- Tham gia
- 28/1/21
- Bài viết
- 82,206
- Điểm
- 113
tác giả
TUYỂN TẬP 23 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 ( ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC) được soạn dưới dạng file word gồm các file trang. Các bạn xem và tải chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 về ở dưới.
A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Căn thức bậc hai
-Căn bậc hai của số thực là số thực sao cho .
-Cho số thực không âm. Căn bậc hai số học của kí hiệu là là một số thực không âm mà bình phương của nó bằng
-Với hai số thực không âm ta có:
-Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+ nếu
+ với với
+ với
+ với (Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+ với (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)
2. Căn thức bậc ba, bậc n
a. Căn thức bậc 3
Căn bậc 3 của một số kí hiệu là là số sao cho
-Cho
-Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc 3.
-Nếu thì
-Nếu thì
-Nếu thì
- với mọi
- với mọi
-
-
- với
-
- với
b. Căn thức bậc n
Cho số Căn bậc của một số là một số mà lũy thừa bậc của nó bằng
-Trường hợp là số lẻ:
Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
nếu thì nếu thì nếu thì
-Trường hợp là số chẵn:
Mọi số thực đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là (gọi là căn bậc số học của Căn bậc chẵn âm kí hiệu là và
và
II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU
Dạng 1: Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị các biểu thức.
Phương pháp:
Biến đổi các biểu thức trong dấu về dạng sau đó dựa vào dấu của A để mở dấu giá trị tuyệt đối nếu có.
Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc:
Rút gọn các biểu thức:
a. khi
b. khi
c.
Lời giải:
a.
+ Nếu thì
+ Nếu thì
b.
Hay
+ Nếu thì suy ra
+ Nếu thì suy ra
c. Để ý rằng:
Suy ra
Hay
Ví dụ 2.
Chứng minh:
a. Tính
b. là một số nguyên
(Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
c. Chứng minh rằng: với là số tự nhiên.
d. Tính biết
e. Cho các số thực thỏa mãn: Tính giá trị của
Lời giải:
a. Dễ thấy
Cách 1: Ta có
Suy ra
Cách 2: Ta viết lại
b. Áp dụng hằng đẳng thức: Ta có:
Hay
mà suy ra Vậy là số nguyên.
c. Áp dụng hằng đẳng thức:
Ta có (1)
Xét đa thức bậc hai với
+ Khi ta có
+ Khi ta có âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất Vậy với mọi
Ta có: là số tự nhiên.
d. Nhận xét:
Kết hợp với giả thiết ta suy ra
Tổng quát ta có: thì
e. Nhân 2 vế đẳng thức với: ta có:
Hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay
Ví dụ 3.
a. Cho Tính giá trị biểu thức:
b. Cho Tính giá trị của biểu thức
(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016).
c. Cho Tính giá trị biểu thức:
Lời giải:
a. Ta có:
Từ đó suy ra
Ta biến đổi:
b. Ta có Ta biến đổi biểu thức P thành:
c. Để ý rằng: ta nhân thêm 2 vế với để tận dụng hằng đẳng thức:
Khi đó ta có:
Ta biến đổi:
Ví dụ 4.
a. Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
b. Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện:
c. Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện:
d. Giả sử là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
e. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
Lời giải:
a. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (đpcm).
b. Ta viết lại giải thiết thành:
Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
c. với thì phương trình đã cho trở thành:
Chi 2 vế cho thì phương trình trở thành Để ý rằng hoặc không thỏa mãn phương trình.
Xét Theo bất đẳng thức ta có: Suy ra
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy là nghiệm của phương trình.
d. Đặt
Tương tự đặt Khi đó
Theo giả thiết ta có: Lại có
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy
e. Đặt Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức ở (**) ta có
Suy ra Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Ta cũng có: mà
với mọi Suy ra Vậy
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc tức là hoặc .
Ví dụ 5.
Cho và
a. Tính giá trị biểu thức:
b. Chứng minh rằng:
Lời giải:
a. Để ý rằng:
Tương tụ đối với ta có
Suy ra
b. Tương tự như câu a)
Ta có:
Ví dụ 6.
a. Tìm thỏa mãn:
b. Cho với nguyên dương. Tính
Lời giải:
a. Đẳng thức tương đương với:
Hay
b. Đặt
Suy ra Áp dụng vào bài toán ta có:
Ví dụ 7.
a. Cho số nguyên dương Tính giá trị biểu thức sau theo
b. Cho các số thực dương thỏa mãn: Chứng minh:
Lời giải:
a. Với mọi số thực khác 0 sao cho: thì
Áp dụng vào bài toán ta có:
Áp dụng lần lượt với các số hạng còn lại ta được:
b. Đặt
Suy ra dẫn đến tương tự
suy ra
đpcm.
Dạng 2: Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số.
Phương pháp: Để giải quyết các bài tập dạng này ta cần chú ý các tính chất cơ bản:
Với số thực thì.
+
+ (Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
+ với các số thực
+ với
Ví dụ 1.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của với các số thực thỏa mãn
d. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
e. Cho số thực thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
f. Tìm giá trị nhỏ nhất của với
g. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải:
a. Điều kiện ta viết lại , vì
dẫn đến dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi khi đó giá trị nhỏ nhất của là 1.
b. Điều kiện Ta viết lại vì nên áp dụng bất đẳng thức dạng với các số thực không âm ta có:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá rị nhỏ nhất của bằng 1 tại
c. Ta có do nên áp dụng bất đẳng thức cho 2 số thực dương ta có: suy ra dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tương tụ ta có: dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Từ đó suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Hay GTNN của là 24 tại
d. Điều kiện Ta viết lại do suy ra ta có suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
e. Đặt do suy ra
Biểu thức có dạng
Đặt từ giả thiết ta có:
Mặt khác ta cũng có:
Hay Vậy
Ta có: Từ đó ta có:
dấu đằng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc hoặc
Ta có: dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Cách khác:
Ta có: thì Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc
Ta cũng có:
Hay Theo bất đẳng thức ta có
nên:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và hay Vậy GTNN của là GTLN của là
f. Điều kiện để biểu thức xác định là
+ Nếu thì nên
Do nên
+ Nếu thì nên
(Theo bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTNN của bằng 8 khi
g. Điều kiện:
Ta viết lại do với mọi thỏa mãn nên ta có dấu đẳng thức xảy ra tại Vậy GTNN của bằng tại
Ví dụ 2.
a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
b. Tìm gái trị lớn nhất của
c. Tìm giá trị lớn nhất của
d. Tìm giá trị lớn nhất của
e. Tìm giá trị lớn nhất của
f. Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải:
a. Điều kiện: ta viết lại thành: Vì nên
suy ra dẫn đến dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của bằng 1 tại
b. Điều kiện: ta có suy ra
+ Khi thì (1)
+ Khi thì ta có áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số thực dương ta có: suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2)
Kết hợp (1),(2) ta suy ra GTLN của bằng tại
Chú ý: Học sinh hay mắc sai lầm khi đưa về mà không xét (Biểu thức chỉ xác định khi
c. Điều kiện chú ý:
nếu thì (3)
Xét khi đó ta có:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số thực dương ta có: suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (4).
Kết hợp (3),(4) ta suy ra GTLN của bằng tại
d. Điều kiện Ta có theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
nên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTLN của D bằng tại
e. Điều kiện do nên suy ra E xác định khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: suy ra
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTLN của E bằng 24 khi
f. Điều kiện:
Ta viết lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng
ta có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Phương pháp:
+ Đối với các biểu thức với là số nguyên, C nhận giá trị nguyên hoặc vô tỷ thì P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi C là số nguyên và C là ước số của B.
+ Đối với các biểu thức với là số hữu tỷ, C nhận giá trị thực. Ta thường tìm cách đánh giá P, tức là chặn P theo kiểu từ đó suy ra các giá trị có thể của P. Hoặc ta tìm điều kiện của P để tồn tại biến thỏa mãn yêu cầu bài toán từ đó suy ra các giá trị nguyên có thể của P.
+ Đối với các bài toán tổng hợp học sinh cần chú ý điều kiện ban đầu để loại các giá trị không thỏa mãn.
Ví dụ 1.
a. Tìm các giá trị nguyên của để là số nguyên.
b. Tìm tất cả các số thực để là số nguyên.
c. Chứng minh: Không tồn tại giá trị thực của để là số nguyên
Lời giải:
a. Điều kiện Ta viết lại Do là số nguyên nên nhận giá trị nguyên hoặc vô tỷ. Suy ra là số nguyên khi và chỉ khi là số nguyên và là ước của 3. Chú ý
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
b. Điều kiện
Do nên suy ra ta có
như vậy Vì là số nguyên nên có thể nhận các giá trị
TH1: do
TH2: hoặc
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
c. Điều kiện dễ thấy là số dương. Để ý rằng: suy ra vì là số nguyên nên có thể nhận các giá trị là 1 hoặc 2.
TH1: vô lý.
TH2: vô lý.
Vậy không tồn tại để là số nguyên.
Cách khác: Giả sử tồn tại giá trị để là số nguyên. Khi đó ta có:
(*)
Nếu thì (*) thì có dạng vô lý, vậy Từ (*) ta cũng suy ra do ta suy ra phải thỏa mãn để ý rằng nên điều kiện (**), do là số nguyên nên (**) không thể xảy ra. Tóm lại không thể nhận giá trị nguyên.
Dạng 4:Bài toán tổng hợp
Bài 1. Cho với
a. Chứng minh khi thì
b. Rút gọn và tìm để
Lời giải:
a. Ta có thay vào ta có:
b. Ta có:
Suy ra yêu cầu bài toán tương đương với
hay hoặc
Ta có
Đối chiếu với điều kiện bài toán ta thấy thỏa mãn.
Bài 2. Cho biểu thức: với
a. Rút gọn biểu thức
b. Đặt Tính giá trị của khi
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
a.
b. Khi ta có
c. Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vật GTNN của là 1 tại
Bài 3. Cho với
a. Rút gọn
b. Tính giá trị của khi
c. Đặt tìm để
Lời giải:
a. Điều kiện xác định:
Ta có:
b. Khi thì
c. Ta có
Hay (*).
TH 1: đối chiếu với điều kiện suy ra
TH 2: đối chiếu với điều kiện suy ra
Vậy khi và chỉ khi hoặc
Bài 4. Cho biểu thức
a. Rút gọn
b. Tìm sao cho nhận giá trị là một số nguyên.
Lời giải:
a. Với ta có:
b. Ta có: nên
Vì nên ta có:
kết hợp với điều kiện là một số nguyên suy ra
+ Nếu thỏa mãn điều kiện.
+ Nếu không thỏa mãn điều kiệ.
Vậy thì nhận giá trị là nguyên.
Bài 5. Cho biểu thức với
a. Tìm để
b. Chứng tỏ không phụ thuộc vào .
c. Tìm để
Lời giải:
a. Ta có
b. Ta có:
suy ra
c. Ta có
Vì nên suy ra điều kiện là
Vậy để thì điều kiện là:
Bài 6. Cho biểu thức với
a. Rút gọn biểu thức
b. Tính giá trị của biết
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
a. Ta có:
b. Với thày vào ta có:
c. Ta có: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTNN của bằng 4 khi
Bài 7. Cho biểu thức với
a. Tính giá trị của khi
b. Rút gọn
c. Tìm để
Lời giải:
a. Khi thì suy ra
b. Ta có:
Hay
c.
do thỏa mãn hay
Bài 8. Cho với
a. Rút gọn
b. Tính giá trị của khi
c. Tìm các giá trị của để là số tự nhiên.
Lời giải:
a. Ta có
Hay
b. Với thì suy ra
c. Ta có
Do nên suy ra Vì là số nguyên nên
Đối chiếu điều kiện ta thấy là các giá trị cần tìm.
Cách khác: Để là số nguyên thì điều kiện cần và đủ là: (với là số nguyên dương và
Ta có: do điều kiện do
hay suy ra
Bài 9. Cho biểu thức với
a. Chứng minh rằng
b. Tính giá trị biểu thức khi và
c. Tìm giá trị lớn nhất của nếu
Lời giải:
a. Ta có:
Hay
b. Khi
c. Theo bất đẳng thức ta có: Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTLN của là
Bài 10. Cho 2 biểu thức với
a. Rút gọn , tìm để
b. Tìm tất cả các giá trị của để nhận giá trị nguyên dương.
Lời giải:
a. Ta có:
(TMĐK).
b. Ta có: Vì là số nguyên dương nên ta có:
TH1: thỏa mãn điều kiện.
TH2: thỏa mãn điều kiện.
TH3: thỏa mãn điều kiện.
Bài 11. Cho biểu thức
a. Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn
b. Tìm giá trị của để
c. Khi hãy tìm GTNN của
Lời giải:
Điều kiện: (*).
a. Ta có:
b. thỏa mãn (*)
c. Khi thì Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng ta có: Suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi thỏa mãn (*). Vậy GTNN của là 20 khi
Bài 12. Cho biểu thức với
a. Rút gọn
b. Tìm các giá trị để tồn tại sao cho
Lời giải:
a. Ta có
b. Theo giả thiết ta có: Đặt điều kiện Phương trình trở thành: Để phương trình có nghiệm điều kiện là Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: suy ra trong hai nghiệm tồn tại ít nhất 1 nghiệm dương. Như vậy ta chỉ cần tìm điều kiện để không phải là nghiệm. Tức là: Vậy điều kiện cần tìm là:
Bài 13. Cho biểu thức với
a. Rút gọn
b. Tính khi
c. Với giá trị nào của thì
Lời giải:
a. Ta có:
b. Ta có: nên
c.
Vì nên suy ra
Kết hợp với điều kiện đề bài ta suy ra
Bài 14. Cho biểu thức: với
a. Rút gọn
b. Tìm các giá trị của để
c. Chứng minh:
Lời giải:
a. Ta có
với
b.
c. Ta có: Theo bất đẳng thức Cô si dạng ta có:
suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi không thỏa mãn điều kiện Vậy với mọi
Bài 15. Cho
a. Rút gọn
b. So sánh với 4.
c. Tìm thỏa mãn điều kiện:
Lời giải:
Điều kiện xác định:
a. Ta có:
b. Ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
c. Tìm thỏa mãn điều kiện:
Ta có: Chia hai vế cho ta thu được: Đặt với ta có:
Nếu vô nghiệm. Do
Nếu thỏa mãn điều kiện.
Kết luận:
Bài 16. Cho và .
Tính giá trị biểu thức:
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Để ý rằng:
Tương tự đối với ta có:
Suy ra .
Tương tự như câu a)
Ta có:
Bài 17.
a) Tìm thỏa mãn:
b) Cho với nguyên dương. Tính .
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:
Hay
b) Đặt .
Suy ra . Áp dụng vào bài toán ta có:
Bài 18.
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .
c) Chứng minh: với mọi số nguyên dương .
Lời giải:
a) Xét ,
Dễ thấy .
Ta có
Mặt khác ta có:
Suy ra . Do suy ra .
b) Để ý rằng: với mọi nguyên dương.
Suy ra .
c) Đặt
Ta có: với mọi số tự nhiên .
Từ đó suy ra hay
Do đó: và .
Hay .
Bài 19.
a) Cho ba số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: .
b) Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện: .
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (đpcm).
b) Ta viết lại giả thiết thành: .
Áp dụng bất đẳng thức : ta có: . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Bài 20. Cho với
a) Rút gọn .Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức xác định là .
+ Nếu thì nên
Do nên .
+ Nếu thì nên (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy GTNN của bằng khi .
b) Xét thì , ta thấy khi và chỉ khi là ước số nguyên dương của . Hay đối chiếu điều kiện suy ra hoặc
+ Xét ta có: , đặt khi đó ta có: suy ra .
Tóm lại để nhận giá trị nguyên thì .
Bài 21. Hãy chứng tỏ rằng số là một nghiệm của phương trình .
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức , ta được
.
Suy ra: .
Vậy là một nghiệm của phương trình .
Bài 22. Cho .
Tìm các số nguyên để là số nguyên.
Chứng minh rằng với thì là số nguyên.
Tìm các số hữu tỉ để là số nguyên.
Lời giải:
Ta có . Để là số nguyên thì phải là số nguyên.
Ta biết rằng khi là số nguyên thì hoặc là số nguyên (nếu là số chính phương) hoặc là số vô tỉ ( nếu không là số chính phương). Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ, do đó là số nguyên, suy ra là ước tự nhiên của .
Ta có
Với thì .
Ta có . Để là số nguyên thì phải là số nguyên.
Đặt , ta có:
do đó (do ).
Giải điều kiện , ta được .
Do nên . Ta có
III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO CHUYÊN
Bài 1. Cho biểu thức .
Tính giá trị biểu thức của P với và .
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2012 – 2013)
Hướng dẫn
Xét bình phương hai vế ta được:
Xét bình phương hai vế ta được:
.
.
Bài 2. Cho và .
Tính giá trị của biểu thức theo a.
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014)
Hướng dẫn
Ta có:
.
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức:
Với .
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015)
Hướng dẫn
Đặt .
Xét
.
Ta có:
.
Bài 4.Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để .
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2014 – 2015)
Hướng dẫn
a) TXĐ: .
.
b)
(thỏa mãn điều kiện). Vậy để thì .
Bài 5.Rút gọn biểu thức:
.
Hướng dẫn
Đặt , biểu thức có dạng:
. Vậy .
Bài 6. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện .
Tính giá trị của biểu thức:
Hướng dẫn
Thay vào biểu thức A, ta có:
.
Bài 7. Tính giá trị biểu thức: biết:
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014)
Hướng dẫn
Xét
Nhận xét: nên
Từ đó suy ra
.
Bài 8. Thực hiện phép tính:
a) ; b) .
Hướng dẫn
a) .
b)
.
Bài 9. Rút gọn biểu thức: .
Hướng dẫn
Ta có:
.
Bài 10. Rút gọn biểu thức:
a) b) .
Hướng dẫn
a) Ta có:
.
b) Ta có:
.
Bài 11. Cho và . Tính .
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007 – 2008)
Hướng dẫn
Ta có:
Ta có:
.
Suy ra: .
Ta có: .
Bài 12. Xác định biết: .
Hướng dẫn
Xét vế trái:
.
Đồng nhất hai vế ta được: .
Bài 13. Cho . Với .Chứng minh rằng .
Hướng dẫn
Ta có:
ĐKXĐ:
.
Bình phương hai vế, ta được: .
Vì nên .
Xét .
Điều phải chứng minh.
Bài 14. Tính giá trị biểu thức tại .
Hướng dẫn
Ta có:
Ta có:
Thay vào biểu thức M ta có:
.
Bài 15. Cho biểu thức:
a) Rút gọn M;
b) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Hướng dẫn
a) Ta có:
. TXĐ: .
b) Ta có: . Vì
nên .
Vậy giá trị lớn nhất của M là 2020 khi .
Bài 16. Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để .
(Tuyển sinh lớp 10 chuyên, ĐHSP, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2015 – 2016)
Hướng dẫn
a) Ta có:
b)
, thuộc tập xác định.
Vậy với thì .
Bài 17. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện .
Đặt: . Tính .
Hướng dẫn
Thay vào biểu thức P, ta có:
.
Bài 18. Cho biểu thức với .
a) Rút gọn biểu thức: với .
b) Tìm tất cả các giá trị sao cho P là số nguyên tố.
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Đà Nẵng, năm học 2012 – 2013)
Hướng dẫn
Đặt khi đó biểu thức P có dạng:
.
a) Do đó
Suy ra .
Theo câu a, ta có nên
, P là số nguyên tố nên P phải là số nguyên dương.
Ư(3)
Thử lại, với thì là hợp số (loại);
với thì là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy với thì là số nguyên tố.
Bài 19. Cho và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí của các biến.
.
Hướng dẫn
Ta có:
. Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí của các biến.
Bài 20. Cho biểu thức:
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi thỏa mãn điều kiện: và .
Hướng dẫn
Ta có:
. Điều phải chứng minh.
Bài 21. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi .
c) Tìm x để P có giá trị là số tự nhiên.
d) Tìm x để .
Hướng dẫn
a) Ta có:
. ĐKXĐ: và .
b) thuộc TXĐ.
Thay vào biểu thức P, ta có:
.
c) Ta có: . Để P có giá trị là số tự nhiên thì và ,
Từ đó ta có bảng giá trị sau:
Kết hợp với tập xác định, với thì P nhận giá trị là số tự nhiên.
d)
và khác dấu.
Mặt khác, ta có
Do đó:
Kết hợp với tập xác định, ta có: thì .
Bài 22. Rút gọn biểu thức: .
Với .
Hướng dẫn
Ta có:
.
Bài 23. Chứng minh rằng nếu là các số dương thỏa mãn thì ta luôn có:
Hướng dẫn
Từ giả thiết, suy ra
Xét vế trái:
.
Vế trái = Vế phải. Điều phải chứng minh.
Bài 24. Chứng minh rằng:
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn
Cách 1. Đặt
Đặt
Ta có:
Xét
Mà . Điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có:
. Điều phải chứng minh.
Bài 25. Cho dãy số thỏa mãn và với . Tính .
Hướng dẫn
Ta có:
.
Ta có:
.
Từ đó suy ra . Vậy .
Bài 26. Cho số thực thỏa mãn .Chứng minh rằng:
Hướng dẫn
Từ giả thiết
Nhận xét: Vì nên loại, suy ra .
Xét
Từ đó ta có: . Điều phải chứng minh.
Bài 27.
a) Cho thỏa mãn: . Tính
.
b) Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình:
( dấu căn, ) .
Hướng dẫn
a) Ta có: ⇔
Mặt khác:
⇒ .
Chứng minh tương tự
.
.
⇒ .
⇒ .
b) Nhận xét: là số chính phương vì
(n dấu căn) .
⇒ ( dấu căn) .
⇒ ( dấu căn) .
⇒ là số chính phương .
⇒ là số chính phương ⇒ ⇒ .
Bài 28. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020)
Cho biểu thức: với .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các giá trị của để P < 1.
Hướng dẫn
a)
b)
Vậy
Bài 29. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức:
Hướng dẫn
Do đó:
Vậy
Cách khác:
Ta có:
Do đó:
Vậy
Bài 30. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: .
Hướng dẫn
=
=
=
=
= 35
Bài 31. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020)
Cho là các số thực dương và
Hướng dẫn
Đặt , ta có
.
.
Bài 32. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức: khi .
Hướng dẫn
Ta có .
..
..
Bài 33. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020)
Cho biểu thức với .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm tất các giá trị của để .
Hướng dẫn
a) Biến đổi được
Biến đổi được
b)
TH1:
TH2: (không xảy ra).
Vậy các giá trị cần tìm là .
Bài 34. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức trong đó .
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị nguyên của để giá trị biểu thức là số nguyên.
Hướng dẫn
a)
Nếu thì
Nếu thì
b) - Nếu thì không có giá trị nguyên.
- Nếu thì
+
+
Bài 35. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: ( ).
Hướng dẫn
Bài 36.(Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020)
Cho các số thực thoản mãn .Chứng minh rằng .
Hướng dẫn
Đặt và thì đẳng thức đề bài có thể viết lại thành .
Do nên .
Từ đó ta có hay .
Suy ra . Đây là kết quả cần chứng minh.
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn B.
b) So sánh và .
a) .
Ta có :
b) Vì và
Nên với mọi thỏa mãn điều kiện đã cho
Lại có:
Dấu “ = “ không xảy ra vì
Vậy , nên
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
Chứng minh là nghiệm của phương trình
Ta có:
, với
Ta có:
Vậy bài toán được chứng minh
(Đề thi HSG 9 huyện Nông Cống 2019-2020)
Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức
Tìm x để
Với biểu thức có nghĩa. Ta có:
Ta có :
TH1:
TH2:
Vậy 0 hoặc
(Đề thi HSG 9 huyện Yên Định 2012-2013)
Cho
a) Rút gọn .
b) Tìm x để
c) Tìm giá trị lớn nhất của .
a) ĐKXĐ:
b)
(vì )
c)
Vậy GTLN của A =
(Đề thi HSG 9 huyện Chư Sê 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: .
.
(Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức sau:
(Do ).
(Đề thi HSG 9 huyện Thường Tín 2019-2020)
Cho biểu thức:
a) Rút gọn .
b) Chứng minh: .
a) Điều kiện: có nghĩa:
.
b) (BĐT Cauchy)
Vì đẳng thức xảy ra không thỏa mãn điều kiện xác định nên .
(Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019)
1. Rút gọn biểu thức: với
2. Cho . Tìm sao cho .
1.
Vậy
2. + Ta có: xác định khi
+ Ta có: xác định khi
Ta có nên
Kết hợp với điều kiện suy ra
Vậy khi .
(Đề thi HSG 9 huyện Bình Giang 2019)
Cho biểu thức
1) Tìm để .
2) Biết , hãy tính giá trị của .
3) Tìm giá trị của nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên?
4) Tìm để
Rút gọn: điều kiện:
Do
Kết hợp điều kiện ta có:
Ta có:
Thay vào biểu thức ta được
Ta có:
Để nguyên thì
Ta có bảng sau:
Do nên
Thay vào biểu thức ta được:
Với , ta có:
, dấu “=” xảy ra
, dấu “=” xảy ra
Do
(Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vòng 2 năm 2020)
Cho .
Tìm nguyên để .
ĐKXĐ: .
Ta có:
Khi đó
Ta có
TH1:
TH2:
TH3: loại
TH4: loại
Vậy với hoặc thì .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013)
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm các giá trị của x để
1/ Rút gọn biểu thức A.
(ĐK: x )
2/ Tìm các giá trị của x để
Kết hợp với ĐK Þ
(Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012)
Cho biểu thức:
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
a)
b)
c) ĐK: :
Học sinh lập luận để tìm ra hoặc
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012)
Cho biểu thức
Rút gọn
Tính giá trị của khi
Lời giải
1) (ĐK: )
Đặt ( )
2)
(Đề thi HSG 9 huyện Vĩnh Bảo 2013-2014)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P với .
a) ĐKXĐ: .
Mẫu thức chung là 1 – xy
b) Ta có:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương - 2013-2014)
Rút gọn biểu thức
với .
=
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014)
Cho biểu thức .
a) . Rút gọn biểu thức A.
b) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A.
a) Điều kiện: .
Vậy
b) Theo Côsi, ta có: .
Dấu bằng xảy ra Û Û x = y = .
Vậy maxA = 9, đạt được khi : x = y = .
(Đề thi HSG 9 huyện … 2013-2014)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P tại .
a) Điều kiện
Vậy
b) Ta có:
Vậy do đó
: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thái Bình 2011 - 2012)
Cho biểu thức:
với
Tính giá trị của biểu thức P với
Vậy
(Đề thi vào 10 chuyên TPHCM 2010 - 2011)
Thu gọn biểu thức: A=
Lời giải
Xét M =
Ta có M > 0 và , suy ra M =
A= -( -1)=1
(Đề HSG 9 huyện Xuyên Mộc 2016 - 2017)
Rút gọn biểu thức: với .
Lời giải
Ta có
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013)
Rút gọn :
ĐK:
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012)
Thực hiện phép tính :
Nhân số bị chia và số chia với ta được:
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016)
Cho biểu thức với
Rút gọn biểu thức M
Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
:
M nguyên nguyên là ước của 2
(Đề thi HSG 9 Tỉnh An Giang 2013-2014)
Ta có :
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018)
Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A. Tìm các số nguyên để là số nguyên.
là ước của 3; chỉ có có nghiệm thỏa mãn ĐK.
(Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017)
Tính giá trị của biểu thức: tại
Ta có
Suy ra hay
Do đó
(vì
Vậy tại
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019)
Rút gọn biểu thức
Ta có:
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn B.
b) So sánh và .
a) .
Ta có :
b) Vì và
Nên với mọi thỏa mãn điều kiện đã cho
Lại có:
Dấu “ = “ không xảy ra vì
Vậy , nên
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
Chứng minh là nghiệm của phương trình
Ta có:
, với
Ta có:
Vậy bài toán được chứng minh
(Đề thi HSG 9 huyện Nông Cống 2019-2020)
Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức
Tìm x để
Với biểu thức có nghĩa. Ta có:
Ta có :
TH1:
TH2:
Vậy 0 hoặc
(Đề thi HSG 9 huyện Yên Định 2012-2013)
Cho
a) Rút gọn .
b) Tìm x để
c) Tìm giá trị lớn nhất của .
a) ĐKXĐ:
b)
(vì )
c)
Vậy GTLN của A =
(Đề thi HSG 9 huyện Chư Sê 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: .
.
(Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức sau:
(Do ).
(Đề thi HSG 9 huyện Thường Tín 2019-2020)
Cho biểu thức:
a) Rút gọn .
b) Chứng minh: .
a) Điều kiện: có nghĩa:
.
b) (BĐT Cauchy)
Vì đẳng thức xảy ra không thỏa mãn điều kiện xác định nên .
(Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019)
1. Rút gọn biểu thức: với
2. Cho . Tìm sao cho .
1.
Vậy
2. + Ta có: xác định khi
+ Ta có: xác định khi
Ta có nên
Kết hợp với điều kiện suy ra
Vậy khi .
(Đề thi HSG 9 huyện Bình Giang 2019)
Cho biểu thức (căn lề -cỡ chữ 12)
1) Tìm để .
2) Biết , hãy tính giá trị của .
3) Tìm giá trị của nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên?
4) Tìm để
Rút gọn: điều kiện:
Do
Kết hợp điều kiện ta có:
Ta có:
Thay vào biểu thức ta được
Ta có:
Để nguyên thì
Ta có bảng sau:
Do nên
Thay vào biểu thức ta được:
Với , ta có:
, dấu “=” xảy ra
, dấu “=” xảy ra
Do
(Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vòng 2 năm 2020)
Cho .
Tìm nguyên để .
ĐKXĐ: .
Ta có:
Khi đó
Ta có
TH1:
TH2:
TH3: loại
TH4: loại
Vậy với hoặc thì .
(Đề thi HSG 9 huyện BA VÌ 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn .
b) Tìm các giá trị của để .
c) Tìm các giá trị của để .
Cho biểu thức
a)Sau khi biến đổi thu gọn ta được
b)Với với ( không thỏa mãn đkxđ)
c) và .
(Đề thi HSG 9 VINH 2019-2020)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn
b) Tính giá trị của tại
a) Điều kiện
Vậy .
b)
.
Vậy do đó .
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020)
Với giá trị nào của thì có nghĩa?
Để biểu thức có nghĩa thì
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020)
Rút gọn biểu thức
Ta có
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020)
Rút gọn biểu thức với
(Vì )
(Đề thi HSG 9 tỉnh ĐÀ NẴNG 2010-2011)
Cho biểu thức: với .
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
a) Do nên: và
Þ
Do nên:
Þ
b) Ta có do đó chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
Mà N = 1 Û Û Û
Û (phù hợp)
Vậy nguyên Û
(Đề thi HSG 9 huyện HOÀNG HÓA 2019)
Cho biểu thức .
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức khi
a/ ĐKXĐ: ,
Ta có
b) Rút gọn khi .
Ta có
(vì )
Thay vào biểu thức thu gọn ta được
(Đề thi HSG 9 huyện NAM ĐÀN 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức:
a) .
b) (Điều kiện: ).
a)
.
b) Vì nên và . Khi đó:
.
(Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009)
Chứng minh rằng : là số nguyên.
= .
(Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019)
Tính giá trị biểu thức:
Vậy
(Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019)
Tính giá trị của biểu thức:
Ta có:
(Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức .
.
(Đề thi HSG 9 huyện Như Thanh 2019-2020)
Cho biểu thức:
1. Tìm điều kiện của để có nghĩa và rút gọn biểu thức .
2. Tìm để biểu thức nhận giá trị bằng 2.
3. Tính giá trị của biểu thức tại .
1. ĐKXĐ: ; .
.
Vậy với ; .
2. Ta có
(vì với )
Vậy thì .
3. Ta có :
Thay thỏa mãn ĐKXĐ vào ta được .
Vậy với .
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Động 2019-2020)
a) Rút gọn biểu thức: .
b) So sánh và .
a)
.
b) Ta có
Vậy ta có .
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2019-2020)
a) Tính giá trị biểu thức .
b) Chứng minh rằng: .
c) Tính giá trị biểu thức với .
d) Cho và . Tính .
a)
.
b) .
c)
Với , ta có: .
d) Ta có: và .
Vậy .
(Đề thi HSG 9 Quảng Trị 2019-2020)
1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biết
1.
2.
(Đề thi HSG 9 Quận Cầu Giấy 2019-2020)
Cho biểu thức . .
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa và rút gọn .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
a) Để có nghĩa thì:
Vậy với thì có nghĩa.
Ta có: . với
.
Vậy với thì .
b) Ta có:
Để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị lớn nhất
phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Lại có nên .
Giá trị nhỏ nhất của khi và chỉ khi
Giá trị nhỏ nhất của khi và chỉ khi
Vậy với thì có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
(Đề thi HSG 9 Huyện Quan Sơn 2019-2020)
Cho
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì .
2. Tìm x nguyên biết đạt giá trị nguyên lớn nhất.
1.
a)
b) .
Với thì . Nên
Vậy
2. Ta có
có giá trị lớn nhất khi có giá trị lớn nhất là số nguyên dương nhỏ nhất
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2011 - 2012)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
b/ Cho
+ Tìm điều kiện của để xác định.
+ Rút gọn
a/
b/
+ xác định khi x 0 và x
+ Rút gọn =
= = = 2
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2012 - 2013)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b/ Rút gọn
a/
b/ Với ĐK : ta có:
=
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2013 - 2014)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2. Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để xác định. Rút gọn
b) Tính giá trị của khi x =
c) Tìm giá trị của để
1.
2. a)
Điều kiện để xác định:
=
b) Khi biểu thức có giá trị là:
c) Với ta có:
(thoả ĐK)
Vậy thì
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2014 - 2015)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2. Cho biểu thức
a/ Rút gọn biểu thức .
b/ Tìm để
c/ Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên
1.
2. a/ Với ĐK : ta có:
=
b/ Với ĐK : ta có
Vậy thì
c) Ta có =
Vậy nguyên khi suy ra
Do nên
(Đề thi HSG 9 huyện Đồng Xuân 2015-2016)
Cho biểu thức A = với
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính A khi x =
c/ Tìm x để A có giá trị là
a/ Rút gọn biểu thức A.
Với ta có
b/ Khi x = ta có A =
Vậy khi x = thì A =
c/ Với ta có A =
x = 25 ( thỏa ĐK)
Vậy x = 25 thì A =
(Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ 2019-2020)
Cho biểu thức:
Tìm x để A <1
Biết , hãy tính giá trị của
Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên, khi
Tìm x để
a)Đk:
Rút gọn
Do A<1 nên suy ra:
Kết hợp với điều kiện rồi kết luận:
b)- Tính được A = 3
Từ đó suy ra: , tìm được x = 9 (tmđk)
Thay vào biểu thức
c)- Tính được
Để P nguyên thì từ đó lập luận tìn x là 0; 36; 16; 4
So sánh điều kiện và kết luận x
d)Thay A vào rồi biến đổi đưa về dạng
Đánh giá VT 5; VP 5 với mọi x thuộc ĐKXĐ
Từ đó quy ra: dấu bằng xảy ra khi x = 9
Kết luận
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của :
.
Điều kiện , ; ; .
2. Rút gọn biểu thức: .
1. Với điều kiện , ; ;
Ta có
.
Vậy không phụ thuộc vào giá trị của .
2.
Vậy .
(Đề thi HSG 9 huyện Kỳ Anh 2019-2020)
a) Tính giá trị của biểu thức :
b) Cho Tính giá trị của :
Từ giả thiết ( bình phương 2 vế)
Mặt khác :
Vậy :
(Đề thi HSG 9 quận Thanh Xuân 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị của khi
a)
b)Ta có
Vậy
(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2014-2015)
a) Cho . Chứng minh rằng:
; .
b) Rút gọn biểu thức: .
a) Cho . Chứng minh rằng:
Đặt
Bình phương 2 vế ta được: .
Từ đó ta có: (3).
Tương tự ta cũng có: (4).
Lấy (3) cộng (4) ta được: ; Lấy (3) trừ (4) ta được: .
b) Rút gọn biểu thức: .
Điều kiện . Áp dụng công thức (1) ta được:
Với hoặc ta đều có: .
Ta lại có:
.
Vậy .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2015-2016)
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P > 6.
a) Rút gọn P
Điều kiện: a > 0, a ≠ 1. Ta có:
.
b) Chứng minh P > 6
Ta có
và .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2016-2017)
Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
với và .
Rút gọn biểu thức:
với và .
Ta có: ;
=
,
Suy ra: .
Vì
Suy ra : .
(ĐỀ TS VÀO 10 CHUYÊN TOÁN HÀ NAM 2013-2014)
Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của và để xác định và rút gọn .
b) Tính giá trị của khi ,
a)
ĐK xác định của :
=
b) Ta có với ,
Vậy
Từ đó
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH 2012-2013)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn .
b) Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
a) ĐK: . Ta có:
.
b)
Vậy GTNN của , dấu xảy ra khi .
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM THỦY (V2) 2011-2012)
Cho biểu thức:
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
a/
b/
c/ ĐK: .
Với , , ta có .
(Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2012-2013)
Cho , thỏa mãn .Tính giá trị của biểu thức
Ta có:
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM GIÀNG 2013-2014)
a) Cho biểu thức: .
Tính giá trị của khi .
b) Cho . Chứng minh rằng .
a) Ta có
.
Thay vào biểu thức , ta có:
.
Vậy khi thì giá trị của biểu thức là 2014.
b)
.
Tương tự
Do đó (đpcm).
(Đề thi HSG 9 huyện KIÊN GIANG 2012-2013)
Rút gọn: .
Điều kiện:
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh THANH HÓA 2018-2019)
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức .
2/ Tìm các giá trị của để .
1/ Rút gọn biểu thức .
(ĐK: )
A = =
2/ Tìm các giá trị của x để
Kết hợp với ĐK Þ .
(Đề thi HSG 9 huyện KIM THÀNH 2012-2013)
a/ Rút gọn biểu thức
b/ Cho thoả mãn: . Hãy tính giá trị biểu thức
a/ Rút gọn biểu thức
ĐKXĐ:
=
b/ Ta có:
Tương tự:
Thay các kết quả trên vào biểu thức để tính.
(Đề thi HSG 9 tỉnh AN GIANG 2013-2014)
Tính:
Ta có :
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2013-2014)
Rút gọn biểu thức với .
= .
(Đề thi HSG 9 tỉnh HƯNG YÊN 2014-2015)
Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Ta có :
Thay vào ta có:
(ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VĨNH BẢO 2013-2014)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của với .
a) ĐKXĐ: .
Mẫu thức chung là
b)
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014-2015)
Cho biểu thức (với , ).
a) Rút gọn .
b) Chứng minh rằng , với mọi , .
c) Tìm để là số nguyên.
a)
.
b) Xét hiệu
Với mọi , suy ra (đpcm).
c) Ta có , với mọi
suy ra .
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014
Cho biểu thức
1. Rút gọn biểu thức
2. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của
1. Điều kiện: .
.
2. Theo Côsi, ta có: .
Dấu bằng xảy ra Û Û
Vậy: đạt được khi:
ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014
a) Cho
1. Rút gọn .
2. Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
b) Tính giá trị của biểu thức .
với
Lời giải
ĐKXĐ: (*)
1) Rút gọn M : Với
Vậy (với ) (*)
2)
Biểu thức có giá trị nguyên khi và chỉ khi:
Ư(3) Vì
Nên Xảy ra các trường hợp sau:
(TMĐK (*) )
(không TMĐK (*) loại )
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
b)
Có
Với .Ta có
Vậy với thì .
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015-2016
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có .
a) (đk: )
.
Vậy với thì .
b) Ta có vậy hay (đpcm).
ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BẮC GIANG NĂM 2016 - 2017
a. Cho biểu thức với và
Rút gọi và tính giá trị biểu thức biết
b. Tìm các số nguyên thoả mãn
c. Cho thỏa mãn ; ;
Tính giá trị biểu thức
a) Rút gọn với và
Ta có.
+ Nếu
+ nếu
b)
Nếu
Vì nguyên nên Vô lý vì là số vô tỉ.
Vây ta có
Thay vào Ta có
Ta có (loại) ; (thoã mãn) , vậy . Kết luận
c) Ta có
mà ; nên
Ta có
nên
Tương tự
Vậy
=
=
=
ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 VĨNH PHÚC NĂM 2014 - 2015
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để
a) xác định khi ĐKXĐ: .
Ta có:
Vậy với thì .
b) Biến đổi:
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy để thì .
ĐỀ CHỌN HSG BẮC GIANG LỚP 9 NĂM 2017 - 2018
a/ Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để
b/ Cho thỏa mãn . Tính
a/ Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
Vậy M= với
*
Ta có . Vậy M>1 khi 1<x<4 và x
b/Cho thỏa mãn . Tính H=
Vì nên
Tương tự ta có
Vậy
Chọn hsg lớp 9 Đà Nẵng năm 2015 - 2016
Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
a) Ta có:
.
b) nguyên nguyên là ước của .
.
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Tính
=
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Cho biểu thức với ; .
Rút gọn A và chứng minh .
+ Rút gọn với ; .
+ Chứng minh .
Xét hiệu
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hải Dương 2017-2018)
Cho . Rút gọn với
Ta có
Rút gọn biểu thức: .
Tổng quát:
.
Vậy
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Điện Biên 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để nhận giá trị nguyên.
2. Cho Tính giá trị biểu thức
1. ĐKXĐ:
a) Ta có:
b) Ta có:
Để thì
Vậy
2. Xét biểu thức:
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = 0.
Với x = 0
Tương tự:
Từ (1) và (2)
Với
Vậy
(Đề thi HSG 9 huyện Hoài Nhơn 2018-2019)
a) Cho . Tính giá trị của biểu thức .
b) Cho và . Tính giá trị của biểu thức:
.
a) Ta có: . Thay vào biểu thức, ta được:
.
b) Ta có :
.
.
Cộng vế theo vế ta được: .
Vậy khi và .
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
1. Tính giá trị biểu thức
2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
1. Ta có
Điều kiện xác định của M là
hoặc
2. Điều kiện xác định của N là (*)
(**)
Từ (*) và (**) ta được là điều kiện xác định của M
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
Tính giá trị của biểu thức:
Theo câu 1) Ta có (*)
Áp dụng (*) ta có:
(Vì )
Tượng tự ; ;….
Suy ra:
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành)
1. Cho biểu thức: .
a, Rút gọn biểu thức .
b, Chứng minh rằng: .
2. Cho biểu thức: với và .
Tính giá trị của biểu thức: .
1. a, Ta có: . Khi đó:
b, Vì ta luôn có
Lại có: hay .
Vậy: .
2. Áp dụng tính chất: . Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
(Đề thi chọn HSG 9 Bắc Từ Liêm 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức khi x = ; y =
2. Cho 2 biểu thức: với thỏa mãn: và . Chứng minh rằng:
1. a) ĐKXĐ:
b) Với ; ta có: do đó:
Mà
Vậy
2. Ta có:
(1)
Mà (Do )
Do đó: (1) (2)
Mặt khác:
Hơn nữa:
Đặt Ta có: (do (2) )
Vì thế:
(Biến đổi tương tự rút gọn P)
(4)
Từ (3), (4) ta có:
Vậy
(Đề thi chọn HSG 2018-2019)
Cho biểu thức: , với .
1. Rút gon biểu thức .
2. Thính giá trị của biểu thức khi .
1. Điều kiện . Ta có:
A =
=
=
= .
2.
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Ngãi 2016 2017)
Rút gọn biểu thức: A =
Rút gọn biểu thức: A =
A = =
A =
A =
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Ngãi 2016 2017)
Cho
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
a) ĐKXĐ:
b) B = A + x – 1=
Dấu “=” xảy ra ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
(Đề thi HSG 9 quận Cầu Giấy 2017 2018)
Cho hai biểu thức: và với
a) Tính giá trị của A với
b) Rút gọn B
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
a) Tính giá trị của A với
Thay vào
Vậy thì
b)Rút gọn B
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
P nguyên nguyên Ư(-6)
Mà Ư(-6)=
Mặt khác:
Kết hợp ĐKXĐ:
Kết luận: Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017)
a) Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b. Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết
b) Tìm các số nguyên a, b thoả mãn
c) Cho a, b, c thỏa mãn ; ; Tính giá trị biểu thức H=
-Rút gọn M= với a, b>0 và a b
-Ta có
+ Nếu a>b>0
+ nếu 0<a<b
-Nếu
Vì a, b nguyên nên Vô lý vì là số vô tỉ
-Vây ta có
Thay a= vào t
a có
Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3. Kết luận
Ta có
mà ; nên
Ta có
nên
Tương tự
Vậy H=
=
=
=
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017)
Tính giá trị của biểu thức N=
N=
=
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017)
Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn +
Chứng minh là số hữu tỉ
(Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2016 2017)
Cho biểu thức: .
Với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để .
c) So sánh: P2 và 2P.
Điều kiện: x 0, x 1.
Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m)
Vậy P = khi x = 4
Vì
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2 2P
(Đề thi HSG 9 thành phố Hải Phòng 2016 2017)
Cho . Tính giá trị của .
b) Cho biểu thức với a > 0, a ¹ 1. Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
a) Ta có :
Thay giá trị của x vào P ta được:
b) Với điều kiện thì:
Khi đó
Ta thấy với
Do
Để N có giá trị nguyên thì N = 1.
Û Û
Û
Vậy
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2010 2011)
a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn Chứng minh rằng là số hữu tỉ.
b) Cho ba số hữu tỉ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: là số hữu tỉ.
Từ giả thiết suy ra
Suy ra là số hữu tỉ
Đặt suy ra
Áp dụng câu 2a) suy ra là số hữu tỉ.
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2017 2018)
a) Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
b) Cho a, b, c >0 thỏa mãn . Tính H=
a) Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
Vậy M= với
*M<1
Ta có . Vậy M>1 khi 1<x<4 và x
b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn . Tính H=
Vì nên 1+c=
Tương tự ta có
Vậy H=
=
=
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2012 2013)
Cho x, y thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Có
(Đề thi HSG 9 Tỉnh DakLak 2017-2018)
Rút gọn biểu thức . Tìm sao cho .
Ta có:
.
Mặt khác .
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Tính
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Tính Cho biểu thức với ;
Rút gọn A và chứng minh .
+ Rút gọn A
Với ;
+ Chứng minh .
Xét hiệu
với ;
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Bình Thuận 2017-2018)
Cho biểu thức: với x 1 và x > 0
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm để biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
a, Rút gọn. Với x 1 và x > 0, ta có:
b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
Dễ thấy Q>0.
Phương trình sau có nghiệm x > 0, x 1
có nghiệm x > 0, x 1
có nghiệm y > 0, y 1
Mà Q nguyên và Q > 0 nên Q = 1 hoặc Q = 2
Với Q = 1 Tìm được ( Thỏa mãn)
Với Q = 2 phương trình vô nghiệm.
(Đề thi HSG 9 huyện Xuyên Mộc (dự bị) 2016-2017)
Rút gọn biểu thức:
Ta có:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2016-2017)
Rút gọn biểu thức
(Đề thi HSG 9 huyện Trực Ninh 2016-2017)
1) Rút gọn biểu thức: A =
2) Cho
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
1. Rút gọn biểu thức: A =
A = =
A =
A =
2.
a) ĐKXĐ:
b) B = A + x – 1=
Dấu “=” xảy ra ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2016-2017)
Cho biểu thức với và .
Rút gọn biểu thức P và tìm để .
Cho biểu thức với và . Rút gọn biểu thức P và tìm để .
(mỗi ý trong khai triển được 0,25 điểm)
+ Với , ta có:
Suy ra hay ( dấu bằng xảy ra khi ).
Do đó, để thì .
Hoặc trình bày cách khác:
+ Với , ta có: (*)
Đặt .
Khi đó (*) trở thành:
Vì nên hay .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2013-2014)
Rút gọn biểu thức với x ≥ 4.
a) Với x ≥ 4, ta có :
A
Xét các trường hợp :
* Với x ≥ 8 ta có :
A
* Với 4 ≤ x < 8 ta có :
A
(Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2015 - 2016)
Cho P = +
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
1.Điều kiện x > 0; x 1; 4
P = +
= +
=
P > 1. . > 1 - 1 > 0 > 0
> 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
x – 1 > 0 x > 1
Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4
Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
2. P = = 2 + Với x > 0; x 1; 4
P nguyên x – 1 là ước của 4
P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2
(Đề thi HSG 9 huyện Hạ Hòa 2015 - 2016)
Cho .
Hãy tính giá trị của biểu thức
Cho . Hãy tính biết: ?
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
(1)
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
(2)
Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn ta được: x + y = 0.
Vậy A = 2016.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Ninh Bình 2014 - 2015)
Cho biểu thức A =
Với x không âm,khác 4.
a,Rút gọn A
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4
c,Tìm x để A là số nguyên
b) Ta giả sử:
Suy ra
Vì luôn đúng, suy ra điều phải chứng minh
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Bình 2012 - 2013)
Cho biểu thức:
Rút gọn P.
b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
a) ĐK: .Ta có:
b)
Vậy GTNN của P = 4 khi
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hưng Yên 2014 - 2015)
Cho . Tính giá trị của biểu thức
Thay vào A ta có
Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)
Tính giá trị của
Giải:
a) Rút gọn được
b) Chứng minh được 0 < A <1 nên A không nguyên
(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)
Tính giá trị của
Giải:
(Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm học 2011 – 2012)
Cho . Tính giá trị của biểu thức
Rút gọn . Thay vào biểu thức A ta được A = 1
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2015 – 2016)
Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A
Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Điều kiện
Ta có:
Để x, A thì là ước của 2. Suy ra nhận các giá trị
(Đề thi HSG tỉnh Cần Thơ năm học 2012 – 2013)
1. Cho biểu thức
Rút gọn P
Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên
2. Tính giá trị với
a) Điều kiện :
b)
Để
(Đề thi HSG tỉnh Đắc Lắc năm học 2016 – 2017)
Cho số thực a mà a > 2. Rút gọn biểu thức
(Tuyển sinh vào 10 chuyên Bình Định năm học 2013 – 2014)
Cho biểu thức: ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
1. Rút gọn Q
2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
1. Rút gọn Q
Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên:
Q=
Kết hợp với điều kiện =>
Vậy với thì Q nhận giá trị nguyên.
(Tuyển sinh vào 10 chuyên Bình Định năm học 2013 – 2014)
Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức:
.Ta có:
(Tuyển sinh vao 10 chuyên Hải Phòng năm học 2012 – 2013)
Cho . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A
1)
.
A lớn nhất khi đó A lớn nhất bằng .
(Đề thi HSG tỉnh Bến Tre năm học 2016 – 2017)
Cho biểu thức . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
+) Nếu x < 0:
B có giá trị nguyên khi và x < 0
+) Nếu 0 <x :
B có giá trị nguyên khi Ư (3) và x>2
Vậy:
B có giá trị nguyên khi
(Tuyển sinh vào chuyên tỉnh Quảng Ninh năm học 2017 – 2018)
Cho biểu thức: (với ).
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi
1. Với điều kiện xác định là x 0; x
A =
=
=
2. Ta có :
. Nên thay x = + 1 vào A ta có:
A = = 1
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015)
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để
a) Rút gọn biểu thức
Điều kiện: Từ đó:
Biến đổi:
và
Từ đó:
b) Tìm để
Biến đổi:
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy để thì
(Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang 2017-2018)
a) Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M > 1
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn .
Tính H=
a/ Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
Vậy M= với
*M<1
Ta có . Vậy M > 1 khi 1< x < 4 và x .
b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn .
Tính H=
Vì nên 1+c=
Tương tự ta có
Vậy H=
=
=
(Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn 2017-2018)
Cho biểu thức với .
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi .
a) Rút gọn biểu thức A.
Đặt , khi đó:
b) Tính giá trị của biểu thức A khi .
Do đó:
(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016)
Cho biểu thức:
Rút gọn biểu thức P
Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
Rút gọn biểu thức P
Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
Ta có vậy hay (đpcm).
(Đề thi HSG tỉnh Thanh Oai 2013-2014)
Cho
1. Rút gọn M
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
ĐKXĐ: (*)
1)Rút gọn M : Với
Vậy (với ) (*)
2)
Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi:
Ư(3) Vì
Nên Xảy ra các trường hợp sau:
. (TMĐK (*) )
. (không TMĐK (*) loại )
Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên.
(CHỌN HSG TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2018)
Cho biểu thức với
Tính giá trị của tại
Ta có
Lại có :
Vậy
(ĐỀ THI CHỌN HSG BẮC GIANG NĂM HỌC 2017-2018)
Cho biểu thức .
Rút gọn và tìm để .
ĐKXĐ: .
*
* .
Ta có: nên khi .
Kết hợp ĐKXĐ ta có và
Vậy khi và
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH Năm học 2017 – 2018)
Rút gọn biểu thức: với .
.
(CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2017 – 2018)
Rút gọn biểu thức: .
Ta có:
.
(ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019)
Cho biểu thức: , với .
Rút gọn biểu thức .
b) Tìm các giá trị của để
a.
b)
Vậy với thì .
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH THUẬN _ NĂM HỌC 2017-2018)
Cho biểu thức: với và .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm để biểu thức nhận giá trị nguyên.
a) Với và , ta có:
b) Tìm để biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
Dễ thấy .
Phương trình sau có nghiệm .
có nghiệm .
có nghiệm .
.
Mà nên .
Với tìm được (Thỏa mãn).
Với phương trình vô nghiệm.
(ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2018)
Rút gọn biểu thức . Tìm sao cho .
Ta có:
.
Mặt khác .
(ĐỀ SINH GIỎI Lớp 9 CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011)
Rút gọn các biểu thức sau:
a. b.
c. d.
a.
b.
c.
d.
(KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011)
Cho biểu thức
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của biểu thức P khi ;
c. Chứng minh:
a. (ĐKXĐ: )
b. Với Thay vào biểu thức ta được:
c.
Với x > 0; y > 0 suy ra và
(Đề thi HSG 9 tỉnh Điện Biên 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để nhận giá trị nguyên.
2. Cho Tính giá trị biểu thức
1. ĐKXĐ:
a) Ta có:
b) Ta có:
Để thì
Vậy
2. Xét biểu thức:
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = 0.
Với x = 0
Tương tự:
Từ (1) và (2)
Với
Vậy
(Đề thi HSG 9 huyện Hoài Nhơn 2018-2019)
a) Cho . Tính giá trị của biểu thức .
b) Cho và . Tính giá trị của biểu thức:
.
a) Ta có: . Thay vào biểu thức, ta được:
.
b) Ta có :
.
.
Cộng vế theo vế ta được: .
Vậy khi và .
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
1. Tính giá trị biểu thức
2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
1. Ta có
Điều kiện xác định của M là
hoặc
2. Điều kiện xác định của N là (*)
(**)
Từ (*) và (**) ta được là điều kiện xác định của M
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
Tính giá trị của biểu thức:
Theo câu 1) Ta có (*)
Áp dụng (*) ta có:
(Vì )
Tượng tự ; ;….
Suy ra:
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành)
1. Cho biểu thức: .
a, Rút gọn biểu thức .
b, Chứng minh rằng: .
2. Cho biểu thức: với và .
Tính giá trị của biểu thức: .
1. a, Ta có: . Khi đó:
b, Vì ta luôn có
Lại có: hay .
Vậy: .
2. Áp dụng tính chất: . Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
(Đề thi chọn HSG 9 Bắc Từ Liêm 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức khi x = ; y =
2. Cho 2 biểu thức: với thỏa mãn: và . Chứng minh rằng:
1. a) ĐKXĐ:
b) Với ; ta có: do đó:
Mà
Vậy
2. Ta có:
(1)
Mà (Do )
Do đó: (1) (2)
Mặt khác:
Hơn nữa:
Đặt Ta có: (do (2) )
Vì thế:
(Biến đổi tương tự rút gọn P)
(4)
Từ (3), (4) ta có:
Vậy
(Đề thi chọn HSG 2018-2019)
Cho biểu thức: , với .
1. Rút gon biểu thức .
2. Thính giá trị của biểu thức khi .
1. Điều kiện . Ta có:
A =
=
=
= .
2.
.
(Đề thi HSG 9 huyện Ba Đình 2016-2017)
Cho biểu thức
Rút gọn A.
Tính giá trị biểu thức A khi
Với ta có:
Thay vào A ta được
(Đề thi HSG 9 huyện Ba Đình 2017-2018)
Rút gọn các biểu thức sau:
(với )
(với )
Vậy nếu hoặc nếu .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
Cho . Không dùng máy tính, hãy chứng minh các biểu thức và có giá trị đều là số chẵn.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2014-2015)
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A = .
Điều kiện x , x 4; x 9 ; x 1
Do x 0; x 1; x 4; x 9
A =
A =
A =
A = = => ĐPCM
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2014-2015)
Rút gọn biểu thức: B =
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2015-2016)
Cho P = +
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
Điều kiện x > 0; x 1; 4
P = +
= +
=
P > 1 > 1 - 1 > 0 > 0
> 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
x – 1 > 0 x > 1
Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4
Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
P = = 2 + Với x > 0; x 1; 4
P nguyên x – 1 là ước của 4
P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2015-2016)
Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để .
c) So sánh: P2 và 2P.
Điều kiện: x 0, x 1.
Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m)
Vậy P = khi x = 4
Vì
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2 2P
(Đề thi HSG 9 quận Ba Đình 2016-2017)
Tìm số thực x để biểu thức là số nguyên.
Đặt
Ta có (Vì
Đặt
+) Với , ta có
hệ vô nghiệm
+) Với
Nếu
Nếu . Vì nguyên nên
hệ vô nghiệm
Kết hợp điều kiện ta được (TM )
(TM )
Vậy với hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(Đề thi HSG 9 quận Ba Đình 2017-2018)
Tìm tất cả các số nguyên x để ; ; ; đều là số nguyên
Điều kiện:
Do
Với x=81 ta có
=
= không thỏa mãn
=
=
Với x= - 3 ta có
=
=
=
=
Vậy x= - 3 thì ; ; ; đều là số nguyên
(Đề thi HSG NGHỆ AN 2019-2020)
Cho hàm số
Tính tại
(Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019)
Tính giá trị biểu thức
(Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019)
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
(Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019)
Tính giá trị của biểu thức: B =
(Đề thi HSG 9 BÌNH ĐỊNH 2016-2017)
Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
Rút gọn được P = (với m 0, m 1)
P = = 1 +
Ta có: P N là ước dương của 2 m (TMĐK)
Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.
(Đề thi HSG 9 THANH HÓA 2017 - 2018 )
1. Cho biểu thức , với Rút gọn và tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.
2. Tính giá trị của biểu thức tại
(Đề thi HSG 9 TỈNH AN GIANG 2017-2018 )
Cho biểu thức với
Tính giá trị của tại
a) Ta có
Lại có :
Vậy
(Đề thi HSG 9 TỈNH BẾN TRE - 2017-2018 )
Rút gọn biểu thức: .
Ta có:
.
(Đề thi HSG 9 TỈNH BẮC NINH 2017-2018 )
Rút gọn biểu thức: , với .
.
(Đề thi HSG 9 HẠ HÒA 2015 -2016 )
a) Cho .
Tính với .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018)
Rút gọn biểu thức
Điều kiện:
Khi đó:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018)
Cho ba số thực dương thỏa mãn
và . Chứng minh đẳng thức
Ta có:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2017-2018)
Rút gọn biểu thức: , với .
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Bến Tre 2017-2018)
Rút gọn biểu thức: .
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2017-2018)
Rút gọn biểu thức với .
Với và , ta có :
Vậy với và , ta có
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hà Nam 2017 - 2018)
Cho biểu thức M =
a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi a = , b =
a)
ĐK xác định của M:
b) Ta có với ,
Vậy
Từ đó
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2017 - 2018)
Cho . Rút gọn với
Ta có
(Thi THPT Chuyên- TP HCM năm học 2010- 2011 )
Thu gọn biểu thức: A=
Giải:
Xét M =
Ta có M > 0 và , suy ra M =
A= M- = -( -1)=1
(Thi HSG cấp TP Thanh Hóa năm học 2016- 2017)
Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để .
c) So sánh: P2 và 2P.
Giải:
a) Điều kiện: x 0, x 1.
b) Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m)
Vậy P = khi x = 4
c) Vì
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2 2P
(Thi chuyên tỉnh Hòa Bình năm học 2013- 2014)
a/ Rút gọn biểu thức
b/ Tìm giá trị nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Giải:
a) ĐK:
b) Ta có
nhận giá trị nguyên là ước của 2
. KL…
(Thi chuyên Toán tỉnh Hòa Bình năm học 2015- 2016)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
Rút gọn biểu thức:
Giải:
a)
b)
c) ĐK a 0
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2019-2020)
1) Rút gọn biểu thức:
2) Cho và là hai số thỏa mãn: . Hãy tính giá trị của biểu thức
2) Nhân 2 vế của với ta được:
Cộng vế với vế của (2) và (3) ta được:
Vậy
(Đề thi HSG 9 trường THCS Lương Thế Vinh 2019-2020)
Cho biểu thức với
Tính giá trị biểu thức khi
Ta có:
Có:
Thay ( tmđk) vào A, ta được:
(Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 - 2009)
Rút gọn biểu thức sau
a.
b.
c. 1-
a. =
=
b. =
= =
= = = =
=
c. 1- = 1- =1-
=1-
= 1- (1-sinx.cosx)= sinx.cosx
(Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 - 2009)
A=
ĐKXĐ:
A= =
=
A khi x=33-8
Ta cã x=33-8 =
A=
Do
A- A<
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017
Câu 1: Cho số thực a mà . Rút gọn biểu thức .
.
(2,0 điểmĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016-2017
Cho . Tính .
Ta có : .
Lại có .
ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC
1. Rút gọn biểu thức: , với .
2. Cho , tính giá trị biểu thức .
1. Ta có
.
2. Ta có: . Suy ra:
ĐỀ THI HSG QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
1) Rút gọn biểu thức: .
2) Cho .
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Ta có .
A = =
=
= .
2.
a) ĐKXĐ:
.
= .
Dấu “=” xảy ra ( thỏa mãn ).
ĐỀ THI HSG VINH NĂM HỌC 2016-2017
Tính giá trị của biểu thức: tại
Ta có
Suy ra hay
Do đó
(vì
Vậy tại
PASS GIẢI NÉN; Yopo.vn
THẦY CÔ DOWNLOAD FILE TẠI MỤC ĐÍNH KÈM!
ĐS9-CHUYÊN ĐỀ 1. BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Căn thức bậc hai
-Căn bậc hai của số thực là số thực sao cho .
-Cho số thực không âm. Căn bậc hai số học của kí hiệu là là một số thực không âm mà bình phương của nó bằng
-Với hai số thực không âm ta có:
-Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+ nếu
+ với với
+ với
+ với (Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+ với (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)
2. Căn thức bậc ba, bậc n
a. Căn thức bậc 3
Căn bậc 3 của một số kí hiệu là là số sao cho
-Cho
-Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc 3.
-Nếu thì
-Nếu thì
-Nếu thì
- với mọi
- với mọi
-
-
- với
-
- với
b. Căn thức bậc n
Cho số Căn bậc của một số là một số mà lũy thừa bậc của nó bằng
-Trường hợp là số lẻ:
Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
nếu thì nếu thì nếu thì
-Trường hợp là số chẵn:
Mọi số thực đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là (gọi là căn bậc số học của Căn bậc chẵn âm kí hiệu là và
và
II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU
Dạng 1: Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị các biểu thức.
Phương pháp:
Biến đổi các biểu thức trong dấu về dạng sau đó dựa vào dấu của A để mở dấu giá trị tuyệt đối nếu có.
Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc:
- Với thì
- Nếu thì với
Rút gọn các biểu thức:
a. khi
b. khi
c.
Lời giải:
a.
+ Nếu thì
+ Nếu thì
b.
Hay
+ Nếu thì suy ra
+ Nếu thì suy ra
c. Để ý rằng:
Suy ra
Hay
Ví dụ 2.
Chứng minh:
a. Tính
b. là một số nguyên
(Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
c. Chứng minh rằng: với là số tự nhiên.
d. Tính biết
e. Cho các số thực thỏa mãn: Tính giá trị của
Lời giải:
a. Dễ thấy
Cách 1: Ta có
Suy ra
Cách 2: Ta viết lại
b. Áp dụng hằng đẳng thức: Ta có:
Hay
mà suy ra Vậy là số nguyên.
c. Áp dụng hằng đẳng thức:
Ta có (1)
Xét đa thức bậc hai với
+ Khi ta có
+ Khi ta có âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất Vậy với mọi
Ta có: là số tự nhiên.
d. Nhận xét:
Kết hợp với giả thiết ta suy ra
Tổng quát ta có: thì
e. Nhân 2 vế đẳng thức với: ta có:
Hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay
Ví dụ 3.
a. Cho Tính giá trị biểu thức:
b. Cho Tính giá trị của biểu thức
(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016).
c. Cho Tính giá trị biểu thức:
Lời giải:
a. Ta có:
Từ đó suy ra
Ta biến đổi:
b. Ta có Ta biến đổi biểu thức P thành:
c. Để ý rằng: ta nhân thêm 2 vế với để tận dụng hằng đẳng thức:
Khi đó ta có:
Ta biến đổi:
Ví dụ 4.
a. Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
b. Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện:
c. Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện:
d. Giả sử là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
e. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
Lời giải:
a. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (đpcm).
b. Ta viết lại giải thiết thành:
Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
c. với thì phương trình đã cho trở thành:
Chi 2 vế cho thì phương trình trở thành Để ý rằng hoặc không thỏa mãn phương trình.
Xét Theo bất đẳng thức ta có: Suy ra
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy là nghiệm của phương trình.
d. Đặt
Tương tự đặt Khi đó
Theo giả thiết ta có: Lại có
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy
e. Đặt Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức ở (**) ta có
Suy ra Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Ta cũng có: mà
với mọi Suy ra Vậy
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc tức là hoặc .
Ví dụ 5.
Cho và
a. Tính giá trị biểu thức:
b. Chứng minh rằng:
Lời giải:
a. Để ý rằng:
Tương tụ đối với ta có
Suy ra
b. Tương tự như câu a)
Ta có:
Ví dụ 6.
a. Tìm thỏa mãn:
b. Cho với nguyên dương. Tính
Lời giải:
a. Đẳng thức tương đương với:
Hay
b. Đặt
Suy ra Áp dụng vào bài toán ta có:
Ví dụ 7.
a. Cho số nguyên dương Tính giá trị biểu thức sau theo
b. Cho các số thực dương thỏa mãn: Chứng minh:
Lời giải:
a. Với mọi số thực khác 0 sao cho: thì
Áp dụng vào bài toán ta có:
Áp dụng lần lượt với các số hạng còn lại ta được:
b. Đặt
Suy ra dẫn đến tương tự
suy ra
đpcm.
Dạng 2: Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số.
Phương pháp: Để giải quyết các bài tập dạng này ta cần chú ý các tính chất cơ bản:
Với số thực thì.
+
+ (Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
+ với các số thực
+ với
Ví dụ 1.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của với các số thực thỏa mãn
d. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
e. Cho số thực thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
f. Tìm giá trị nhỏ nhất của với
g. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải:
a. Điều kiện ta viết lại , vì
dẫn đến dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi khi đó giá trị nhỏ nhất của là 1.
b. Điều kiện Ta viết lại vì nên áp dụng bất đẳng thức dạng với các số thực không âm ta có:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá rị nhỏ nhất của bằng 1 tại
c. Ta có do nên áp dụng bất đẳng thức cho 2 số thực dương ta có: suy ra dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tương tụ ta có: dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Từ đó suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Hay GTNN của là 24 tại
d. Điều kiện Ta viết lại do suy ra ta có suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
e. Đặt do suy ra
Biểu thức có dạng
Đặt từ giả thiết ta có:
Mặt khác ta cũng có:
Hay Vậy
Ta có: Từ đó ta có:
dấu đằng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc hoặc
Ta có: dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Cách khác:
Ta có: thì Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc
Ta cũng có:
Hay Theo bất đẳng thức ta có
nên:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và hay Vậy GTNN của là GTLN của là
f. Điều kiện để biểu thức xác định là
+ Nếu thì nên
Do nên
+ Nếu thì nên
(Theo bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTNN của bằng 8 khi
g. Điều kiện:
Ta viết lại do với mọi thỏa mãn nên ta có dấu đẳng thức xảy ra tại Vậy GTNN của bằng tại
Ví dụ 2.
a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
b. Tìm gái trị lớn nhất của
c. Tìm giá trị lớn nhất của
d. Tìm giá trị lớn nhất của
e. Tìm giá trị lớn nhất của
f. Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải:
a. Điều kiện: ta viết lại thành: Vì nên
suy ra dẫn đến dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của bằng 1 tại
b. Điều kiện: ta có suy ra
+ Khi thì (1)
+ Khi thì ta có áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số thực dương ta có: suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2)
Kết hợp (1),(2) ta suy ra GTLN của bằng tại
Chú ý: Học sinh hay mắc sai lầm khi đưa về mà không xét (Biểu thức chỉ xác định khi
c. Điều kiện chú ý:
nếu thì (3)
Xét khi đó ta có:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số thực dương ta có: suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (4).
Kết hợp (3),(4) ta suy ra GTLN của bằng tại
d. Điều kiện Ta có theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
nên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTLN của D bằng tại
e. Điều kiện do nên suy ra E xác định khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: suy ra
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTLN của E bằng 24 khi
f. Điều kiện:
Ta viết lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng
ta có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Phương pháp:
+ Đối với các biểu thức với là số nguyên, C nhận giá trị nguyên hoặc vô tỷ thì P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi C là số nguyên và C là ước số của B.
+ Đối với các biểu thức với là số hữu tỷ, C nhận giá trị thực. Ta thường tìm cách đánh giá P, tức là chặn P theo kiểu từ đó suy ra các giá trị có thể của P. Hoặc ta tìm điều kiện của P để tồn tại biến thỏa mãn yêu cầu bài toán từ đó suy ra các giá trị nguyên có thể của P.
+ Đối với các bài toán tổng hợp học sinh cần chú ý điều kiện ban đầu để loại các giá trị không thỏa mãn.
Ví dụ 1.
a. Tìm các giá trị nguyên của để là số nguyên.
b. Tìm tất cả các số thực để là số nguyên.
c. Chứng minh: Không tồn tại giá trị thực của để là số nguyên
Lời giải:
a. Điều kiện Ta viết lại Do là số nguyên nên nhận giá trị nguyên hoặc vô tỷ. Suy ra là số nguyên khi và chỉ khi là số nguyên và là ước của 3. Chú ý
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
b. Điều kiện
Do nên suy ra ta có
như vậy Vì là số nguyên nên có thể nhận các giá trị
TH1: do
TH2: hoặc
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
c. Điều kiện dễ thấy là số dương. Để ý rằng: suy ra vì là số nguyên nên có thể nhận các giá trị là 1 hoặc 2.
TH1: vô lý.
TH2: vô lý.
Vậy không tồn tại để là số nguyên.
Cách khác: Giả sử tồn tại giá trị để là số nguyên. Khi đó ta có:
(*)
Nếu thì (*) thì có dạng vô lý, vậy Từ (*) ta cũng suy ra do ta suy ra phải thỏa mãn để ý rằng nên điều kiện (**), do là số nguyên nên (**) không thể xảy ra. Tóm lại không thể nhận giá trị nguyên.
Dạng 4:Bài toán tổng hợp
Bài 1. Cho với
a. Chứng minh khi thì
b. Rút gọn và tìm để
Lời giải:
a. Ta có thay vào ta có:
b. Ta có:
Suy ra yêu cầu bài toán tương đương với
hay hoặc
Ta có
Đối chiếu với điều kiện bài toán ta thấy thỏa mãn.
Bài 2. Cho biểu thức: với
a. Rút gọn biểu thức
b. Đặt Tính giá trị của khi
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
a.
b. Khi ta có
c. Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vật GTNN của là 1 tại
Bài 3. Cho với
a. Rút gọn
b. Tính giá trị của khi
c. Đặt tìm để
Lời giải:
a. Điều kiện xác định:
Ta có:
b. Khi thì
c. Ta có
Hay (*).
TH 1: đối chiếu với điều kiện suy ra
TH 2: đối chiếu với điều kiện suy ra
Vậy khi và chỉ khi hoặc
Bài 4. Cho biểu thức
a. Rút gọn
b. Tìm sao cho nhận giá trị là một số nguyên.
Lời giải:
a. Với ta có:
b. Ta có: nên
Vì nên ta có:
kết hợp với điều kiện là một số nguyên suy ra
+ Nếu thỏa mãn điều kiện.
+ Nếu không thỏa mãn điều kiệ.
Vậy thì nhận giá trị là nguyên.
Bài 5. Cho biểu thức với
a. Tìm để
b. Chứng tỏ không phụ thuộc vào .
c. Tìm để
Lời giải:
a. Ta có
b. Ta có:
suy ra
c. Ta có
Vì nên suy ra điều kiện là
Vậy để thì điều kiện là:
Bài 6. Cho biểu thức với
a. Rút gọn biểu thức
b. Tính giá trị của biết
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
a. Ta có:
b. Với thày vào ta có:
c. Ta có: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTNN của bằng 4 khi
Bài 7. Cho biểu thức với
a. Tính giá trị của khi
b. Rút gọn
c. Tìm để
Lời giải:
a. Khi thì suy ra
b. Ta có:
Hay
c.
do thỏa mãn hay
Bài 8. Cho với
a. Rút gọn
b. Tính giá trị của khi
c. Tìm các giá trị của để là số tự nhiên.
Lời giải:
a. Ta có
Hay
b. Với thì suy ra
c. Ta có
Do nên suy ra Vì là số nguyên nên
Đối chiếu điều kiện ta thấy là các giá trị cần tìm.
Cách khác: Để là số nguyên thì điều kiện cần và đủ là: (với là số nguyên dương và
Ta có: do điều kiện do
hay suy ra
Bài 9. Cho biểu thức với
a. Chứng minh rằng
b. Tính giá trị biểu thức khi và
c. Tìm giá trị lớn nhất của nếu
Lời giải:
a. Ta có:
Hay
b. Khi
c. Theo bất đẳng thức ta có: Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTLN của là
Bài 10. Cho 2 biểu thức với
a. Rút gọn , tìm để
b. Tìm tất cả các giá trị của để nhận giá trị nguyên dương.
Lời giải:
a. Ta có:
(TMĐK).
b. Ta có: Vì là số nguyên dương nên ta có:
TH1: thỏa mãn điều kiện.
TH2: thỏa mãn điều kiện.
TH3: thỏa mãn điều kiện.
Bài 11. Cho biểu thức
a. Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn
b. Tìm giá trị của để
c. Khi hãy tìm GTNN của
Lời giải:
Điều kiện: (*).
a. Ta có:
b. thỏa mãn (*)
c. Khi thì Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng ta có: Suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi thỏa mãn (*). Vậy GTNN của là 20 khi
Bài 12. Cho biểu thức với
a. Rút gọn
b. Tìm các giá trị để tồn tại sao cho
Lời giải:
a. Ta có
b. Theo giả thiết ta có: Đặt điều kiện Phương trình trở thành: Để phương trình có nghiệm điều kiện là Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: suy ra trong hai nghiệm tồn tại ít nhất 1 nghiệm dương. Như vậy ta chỉ cần tìm điều kiện để không phải là nghiệm. Tức là: Vậy điều kiện cần tìm là:
Bài 13. Cho biểu thức với
a. Rút gọn
b. Tính khi
c. Với giá trị nào của thì
Lời giải:
a. Ta có:
b. Ta có: nên
c.
Vì nên suy ra
Kết hợp với điều kiện đề bài ta suy ra
Bài 14. Cho biểu thức: với
a. Rút gọn
b. Tìm các giá trị của để
c. Chứng minh:
Lời giải:
a. Ta có
với
b.
c. Ta có: Theo bất đẳng thức Cô si dạng ta có:
suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi không thỏa mãn điều kiện Vậy với mọi
Bài 15. Cho
a. Rút gọn
b. So sánh với 4.
c. Tìm thỏa mãn điều kiện:
Lời giải:
Điều kiện xác định:
a. Ta có:
b. Ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
c. Tìm thỏa mãn điều kiện:
Ta có: Chia hai vế cho ta thu được: Đặt với ta có:
Nếu vô nghiệm. Do
Nếu thỏa mãn điều kiện.
Kết luận:
Bài 16. Cho và .
Tính giá trị biểu thức:
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Để ý rằng:
Tương tự đối với ta có:
Suy ra .
Tương tự như câu a)
Ta có:
Bài 17.
a) Tìm thỏa mãn:
b) Cho với nguyên dương. Tính .
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:
Hay
b) Đặt .
Suy ra . Áp dụng vào bài toán ta có:
Bài 18.
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .
c) Chứng minh: với mọi số nguyên dương .
Lời giải:
a) Xét ,
Dễ thấy .
Ta có
Mặt khác ta có:
Suy ra . Do suy ra .
b) Để ý rằng: với mọi nguyên dương.
Suy ra .
c) Đặt
Ta có: với mọi số tự nhiên .
Từ đó suy ra hay
Do đó: và .
Hay .
Bài 19.
a) Cho ba số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: .
b) Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện: .
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (đpcm).
b) Ta viết lại giả thiết thành: .
Áp dụng bất đẳng thức : ta có: . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Bài 20. Cho với
a) Rút gọn .Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức xác định là .
+ Nếu thì nên
Do nên .
+ Nếu thì nên (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy GTNN của bằng khi .
b) Xét thì , ta thấy khi và chỉ khi là ước số nguyên dương của . Hay đối chiếu điều kiện suy ra hoặc
+ Xét ta có: , đặt khi đó ta có: suy ra .
Tóm lại để nhận giá trị nguyên thì .
Bài 21. Hãy chứng tỏ rằng số là một nghiệm của phương trình .
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức , ta được
.
Suy ra: .
Vậy là một nghiệm của phương trình .
Bài 22. Cho .
Tìm các số nguyên để là số nguyên.
Chứng minh rằng với thì là số nguyên.
Tìm các số hữu tỉ để là số nguyên.
Lời giải:
Ta có . Để là số nguyên thì phải là số nguyên.
Ta biết rằng khi là số nguyên thì hoặc là số nguyên (nếu là số chính phương) hoặc là số vô tỉ ( nếu không là số chính phương). Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ, do đó là số nguyên, suy ra là ước tự nhiên của .
Ta có
| | |
| | |
| | |
| | |
Ta có . Để là số nguyên thì phải là số nguyên.
Đặt , ta có:
do đó (do ).
Giải điều kiện , ta được .
Do nên . Ta có
III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO CHUYÊN
Bài 1. Cho biểu thức .
Tính giá trị biểu thức của P với và .
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2012 – 2013)
Hướng dẫn
Xét bình phương hai vế ta được:
Xét bình phương hai vế ta được:
.
.
Bài 2. Cho và .
Tính giá trị của biểu thức theo a.
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014)
Hướng dẫn
Ta có:
.
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức:
Với .
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015)
Hướng dẫn
Đặt .
Xét
.
Ta có:
.
Bài 4.Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để .
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2014 – 2015)
Hướng dẫn
a) TXĐ: .
.
b)
(thỏa mãn điều kiện). Vậy để thì .
Bài 5.Rút gọn biểu thức:
.
Hướng dẫn
Đặt , biểu thức có dạng:
. Vậy .
Bài 6. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện .
Tính giá trị của biểu thức:
Hướng dẫn
Thay vào biểu thức A, ta có:
.
Bài 7. Tính giá trị biểu thức: biết:
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014)
Hướng dẫn
Xét
Nhận xét: nên
Từ đó suy ra
.
Bài 8. Thực hiện phép tính:
a) ; b) .
Hướng dẫn
a) .
b)
.
Bài 9. Rút gọn biểu thức: .
Hướng dẫn
Ta có:
.
Bài 10. Rút gọn biểu thức:
a) b) .
Hướng dẫn
a) Ta có:
.
b) Ta có:
.
Bài 11. Cho và . Tính .
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007 – 2008)
Hướng dẫn
Ta có:
Ta có:
.
Suy ra: .
Ta có: .
Bài 12. Xác định biết: .
Hướng dẫn
Xét vế trái:
.
Đồng nhất hai vế ta được: .
Bài 13. Cho . Với .Chứng minh rằng .
Hướng dẫn
Ta có:
ĐKXĐ:
.
Bình phương hai vế, ta được: .
Vì nên .
Xét .
Điều phải chứng minh.
Bài 14. Tính giá trị biểu thức tại .
Hướng dẫn
Ta có:
Ta có:
Thay vào biểu thức M ta có:
.
Bài 15. Cho biểu thức:
a) Rút gọn M;
b) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Hướng dẫn
a) Ta có:
. TXĐ: .
b) Ta có: . Vì
nên .
Vậy giá trị lớn nhất của M là 2020 khi .
Bài 16. Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để .
(Tuyển sinh lớp 10 chuyên, ĐHSP, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2015 – 2016)
Hướng dẫn
a) Ta có:
b)
, thuộc tập xác định.
Vậy với thì .
Bài 17. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện .
Đặt: . Tính .
Hướng dẫn
Thay vào biểu thức P, ta có:
.
Bài 18. Cho biểu thức với .
a) Rút gọn biểu thức: với .
b) Tìm tất cả các giá trị sao cho P là số nguyên tố.
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Đà Nẵng, năm học 2012 – 2013)
Hướng dẫn
Đặt khi đó biểu thức P có dạng:
.
a) Do đó
Suy ra .
Theo câu a, ta có nên
, P là số nguyên tố nên P phải là số nguyên dương.
Ư(3)
| 1 | 3 | |
| 4 | 6 | |
| 15 | 35 |
Thử lại, với thì là hợp số (loại);
với thì là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy với thì là số nguyên tố.
Bài 19. Cho và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí của các biến.
.
Hướng dẫn
Ta có:
. Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí của các biến.
Bài 20. Cho biểu thức:
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi thỏa mãn điều kiện: và .
Hướng dẫn
Ta có:
. Điều phải chứng minh.
Bài 21. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi .
c) Tìm x để P có giá trị là số tự nhiên.
d) Tìm x để .
Hướng dẫn
a) Ta có:
. ĐKXĐ: và .
b) thuộc TXĐ.
Thay vào biểu thức P, ta có:
.
c) Ta có: . Để P có giá trị là số tự nhiên thì và ,
Từ đó ta có bảng giá trị sau:
| 1 | 3 | |
| 3 | 5 | |
| 9 | 25 |
Kết hợp với tập xác định, với thì P nhận giá trị là số tự nhiên.
d)
và khác dấu.
Mặt khác, ta có
Do đó:
Kết hợp với tập xác định, ta có: thì .
Bài 22. Rút gọn biểu thức: .
Với .
Hướng dẫn
Ta có:
.
Bài 23. Chứng minh rằng nếu là các số dương thỏa mãn thì ta luôn có:
Hướng dẫn
Từ giả thiết, suy ra
Xét vế trái:
.
Vế trái = Vế phải. Điều phải chứng minh.
Bài 24. Chứng minh rằng:
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn
Cách 1. Đặt
Đặt
Ta có:
Xét
Mà . Điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có:
. Điều phải chứng minh.
Bài 25. Cho dãy số thỏa mãn và với . Tính .
Hướng dẫn
Ta có:
.
Ta có:
.
Từ đó suy ra . Vậy .
Bài 26. Cho số thực thỏa mãn .Chứng minh rằng:
Hướng dẫn
Từ giả thiết
Nhận xét: Vì nên loại, suy ra .
Xét
Từ đó ta có: . Điều phải chứng minh.
Bài 27.
a) Cho thỏa mãn: . Tính
.
b) Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình:
( dấu căn, ) .
Hướng dẫn
a) Ta có: ⇔
Mặt khác:
⇒ .
Chứng minh tương tự
.
.
⇒ .
⇒ .
b) Nhận xét: là số chính phương vì
(n dấu căn) .
⇒ ( dấu căn) .
⇒ ( dấu căn) .
⇒ là số chính phương .
⇒ là số chính phương ⇒ ⇒ .
Bài 28. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020)
Cho biểu thức: với .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các giá trị của để P < 1.
Hướng dẫn
a)
b)
Vậy
Bài 29. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức:
Hướng dẫn
Do đó:
Vậy
Cách khác:
Ta có:
Do đó:
Vậy
Bài 30. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: .
Hướng dẫn
=
=
=
=
= 35
Bài 31. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020)
Cho là các số thực dương và
Chứng minh rằng
Hướng dẫn
Đặt , ta có
.
.
Bài 32. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức: khi .
Hướng dẫn
Ta có .
..
..
Bài 33. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020)
Cho biểu thức với .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm tất các giá trị của để .
Hướng dẫn
a) Biến đổi được
Biến đổi được
b)
TH1:
TH2: (không xảy ra).
Vậy các giá trị cần tìm là .
Bài 34. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức trong đó .
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị nguyên của để giá trị biểu thức là số nguyên.
Hướng dẫn
a)
Nếu thì
Nếu thì
b) - Nếu thì không có giá trị nguyên.
- Nếu thì
+
+
Bài 35. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: ( ).
Hướng dẫn
Bài 36.(Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020)
Cho các số thực thoản mãn .Chứng minh rằng .
Hướng dẫn
Đặt và thì đẳng thức đề bài có thể viết lại thành .
Do nên .
Từ đó ta có hay .
Suy ra . Đây là kết quả cần chứng minh.
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn B.
b) So sánh và .
Lời giải
a) .
Ta có :
b) Vì và
Nên với mọi thỏa mãn điều kiện đã cho
Lại có:
Dấu “ = “ không xảy ra vì
Vậy , nên
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
Chứng minh là nghiệm của phương trình
Lời giải
Ta có:
, với
Ta có:
Vậy bài toán được chứng minh
(Đề thi HSG 9 huyện Nông Cống 2019-2020)
Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức
Tìm x để
Lời giải
Với biểu thức có nghĩa. Ta có:
Ta có :
TH1:
TH2:
Vậy 0 hoặc
(Đề thi HSG 9 huyện Yên Định 2012-2013)
Cho
a) Rút gọn .
b) Tìm x để
c) Tìm giá trị lớn nhất của .
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b)
(vì )
c)
Vậy GTLN của A =
(Đề thi HSG 9 huyện Chư Sê 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: .
Lời giải
.
(Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức sau:
Lời giải
(Do ).
(Đề thi HSG 9 huyện Thường Tín 2019-2020)
Cho biểu thức:
a) Rút gọn .
b) Chứng minh: .
Lời giải
a) Điều kiện: có nghĩa:
.
b) (BĐT Cauchy)
Vì đẳng thức xảy ra không thỏa mãn điều kiện xác định nên .
(Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019)
1. Rút gọn biểu thức: với
2. Cho . Tìm sao cho .
Lời giải
1.
Vậy
2. + Ta có: xác định khi
+ Ta có: xác định khi
Ta có nên
Kết hợp với điều kiện suy ra
Vậy khi .
(Đề thi HSG 9 huyện Bình Giang 2019)
Cho biểu thức
1) Tìm để .
2) Biết , hãy tính giá trị của .
3) Tìm giá trị của nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên?
4) Tìm để
Lời giải
Rút gọn: điều kiện:
Do
Kết hợp điều kiện ta có:
Ta có:
Thay vào biểu thức ta được
Ta có:
Để nguyên thì
Ta có bảng sau:
| | | | |
| 6 | 4 | 2 | 0 |
| 36 | 16 | 4 | 0 |
Thay vào biểu thức ta được:
Với , ta có:
, dấu “=” xảy ra
, dấu “=” xảy ra
Do
(Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vòng 2 năm 2020)
Cho .
Tìm nguyên để .
Lời giải
ĐKXĐ: .
Ta có:
Khi đó
Ta có
TH1:
TH2:
TH3: loại
TH4: loại
Vậy với hoặc thì .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013)
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm các giá trị của x để
Lời giải
1/ Rút gọn biểu thức A.
(ĐK: x )
2/ Tìm các giá trị của x để
Kết hợp với ĐK Þ
(Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012)
Cho biểu thức:
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a)
b)
c) ĐK: :
Học sinh lập luận để tìm ra hoặc
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012)
Cho biểu thức
Rút gọn
Tính giá trị của khi
Lời giải
1) (ĐK: )
Đặt ( )
2)
(Đề thi HSG 9 huyện Vĩnh Bảo 2013-2014)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P với .
Lời giải
a) ĐKXĐ: .
Mẫu thức chung là 1 – xy
b) Ta có:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương - 2013-2014)
Rút gọn biểu thức
với .
Lời giải
=
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014)
Cho biểu thức .
a) . Rút gọn biểu thức A.
b) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A.
Lời giải
a) Điều kiện: .
Vậy
b) Theo Côsi, ta có: .
Dấu bằng xảy ra Û Û x = y = .
Vậy maxA = 9, đạt được khi : x = y = .
(Đề thi HSG 9 huyện … 2013-2014)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P tại .
Lời giải
a) Điều kiện
Vậy
b) Ta có:
Vậy do đó
: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thái Bình 2011 - 2012)
Cho biểu thức:
với
Tính giá trị của biểu thức P với
Lời giải
Vậy
(Đề thi vào 10 chuyên TPHCM 2010 - 2011)
Thu gọn biểu thức: A=
Lời giải
Xét M =
Ta có M > 0 và , suy ra M =
A= -( -1)=1
(Đề HSG 9 huyện Xuyên Mộc 2016 - 2017)
Rút gọn biểu thức: với .
Lời giải
Ta có
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013)
Rút gọn :
Lời giải
ĐK:
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012)
Thực hiện phép tính :
Lời giải
Nhân số bị chia và số chia với ta được:
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016)
Cho biểu thức với
Rút gọn biểu thức M
Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
Lời giải
:
M nguyên nguyên là ước của 2
(Đề thi HSG 9 Tỉnh An Giang 2013-2014)
Lời giải
Ta có :
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018)
Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A. Tìm các số nguyên để là số nguyên.
Lời giải
là ước của 3; chỉ có có nghiệm thỏa mãn ĐK.
(Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017)
Tính giá trị của biểu thức: tại
Lời giải
Ta có
Suy ra hay
Do đó
(vì
Vậy tại
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019)
Rút gọn biểu thức
Lời giải
Ta có:
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn B.
b) So sánh và .
Lời giải
a) .
Ta có :
b) Vì và
Nên với mọi thỏa mãn điều kiện đã cho
Lại có:
Dấu “ = “ không xảy ra vì
Vậy , nên
(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020)
Cho biểu thức
Chứng minh là nghiệm của phương trình
Lời giải
Ta có:
, với
Ta có:
Vậy bài toán được chứng minh
(Đề thi HSG 9 huyện Nông Cống 2019-2020)
Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức
Tìm x để
Lời giải
Với biểu thức có nghĩa. Ta có:
Ta có :
TH1:
TH2:
Vậy 0 hoặc
(Đề thi HSG 9 huyện Yên Định 2012-2013)
Cho
a) Rút gọn .
b) Tìm x để
c) Tìm giá trị lớn nhất của .
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b)
(vì )
c)
Vậy GTLN của A =
(Đề thi HSG 9 huyện Chư Sê 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: .
Lời giải
.
(Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức sau:
Lời giải
(Do ).
(Đề thi HSG 9 huyện Thường Tín 2019-2020)
Cho biểu thức:
a) Rút gọn .
b) Chứng minh: .
Lời giải
a) Điều kiện: có nghĩa:
.
b) (BĐT Cauchy)
Vì đẳng thức xảy ra không thỏa mãn điều kiện xác định nên .
(Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019)
1. Rút gọn biểu thức: với
2. Cho . Tìm sao cho .
Lời giải
1.
Vậy
2. + Ta có: xác định khi
+ Ta có: xác định khi
Ta có nên
Kết hợp với điều kiện suy ra
Vậy khi .
(Đề thi HSG 9 huyện Bình Giang 2019)
Cho biểu thức (căn lề -cỡ chữ 12)
1) Tìm để .
2) Biết , hãy tính giá trị của .
3) Tìm giá trị của nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên?
4) Tìm để
Lời giải
Rút gọn: điều kiện:
Do
Kết hợp điều kiện ta có:
Ta có:
Thay vào biểu thức ta được
Ta có:
Để nguyên thì
Ta có bảng sau:
| | | | |
| 6 | 4 | 2 | 0 |
| 36 | 16 | 4 | 0 |
Thay vào biểu thức ta được:
Với , ta có:
, dấu “=” xảy ra
, dấu “=” xảy ra
Do
(Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vòng 2 năm 2020)
Cho .
Tìm nguyên để .
Lời giải
ĐKXĐ: .
Ta có:
Khi đó
Ta có
TH1:
TH2:
TH3: loại
TH4: loại
Vậy với hoặc thì .
(Đề thi HSG 9 huyện BA VÌ 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn .
b) Tìm các giá trị của để .
c) Tìm các giá trị của để .
Lời giải
Cho biểu thức
a)Sau khi biến đổi thu gọn ta được
b)Với với ( không thỏa mãn đkxđ)
c) và .
(Đề thi HSG 9 VINH 2019-2020)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn
b) Tính giá trị của tại
Lời giải
a) Điều kiện
Vậy .
b)
.
Vậy do đó .
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020)
Với giá trị nào của thì có nghĩa?
Lời giải
Để biểu thức có nghĩa thì
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020)
Rút gọn biểu thức
Lời giải
Ta có
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020)
Rút gọn biểu thức với
Lời giải
(Vì )
(Đề thi HSG 9 tỉnh ĐÀ NẴNG 2010-2011)
Cho biểu thức: với .
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Lời giải
a) Do nên: và
Þ
Do nên:
Þ
b) Ta có do đó chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
Mà N = 1 Û Û Û
Û (phù hợp)
Vậy nguyên Û
(Đề thi HSG 9 huyện HOÀNG HÓA 2019)
Cho biểu thức .
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức khi
Lời giải
a/ ĐKXĐ: ,
Ta có
b) Rút gọn khi .
Ta có
(vì )
Thay vào biểu thức thu gọn ta được
(Đề thi HSG 9 huyện NAM ĐÀN 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức:
a) .
b) (Điều kiện: ).
Lời giải
a)
.
b) Vì nên và . Khi đó:
.
(Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009)
Chứng minh rằng : là số nguyên.
Lời giải
= .
(Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019)
Tính giá trị biểu thức:
Lời giải
Vậy
(Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019)
Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
(Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
.
(Đề thi HSG 9 huyện Như Thanh 2019-2020)
Cho biểu thức:
1. Tìm điều kiện của để có nghĩa và rút gọn biểu thức .
2. Tìm để biểu thức nhận giá trị bằng 2.
3. Tính giá trị của biểu thức tại .
Lời giải
1. ĐKXĐ: ; .
.
Vậy với ; .
2. Ta có
(vì với )
Vậy thì .
3. Ta có :
Thay thỏa mãn ĐKXĐ vào ta được .
Vậy với .
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Động 2019-2020)
a) Rút gọn biểu thức: .
b) So sánh và .
Lời giải
a)
.
b) Ta có
Vậy ta có .
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2019-2020)
a) Tính giá trị biểu thức .
b) Chứng minh rằng: .
c) Tính giá trị biểu thức với .
d) Cho và . Tính .
Lời giải
a)
.
b) .
c)
Với , ta có: .
d) Ta có: và .
Vậy .
(Đề thi HSG 9 Quảng Trị 2019-2020)
1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biết
Lời giải
1.
2.
(Đề thi HSG 9 Quận Cầu Giấy 2019-2020)
Cho biểu thức . .
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa và rút gọn .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải:
a) Để có nghĩa thì:
Vậy với thì có nghĩa.
Ta có: . với
.
Vậy với thì .
b) Ta có:
Để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị lớn nhất
phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Lại có nên .
Giá trị nhỏ nhất của khi và chỉ khi
Giá trị nhỏ nhất của khi và chỉ khi
Vậy với thì có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
(Đề thi HSG 9 Huyện Quan Sơn 2019-2020)
Cho
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì .
2. Tìm x nguyên biết đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Lời giải
1.
a)
b) .
Với thì . Nên
Vậy
2. Ta có
có giá trị lớn nhất khi có giá trị lớn nhất là số nguyên dương nhỏ nhất
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2011 - 2012)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
b/ Cho
+ Tìm điều kiện của để xác định.
+ Rút gọn
Lời giải
a/
b/
+ xác định khi x 0 và x
+ Rút gọn =
= = = 2
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2012 - 2013)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b/ Rút gọn
Lời giải
a/
b/ Với ĐK : ta có:
=
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2013 - 2014)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2. Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để xác định. Rút gọn
b) Tính giá trị của khi x =
c) Tìm giá trị của để
Lời giải
1.
2. a)
Điều kiện để xác định:
=
b) Khi biểu thức có giá trị là:
c) Với ta có:
(thoả ĐK)
Vậy thì
(Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2014 - 2015)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2. Cho biểu thức
a/ Rút gọn biểu thức .
b/ Tìm để
c/ Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên
Lời giải
1.
2. a/ Với ĐK : ta có:
=
b/ Với ĐK : ta có
Vậy thì
c) Ta có =
Vậy nguyên khi suy ra
Do nên
(Đề thi HSG 9 huyện Đồng Xuân 2015-2016)
Cho biểu thức A = với
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính A khi x =
c/ Tìm x để A có giá trị là
Lời giải
a/ Rút gọn biểu thức A.
Với ta có
b/ Khi x = ta có A =
Vậy khi x = thì A =
c/ Với ta có A =
x = 25 ( thỏa ĐK)
Vậy x = 25 thì A =
(Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ 2019-2020)
Cho biểu thức:
Tìm x để A <1
Biết , hãy tính giá trị của
Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên, khi
Tìm x để
Lời giải
a)Đk:
Rút gọn
Do A<1 nên suy ra:
Kết hợp với điều kiện rồi kết luận:
b)- Tính được A = 3
Từ đó suy ra: , tìm được x = 9 (tmđk)
Thay vào biểu thức
c)- Tính được
Để P nguyên thì từ đó lập luận tìn x là 0; 36; 16; 4
So sánh điều kiện và kết luận x
d)Thay A vào rồi biến đổi đưa về dạng
Đánh giá VT 5; VP 5 với mọi x thuộc ĐKXĐ
Từ đó quy ra: dấu bằng xảy ra khi x = 9
Kết luận
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của :
.
Điều kiện , ; ; .
2. Rút gọn biểu thức: .
Lời giải
1. Với điều kiện , ; ;
Ta có
.
Vậy không phụ thuộc vào giá trị của .
2.
Vậy .
(Đề thi HSG 9 huyện Kỳ Anh 2019-2020)
a) Tính giá trị của biểu thức :
b) Cho Tính giá trị của :
Lời giải
Từ giả thiết ( bình phương 2 vế)
Mặt khác :
Vậy :
(Đề thi HSG 9 quận Thanh Xuân 2019-2020)
Cho biểu thức
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị của khi
Lời giải
a)
b)Ta có
Vậy
(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2014-2015)
a) Cho . Chứng minh rằng:
; .
b) Rút gọn biểu thức: .
ĐÁP ÁN
a) Cho . Chứng minh rằng:
(1);
(2).
(2).
Đặt
Bình phương 2 vế ta được: .
Từ đó ta có: (3).
Tương tự ta cũng có: (4).
Lấy (3) cộng (4) ta được: ; Lấy (3) trừ (4) ta được: .
b) Rút gọn biểu thức: .
Điều kiện . Áp dụng công thức (1) ta được:
.
Với hoặc ta đều có: .
Ta lại có:
.
Vậy .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2015-2016)
Cho biểu thức:
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P > 6.
ĐÁP ÁN
a) Rút gọn P
Điều kiện: a > 0, a ≠ 1. Ta có:
.
b) Chứng minh P > 6
Ta có
và .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2016-2017)
Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
với và .
ĐÁP ÁN
Rút gọn biểu thức:
với và .
Ta có: ;
=
,
Suy ra: .
Vì
Suy ra : .
(ĐỀ TS VÀO 10 CHUYÊN TOÁN HÀ NAM 2013-2014)
Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của và để xác định và rút gọn .
b) Tính giá trị của khi ,
Lời giải:
a)
ĐK xác định của :
=
b) Ta có với ,
Vậy
Từ đó
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH 2012-2013)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn .
b) Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
a) ĐK: . Ta có:
.
b)
Vậy GTNN của , dấu xảy ra khi .
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM THỦY (V2) 2011-2012)
Cho biểu thức:
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a/
b/
c/ ĐK: .
Với , , ta có .
(Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2012-2013)
Cho , thỏa mãn .Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta có:
(Đề thi HSG 9 huyện CẨM GIÀNG 2013-2014)
a) Cho biểu thức: .
Tính giá trị của khi .
b) Cho . Chứng minh rằng .
Lời giải
a) Ta có
.
Thay vào biểu thức , ta có:
.
Vậy khi thì giá trị của biểu thức là 2014.
b)
.
Tương tự
Do đó (đpcm).
(Đề thi HSG 9 huyện KIÊN GIANG 2012-2013)
Rút gọn: .
Lời giải
Điều kiện:
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh THANH HÓA 2018-2019)
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức .
2/ Tìm các giá trị của để .
Lời giải
1/ Rút gọn biểu thức .
(ĐK: )
A = =
2/ Tìm các giá trị của x để
Kết hợp với ĐK Þ .
(Đề thi HSG 9 huyện KIM THÀNH 2012-2013)
a/ Rút gọn biểu thức
b/ Cho thoả mãn: . Hãy tính giá trị biểu thức
Lời giải
a/ Rút gọn biểu thức
ĐKXĐ:
=
b/ Ta có:
Tương tự:
Thay các kết quả trên vào biểu thức để tính.
(Đề thi HSG 9 tỉnh AN GIANG 2013-2014)
Tính:
Lời giải
Ta có :
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2013-2014)
Rút gọn biểu thức với .
Lời giải
= .
(Đề thi HSG 9 tỉnh HƯNG YÊN 2014-2015)
Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Ta có :
Thay vào ta có:
(ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VĨNH BẢO 2013-2014)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của với .
Lời giải:
a) ĐKXĐ: .
Mẫu thức chung là
b)
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014-2015)
Cho biểu thức (với , ).
a) Rút gọn .
b) Chứng minh rằng , với mọi , .
c) Tìm để là số nguyên.
Lời giải
a)
.
b) Xét hiệu
Với mọi , suy ra (đpcm).
c) Ta có , với mọi
suy ra .
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014
Cho biểu thức
1. Rút gọn biểu thức
2. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải
1. Điều kiện: .
.
2. Theo Côsi, ta có: .
Dấu bằng xảy ra Û Û
Vậy: đạt được khi:
ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014
a) Cho
1. Rút gọn .
2. Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
b) Tính giá trị của biểu thức .
với
Lời giải
ĐKXĐ: (*)
1) Rút gọn M : Với
Vậy (với ) (*)
2)
Biểu thức có giá trị nguyên khi và chỉ khi:
Ư(3) Vì
Nên Xảy ra các trường hợp sau:
(TMĐK (*) )
(không TMĐK (*) loại )
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
b)
Có
Với .Ta có
Vậy với thì .
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015-2016
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có .
Lời giải
a) (đk: )
.
Vậy với thì .
b) Ta có vậy hay (đpcm).
ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BẮC GIANG NĂM 2016 - 2017
a. Cho biểu thức với và
Rút gọi và tính giá trị biểu thức biết
b. Tìm các số nguyên thoả mãn
c. Cho thỏa mãn ; ;
Tính giá trị biểu thức
Lời giải
a) Rút gọn với và
Ta có.
+ Nếu
+ nếu
b)
Nếu
Vì nguyên nên Vô lý vì là số vô tỉ.
Vây ta có
Thay vào Ta có
Ta có (loại) ; (thoã mãn) , vậy . Kết luận
c) Ta có
mà ; nên
Ta có
nên
Tương tự
Vậy
=
=
=
ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 VĨNH PHÚC NĂM 2014 - 2015
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để
Lời giải
a) xác định khi ĐKXĐ: .
Ta có:
Vậy với thì .
b) Biến đổi:
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy để thì .
ĐỀ CHỌN HSG BẮC GIANG LỚP 9 NĂM 2017 - 2018
a/ Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để
b/ Cho thỏa mãn . Tính
Lời giải
a/ Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
Vậy M= với
*
Ta có . Vậy M>1 khi 1<x<4 và x
b/Cho thỏa mãn . Tính H=
Vì nên
Tương tự ta có
Vậy
Chọn hsg lớp 9 Đà Nẵng năm 2015 - 2016
Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Ta có:
.
b) nguyên nguyên là ước của .
.
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Tính
Lời giải
=
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Cho biểu thức với ; .
Rút gọn A và chứng minh .
Lời giải
+ Rút gọn với ; .
+ Chứng minh .
Xét hiệu
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hải Dương 2017-2018)
Cho . Rút gọn với
Lời giải
Ta có
Rút gọn biểu thức: .
Lời giải
Tổng quát:
.
Vậy
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Điện Biên 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để nhận giá trị nguyên.
2. Cho Tính giá trị biểu thức
Lời giải:
1. ĐKXĐ:
a) Ta có:
b) Ta có:
Để thì
Vậy
2. Xét biểu thức:
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = 0.
Với x = 0
Tương tự:
Từ (1) và (2)
Với
Vậy
(Đề thi HSG 9 huyện Hoài Nhơn 2018-2019)
a) Cho . Tính giá trị của biểu thức .
b) Cho và . Tính giá trị của biểu thức:
.
Lời giải
a) Ta có: . Thay vào biểu thức, ta được:
.
b) Ta có :
.
.
Cộng vế theo vế ta được: .
Vậy khi và .
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
1. Tính giá trị biểu thức
2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
Lời giải
1. Ta có
Điều kiện xác định của M là
hoặc
2. Điều kiện xác định của N là (*)
(**)
Từ (*) và (**) ta được là điều kiện xác định của M
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Theo câu 1) Ta có (*)
Áp dụng (*) ta có:
(Vì )
Tượng tự ; ;….
Suy ra:
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành)
1. Cho biểu thức: .
a, Rút gọn biểu thức .
b, Chứng minh rằng: .
2. Cho biểu thức: với và .
Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải
1. a, Ta có: . Khi đó:
b, Vì ta luôn có
Lại có: hay .
Vậy: .
2. Áp dụng tính chất: . Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
(Đề thi chọn HSG 9 Bắc Từ Liêm 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức khi x = ; y =
2. Cho 2 biểu thức: với thỏa mãn: và . Chứng minh rằng:
Lời giải
1. a) ĐKXĐ:
b) Với ; ta có: do đó:
Mà
Vậy
2. Ta có:
(1)
Mà (Do )
Do đó: (1) (2)
Mặt khác:
Hơn nữa:
Đặt Ta có: (do (2) )
Vì thế:
(Biến đổi tương tự rút gọn P)
(4)
Từ (3), (4) ta có:
Vậy
(Đề thi chọn HSG 2018-2019)
Cho biểu thức: , với .
1. Rút gon biểu thức .
2. Thính giá trị của biểu thức khi .
Lời giải
1. Điều kiện . Ta có:
A =
=
=
= .
2.
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Ngãi 2016 2017)
Rút gọn biểu thức: A =
Lời giải
Rút gọn biểu thức: A =
A = =
A =
A =
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Ngãi 2016 2017)
Cho
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) B = A + x – 1=
Dấu “=” xảy ra ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
(Đề thi HSG 9 quận Cầu Giấy 2017 2018)
Cho hai biểu thức: và với
a) Tính giá trị của A với
b) Rút gọn B
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
Lời giải
a) Tính giá trị của A với
Thay vào
Vậy thì
b)Rút gọn B
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
P nguyên nguyên Ư(-6)
Mà Ư(-6)=
Mặt khác:
Kết hợp ĐKXĐ:
Kết luận: Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017)
a) Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b. Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết
b) Tìm các số nguyên a, b thoả mãn
c) Cho a, b, c thỏa mãn ; ; Tính giá trị biểu thức H=
Lời giải
-Rút gọn M= với a, b>0 và a b
-Ta có
+ Nếu a>b>0
+ nếu 0<a<b
-Nếu
Vì a, b nguyên nên Vô lý vì là số vô tỉ
-Vây ta có
Thay a= vào t
a có
Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3. Kết luận
Ta có
mà ; nên
Ta có
nên
Tương tự
Vậy H=
=
=
=
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017)
Tính giá trị của biểu thức N=
Lời giải
N=
=
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017)
Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn +
Chứng minh là số hữu tỉ
Lời giải
(Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2016 2017)
Cho biểu thức: .
Với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để .
c) So sánh: P2 và 2P.
Lời giải
Điều kiện: x 0, x 1.
Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m)
Vậy P = khi x = 4
Vì
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2 2P
(Đề thi HSG 9 thành phố Hải Phòng 2016 2017)
Cho . Tính giá trị của .
b) Cho biểu thức với a > 0, a ¹ 1. Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Lời giải
a) Ta có :
Thay giá trị của x vào P ta được:
b) Với điều kiện thì:
Khi đó
Ta thấy với
Do
Để N có giá trị nguyên thì N = 1.
Û Û
Û
Vậy
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2010 2011)
a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn Chứng minh rằng là số hữu tỉ.
b) Cho ba số hữu tỉ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: là số hữu tỉ.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra
Suy ra là số hữu tỉ
Đặt suy ra
Áp dụng câu 2a) suy ra là số hữu tỉ.
(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2017 2018)
a) Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
b) Cho a, b, c >0 thỏa mãn . Tính H=
Lời giải
a) Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
Vậy M= với
*M<1
Ta có . Vậy M>1 khi 1<x<4 và x
b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn . Tính H=
Vì nên 1+c=
Tương tự ta có
Vậy H=
=
=
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2012 2013)
Cho x, y thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Có
(Đề thi HSG 9 Tỉnh DakLak 2017-2018)
Rút gọn biểu thức . Tìm sao cho .
Lời giải
Ta có:
.
Mặt khác .
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Tính
Lời giải
(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018)
Tính Cho biểu thức với ;
Rút gọn A và chứng minh .
Lời giải
+ Rút gọn A
Với ;
+ Chứng minh .
Xét hiệu
với ;
(Đề thi HSG 9 Tỉnh Bình Thuận 2017-2018)
Cho biểu thức: với x 1 và x > 0
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm để biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a, Rút gọn. Với x 1 và x > 0, ta có:
b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
Dễ thấy Q>0.
Phương trình sau có nghiệm x > 0, x 1
có nghiệm x > 0, x 1
có nghiệm y > 0, y 1
Mà Q nguyên và Q > 0 nên Q = 1 hoặc Q = 2
Với Q = 1 Tìm được ( Thỏa mãn)
Với Q = 2 phương trình vô nghiệm.
(Đề thi HSG 9 huyện Xuyên Mộc (dự bị) 2016-2017)
Rút gọn biểu thức:
Lời giải
Ta có:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2016-2017)
Rút gọn biểu thức
Lời giải
(Đề thi HSG 9 huyện Trực Ninh 2016-2017)
1) Rút gọn biểu thức: A =
2) Cho
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Lời giải
1. Rút gọn biểu thức: A =
A = =
A =
A =
2.
a) ĐKXĐ:
b) B = A + x – 1=
Dấu “=” xảy ra ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2016-2017)
Cho biểu thức với và .
Rút gọn biểu thức P và tìm để .
Lời giải
Cho biểu thức với và . Rút gọn biểu thức P và tìm để .
(mỗi ý trong khai triển được 0,25 điểm)
+ Với , ta có:
Suy ra hay ( dấu bằng xảy ra khi ).
Do đó, để thì .
Hoặc trình bày cách khác:
+ Với , ta có: (*)
Đặt .
Khi đó (*) trở thành:
Vì nên hay .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2013-2014)
Rút gọn biểu thức với x ≥ 4.
Lời giải
a) Với x ≥ 4, ta có :
A
Xét các trường hợp :
* Với x ≥ 8 ta có :
A
* Với 4 ≤ x < 8 ta có :
A
(Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2015 - 2016)
Cho P = +
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
Lời giải
1.Điều kiện x > 0; x 1; 4
P = +
= +
=
P > 1. . > 1 - 1 > 0 > 0
> 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
x – 1 > 0 x > 1
Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4
Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
2. P = = 2 + Với x > 0; x 1; 4
P nguyên x – 1 là ước của 4
P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2
(Đề thi HSG 9 huyện Hạ Hòa 2015 - 2016)
Cho .
Hãy tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Cho . Hãy tính biết: ?
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
(1)
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
(2)
Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn ta được: x + y = 0.
Vậy A = 2016.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Ninh Bình 2014 - 2015)
Cho biểu thức A =
Với x không âm,khác 4.
a,Rút gọn A
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4
c,Tìm x để A là số nguyên
Lời giải
b) Ta giả sử:
Suy ra
Vì luôn đúng, suy ra điều phải chứng minh
(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Bình 2012 - 2013)
Cho biểu thức:
Rút gọn P.
b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
a) ĐK: .Ta có:
b)
Vậy GTNN của P = 4 khi
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hưng Yên 2014 - 2015)
Cho . Tính giá trị của biểu thức
.
Lời giải
Lời giải
Thay vào A ta có
Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)
Tính giá trị của
Giải:
a) Rút gọn được
b) Chứng minh được 0 < A <1 nên A không nguyên
(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)
Tính giá trị của
Giải:
(Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm học 2011 – 2012)
Cho . Tính giá trị của biểu thức
Giải:
Rút gọn . Thay vào biểu thức A ta được A = 1
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2015 – 2016)
Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A
Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Giải:
Điều kiện
Ta có:
Để x, A thì là ước của 2. Suy ra nhận các giá trị
| 1 | 1 | 2 | 2 | |
| X | 1 | 9 | 0 | 16 |
| A | 2 | 2 | 1 | 1 |
1. Cho biểu thức
Rút gọn P
Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên
2. Tính giá trị với
Giải:
a) Điều kiện :
b)
Để
(Đề thi HSG tỉnh Đắc Lắc năm học 2016 – 2017)
Cho số thực a mà a > 2. Rút gọn biểu thức
Giải
(Tuyển sinh vào 10 chuyên Bình Định năm học 2013 – 2014)
Cho biểu thức: ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
1. Rút gọn Q
2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
Giải
1. Rút gọn Q
Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên:
Q=
Kết hợp với điều kiện =>
Vậy với thì Q nhận giá trị nguyên.
(Tuyển sinh vào 10 chuyên Bình Định năm học 2013 – 2014)
Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức:
Giải
.Ta có:
(Tuyển sinh vao 10 chuyên Hải Phòng năm học 2012 – 2013)
Cho . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A
Giải
1)
.
A lớn nhất khi đó A lớn nhất bằng .
(Đề thi HSG tỉnh Bến Tre năm học 2016 – 2017)
Cho biểu thức . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
Giải:
+) Nếu x < 0:
B có giá trị nguyên khi và x < 0
+) Nếu 0 <x :
B có giá trị nguyên khi Ư (3) và x>2
Vậy:
B có giá trị nguyên khi
(Tuyển sinh vào chuyên tỉnh Quảng Ninh năm học 2017 – 2018)
Cho biểu thức: (với ).
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi
Giải:
1. Với điều kiện xác định là x 0; x
A =
=
=
2. Ta có :
. Nên thay x = + 1 vào A ta có:
A = = 1
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015)
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để
Lời giải
a) Rút gọn biểu thức
Điều kiện: Từ đó:
Biến đổi:
và
Từ đó:
b) Tìm để
Biến đổi:
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy để thì
(Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang 2017-2018)
a) Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M > 1
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn .
Tính H=
Lời giải
a/ Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
Vậy M= với
*M<1
Ta có . Vậy M > 1 khi 1< x < 4 và x .
b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn .
Tính H=
Vì nên 1+c=
Tương tự ta có
Vậy H=
=
=
(Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn 2017-2018)
Cho biểu thức với .
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi .
Lời giải
a) Rút gọn biểu thức A.
Đặt , khi đó:
b) Tính giá trị của biểu thức A khi .
Do đó:
(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016)
Cho biểu thức:
Rút gọn biểu thức P
Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
Lời giải
Rút gọn biểu thức P
Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
Ta có vậy hay (đpcm).
(Đề thi HSG tỉnh Thanh Oai 2013-2014)
Cho
1. Rút gọn M
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
Lời giải
ĐKXĐ: (*)
1)Rút gọn M : Với
Vậy (với ) (*)
2)
Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi:
Ư(3) Vì
Nên Xảy ra các trường hợp sau:
. (TMĐK (*) )
. (không TMĐK (*) loại )
Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên.
(CHỌN HSG TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2018)
Cho biểu thức với
Tính giá trị của tại
Lời giải
Ta có
Lại có :
Vậy
(ĐỀ THI CHỌN HSG BẮC GIANG NĂM HỌC 2017-2018)
Cho biểu thức .
Rút gọn và tìm để .
Lời giải
ĐKXĐ: .
*
* .
Ta có: nên khi .
Kết hợp ĐKXĐ ta có và
Vậy khi và
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH Năm học 2017 – 2018)
Rút gọn biểu thức: với .
Lời giải
.
(CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2017 – 2018)
Rút gọn biểu thức: .
Lời giải
Ta có:
.
(ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019)
Cho biểu thức: , với .
Rút gọn biểu thức .
b) Tìm các giá trị của để
Lời giải
a.
b)
Vậy với thì .
(ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH THUẬN _ NĂM HỌC 2017-2018)
Cho biểu thức: với và .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Với và , ta có:
b) Tìm để biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
Dễ thấy .
Phương trình sau có nghiệm .
có nghiệm .
có nghiệm .
.
Mà nên .
Với tìm được (Thỏa mãn).
Với phương trình vô nghiệm.
(ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2018)
Rút gọn biểu thức . Tìm sao cho .
Lời giải
Ta có:
.
Mặt khác .
(ĐỀ SINH GIỎI Lớp 9 CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011)
Rút gọn các biểu thức sau:
a. b.
c. d.
Lời giải
a.
b.
c.
d.
(KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011)
Cho biểu thức
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của biểu thức P khi ;
c. Chứng minh:
Lời giải
a. (ĐKXĐ: )
b. Với Thay vào biểu thức ta được:
c.
Với x > 0; y > 0 suy ra và
(Đề thi HSG 9 tỉnh Điện Biên 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để nhận giá trị nguyên.
2. Cho Tính giá trị biểu thức
Lời giải:
1. ĐKXĐ:
a) Ta có:
b) Ta có:
Để thì
Vậy
2. Xét biểu thức:
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = 0.
Với x = 0
Tương tự:
Từ (1) và (2)
Với
Vậy
(Đề thi HSG 9 huyện Hoài Nhơn 2018-2019)
a) Cho . Tính giá trị của biểu thức .
b) Cho và . Tính giá trị của biểu thức:
.
Lời giải
a) Ta có: . Thay vào biểu thức, ta được:
.
b) Ta có :
.
.
Cộng vế theo vế ta được: .
Vậy khi và .
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
1. Tính giá trị biểu thức
2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
Lời giải
1. Ta có
Điều kiện xác định của M là
hoặc
2. Điều kiện xác định của N là (*)
(**)
Từ (*) và (**) ta được là điều kiện xác định của M
(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019)
Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Theo câu 1) Ta có (*)
Áp dụng (*) ta có:
(Vì )
Tượng tự ; ;….
Suy ra:
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành)
1. Cho biểu thức: .
a, Rút gọn biểu thức .
b, Chứng minh rằng: .
2. Cho biểu thức: với và .
Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải
1. a, Ta có: . Khi đó:
b, Vì ta luôn có
Lại có: hay .
Vậy: .
2. Áp dụng tính chất: . Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
(Đề thi chọn HSG 9 Bắc Từ Liêm 2018-2019)
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức khi x = ; y =
2. Cho 2 biểu thức: với thỏa mãn: và . Chứng minh rằng:
Lời giải
1. a) ĐKXĐ:
b) Với ; ta có: do đó:
Mà
Vậy
2. Ta có:
(1)
Mà (Do )
Do đó: (1) (2)
Mặt khác:
Hơn nữa:
Đặt Ta có: (do (2) )
Vì thế:
(Biến đổi tương tự rút gọn P)
(4)
Từ (3), (4) ta có:
Vậy
(Đề thi chọn HSG 2018-2019)
Cho biểu thức: , với .
1. Rút gon biểu thức .
2. Thính giá trị của biểu thức khi .
Lời giải
1. Điều kiện . Ta có:
A =
=
=
= .
2.
.
(Đề thi HSG 9 huyện Ba Đình 2016-2017)
Cho biểu thức
Rút gọn A.
Tính giá trị biểu thức A khi
Lời giải
Với ta có:
Thay vào A ta được
(Đề thi HSG 9 huyện Ba Đình 2017-2018)
Rút gọn các biểu thức sau:
(với )
Lời giải
(với )
Vậy nếu hoặc nếu .
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
Cho . Không dùng máy tính, hãy chứng minh các biểu thức và có giá trị đều là số chẵn.
Lời giải
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2014-2015)
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A = .
Điều kiện x , x 4; x 9 ; x 1
Lời giải
Do x 0; x 1; x 4; x 9
A =
A =
A =
A = = => ĐPCM
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2014-2015)
Rút gọn biểu thức: B =
Lời giải
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2015-2016)
Cho P = +
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
Lời giải
Điều kiện x > 0; x 1; 4
P = +
= +
=
P > 1 > 1 - 1 > 0 > 0
> 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
x – 1 > 0 x > 1
Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4
Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
P = = 2 + Với x > 0; x 1; 4
P nguyên x – 1 là ước của 4
P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2
(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2015-2016)
Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để .
c) So sánh: P2 và 2P.
Lời giải
Điều kiện: x 0, x 1.
Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m)
Vậy P = khi x = 4
Vì
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2 2P
(Đề thi HSG 9 quận Ba Đình 2016-2017)
Tìm số thực x để biểu thức là số nguyên.
Lời giải
Đặt
Ta có (Vì
Đặt
+) Với , ta có
hệ vô nghiệm
+) Với
Nếu
Nếu . Vì nguyên nên
hệ vô nghiệm
Kết hợp điều kiện ta được (TM )
(TM )
Vậy với hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(Đề thi HSG 9 quận Ba Đình 2017-2018)
Tìm tất cả các số nguyên x để ; ; ; đều là số nguyên
Lời giải
Điều kiện:
Do
Với x=81 ta có
=
= không thỏa mãn
=
=
Với x= - 3 ta có
=
=
=
=
Vậy x= - 3 thì ; ; ; đều là số nguyên
(Đề thi HSG NGHỆ AN 2019-2020)
Cho hàm số
Tính tại
Lời giải
Tính giá trị biểu thức
Lời giải
| Ta có |
| = 5 - 3 = 2 |
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
Lời giải
| Điều kiện xác định của M là |
| hoặc |
| Điều kiện xác định của N là (*) |
| (**) |
| Từ (*) và (**) ta được là điều kiện xác định của M |
Tính giá trị của biểu thức: B =
Lời giải
| Theo câu a) Ta có (*) Áp dụng (*) ta có: (Vì ) |
| Tượng tự ; ;…. |
| Suy ra |
Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
Lời giải
Rút gọn được P = (với m 0, m 1)
P = = 1 +
Ta có: P N là ước dương của 2 m (TMĐK)
Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.
(Đề thi HSG 9 THANH HÓA 2017 - 2018 )
1. Cho biểu thức , với Rút gọn và tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.
2. Tính giá trị của biểu thức tại
Lời giải
| 1. Với điều kiện , ta có: |
| Ta có với điều kiện Do nguyên nên suy ra (loại). Vậy không có giá trị của để nhận giá trị nguyên. |
| Chú ý 1:Có thể làm theo cách sau , coi đây là phương trình bậc hai của . Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có Do P nguyên nên bằng 0 hoặc 1 +) Nếu không thỏa mãn. +) Nếu không thỏa mãn Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn. |
| 2. Tính giá trị của biểu thức : tại |
| Vì |
| nên là nghiệm của đa thức |
| Do đó |
Cho biểu thức với
Tính giá trị của tại
Lời giải
a) Ta có
Lại có :
Vậy
(Đề thi HSG 9 TỈNH BẾN TRE - 2017-2018 )
Rút gọn biểu thức: .
Lời giải
Ta có:
.
(Đề thi HSG 9 TỈNH BẮC NINH 2017-2018 )
Rút gọn biểu thức: , với .
Lời giải
.
(Đề thi HSG 9 HẠ HÒA 2015 -2016 )
a) Cho .
Tính với .
Lời giải
(Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018)
Rút gọn biểu thức
Lời giải
Điều kiện:
Khi đó:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018)
Cho ba số thực dương thỏa mãn
và . Chứng minh đẳng thức
Lời giải
Ta có:
(Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2017-2018)
Rút gọn biểu thức: , với .
Lời giải
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Bến Tre 2017-2018)
Rút gọn biểu thức: .
Lời Giải
.
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2017-2018)
Rút gọn biểu thức với .
Lời Giải
Với và , ta có :
Vậy với và , ta có
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hà Nam 2017 - 2018)
Cho biểu thức M =
a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi a = , b =
Lời giải
a)
ĐK xác định của M:
b) Ta có với ,
Vậy
Từ đó
(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2017 - 2018)
Cho . Rút gọn với
Lời giải
Ta có
(Thi THPT Chuyên- TP HCM năm học 2010- 2011 )
Thu gọn biểu thức: A=
Giải:
Xét M =
Ta có M > 0 và , suy ra M =
A= M- = -( -1)=1
(Thi HSG cấp TP Thanh Hóa năm học 2016- 2017)
Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để .
c) So sánh: P2 và 2P.
Giải:
a) Điều kiện: x 0, x 1.
b) Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m)
Vậy P = khi x = 4
c) Vì
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2 2P
(Thi chuyên tỉnh Hòa Bình năm học 2013- 2014)
a/ Rút gọn biểu thức
b/ Tìm giá trị nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Giải:
a) ĐK:
b) Ta có
nhận giá trị nguyên là ước của 2
. KL…
(Thi chuyên Toán tỉnh Hòa Bình năm học 2015- 2016)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
Rút gọn biểu thức:
Giải:
a)
b)
c) ĐK a 0
(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2019-2020)
1) Rút gọn biểu thức:
2) Cho và là hai số thỏa mãn: . Hãy tính giá trị của biểu thức
Lời giải
2) Nhân 2 vế của với ta được:
Tương tự nhân 2 vế của (1) với ta được:
Cộng vế với vế của (2) và (3) ta được:
Vậy
(Đề thi HSG 9 trường THCS Lương Thế Vinh 2019-2020)
Cho biểu thức với
Tính giá trị biểu thức khi
Lời giải
Ta có:
Có:
Thay ( tmđk) vào A, ta được:
(Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 - 2009)
Rút gọn biểu thức sau
a.
b.
c. 1-
Lời giải
a. =
=
b. =
= =
= = = =
=
c. 1- = 1- =1-
=1-
= 1- (1-sinx.cosx)= sinx.cosx
(Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 - 2009)
A=
- Rút gọn biểu thức A
- Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8
- Chứng minh A<
Lời giải
ĐKXĐ:
A= =
=
A khi x=33-8
Ta cã x=33-8 =
A=
- Chứng minh A<
Do
A- A<
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017
Câu 1: Cho số thực a mà . Rút gọn biểu thức .
Lời giải
.
(2,0 điểmĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016-2017
Cho . Tính .
Lời giải
Ta có : .
Lại có .
ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC
1. Rút gọn biểu thức: , với .
2. Cho , tính giá trị biểu thức .
Lời giải
1. Ta có
.
2. Ta có: . Suy ra:
ĐỀ THI HSG QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
1) Rút gọn biểu thức: .
2) Cho .
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có .
A = =
=
= .
2.
a) ĐKXĐ:
.
= .
Dấu “=” xảy ra ( thỏa mãn ).
ĐỀ THI HSG VINH NĂM HỌC 2016-2017
Tính giá trị của biểu thức: tại
Lời giải
Ta có
Suy ra hay
Do đó
(vì
Vậy tại
PASS GIẢI NÉN; Yopo.vn
THẦY CÔ DOWNLOAD FILE TẠI MỤC ĐÍNH KÈM!
CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN
CHỦ ĐỀ QUAN TÂM
CHỦ ĐỀ MỚI NHẤT