THẦY CÔ TẢI NHÉ!