MÔN TOÁN TUYỂN TẬP 72 Đề thi thử vào lớp 10 môn toán TPHCM CÁC QUẬN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2023 - 2024 MỚI NHẤT

Yopovn · 19/1/24

TUYỂN TẬP 72 Đề thi thử vào lớp 10 môn toán tphcm CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2023 - 2024 MỚI NHẤT được soạn dưới dạng file word gồm 72 FILE trang. Các bạn xem và tải đề thi thử vào lớp 10 môn toán tphcm về ở dưới.

SÔÛ GD&ÑT TP HOÀ CHÍ MINH

ĐỀ THAM KHẢO

PHOØNG GÑ&ÑT TP THUÛ ÑÖÙC

MÃ ĐỀ: Thủ Đức - 1

ÑEÀ THAM KHAÛO TUYEÅN SINH 10
NAÊM HOÏC: 2023 - 2024
MÔN: TOÁN 9
Đê thi gồm 8 câu hỏi tự luận.
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

(1,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng có đồ thị .
Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ .
Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.
(1 điểm). Cho phương trình có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
(0,75 điểm). Một công ty chuyên cung cấp dịch vụ Internet với mức phí ban đầu lắp đặt là đồng. Sau tháng sử dụng thì cước phí phải trả là đồng. Cước phí (đồng) là số tiền mà người sử dụng Internet cần trả hàng tháng và phụ thuộc vào thời gian sử dụng tháng. Công thức biểu thị mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất được minh họa bởi hình vẽ bên.
Xác định các hệ số và
Anh Hùng sử dụng Internet của công ty trên thì sau nửa năm anh phải trả cước phí là bao nhiêu?

(1 điểm). Trong đợt lũ lụt miền Trung vừa qua đã gây thiệt hại rất lớn cho các tỉnh miền Trung, một nhóm gồm bạn lớp tham gia hoạt động thiện nguyện để góp phần ủng hộ cho một số gia đình có hoàn cảnh khó khăn. Ngoài trích từ tiền quỹ của nhóm là đồng, mỗi bạn tham gia thống nhất sẽ đóng góp đồng. Biết các con mình làm việc tốt, một số phụ huynh rất đồng tình ủng hộ nên đã hỗ trợ thêm các bạn tổng số tiền là đồng. Các bạn dự kiến vào siêu thị mua mỗi phần quà gồm: một hộp bánh giá , hai chai nước ngọt giá , hai gói kẹo giá , một túi gạo giá , một hộp socola giá và một túi rau câu giá .
Biết siêu thị đang có chương trình giảm giá cho các mặt hàng bánh, nước ngọt,
kẹo và rau câu; giảm giá cho các mặt hàng gạo và socola. Em hãy tính xem các bạn có thể mua được bao nhiêu phần quà?
Nếu muốn mua đủ phần quà thì các bạn cần thêm ít nhất bao nhiêu tiền?
(0,75 điểm). Sau thời gian dịch bệnh kéo dài để chuẩn bị cho kỳ thi học kỳ môn toán
lớp vào ngày thầy giáo có giao một số bài tập toán để lớp tự ôn tập ở nhà. Sau khi nhận bài tập xong bạn Lan lên kế hoạch cho việc ôn tập của mình như sau. Bắt đầu từ thứ ngày đến hết tháng cứ những ngày chẵn sẽ làm bài tập còn những ngày lẻ thì làm bài tập. Số bài còn lại là bài Lan sẽ làm vào tháng và sẽ hoàn thành trước ngày thi”.
Hỏi thầy giáo đã giao bao nhiêu bài tập toán cho Lan? biết tháng có ngày
và tháng có ngày.
Ngày thi cuối kỳ là vào thứ mấy ? Tại sao?
(1 điểm). Để ước lượng khối lượng của cây gỗ trồng trong rừng người ta cần xác định
chiều cao của cây (mét) và chu vi của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực (mét). Theo cách đo đạc trong lâm nghiệp, độ cao ngang tầm ngực là mét tính từ mặt đất. Từ đó người ta có thể quấn thước dây vòng quanh thân cây ở độ cao này và ghi lại số đo chu vi
Nếu một cây có chu vi của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực là mét và chiều cao là mét thì cây có thể tích bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
Biết công thức thể tích hình trụ trong đó là diện tích vòng tròn thân cây có chu vi nói trên và là chiều cao của cây.
Biết khối lượng được tính theo công thức (tấn). Cho biết loại cây nói trên có khối lượng riêng là tấn/ . Hỏi thân cây trên nặng bao nhiêu ( kết quả làm tròn đến hàng trăm).
(1 điểm). Khi mới nhận lớp , cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành tổ có số học
sinh như nhau. Nhưng sau khi khai giảng xong lớp nhận thêm học sinh nữa. Do đó, cô giáo chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành tổ. Hỏi lớp hiện có bao nhiêu học sinh, biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn học sinh?
(3 điểm). Cho nhọn, nội tiếp . Kẻ ba đường cao cắt nhau tại , kéo dài cắt tại .
Chứng minh: Tứ giác nội tiếp và .
Tia cắt tại , cắt tại , kẻ tại . Chứng minh: và tứ giác nội tiếp.
Qua điểm kẻ tiếp tuyến của , và cắt lần lượt tại và . Chứng minh: .
----HẾT---
HƯỚNG DẪN GIẢI
(1,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng có đồ thị .
Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ .
Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.
Lời giải
a) Bảng giá trị:

- Đồ thị:
- b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và
- Với
- Với
- Vậy toạ độ giao điểm của và là và
- (1 điểm). Cho phương trình có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Theo định lí Vi-et ta có:
- (0,75 điểm). Một công ty chuyên cung cấp dịch vụ Internet với mức phí ban đầu lắp đặt là đồng. Sau tháng sử dụng thì cước phí phải trả là đồng. Cước phí (đồng) là số tiền mà người sử dụng Internet cần trả hàng tháng và phụ thuộc vào thời gian sử dụng tháng. Công thức biểu thị mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất được minh họa bởi hình vẽ bên.
- Xác định các hệ số và
- Anh Hùng sử dụng Internet của công ty trên thì sau nửa năm anh phải trả cước phí là bao nhiêu?
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có:
tương ứng đồng
tương ứng đồng
Thay vào hàm số ta được hệ phương trình sau:

Vì anh Hùng đã sử dụng nửa năm nên , thay vào công thức trên ta được:

Vậy sau nửa năm anh Hùng trả số tiền là đồng
- (1 điểm). Trong đợt lũ lụt miền Trung vừa qua đã gây thiệt hại rất lớn cho các tỉnh miền Trung, một nhóm gồm bạn lớp tham gia hoạt động thiện nguyện để góp phần ủng hộ cho một số gia đình có hoàn cảnh khó khăn. Ngoài trích từ tiền quỹ của nhóm là đồng, mỗi bạn tham gia thống nhất sẽ đóng góp đồng. Biết các con mình làm việc tốt, một số phụ huynh rất đồng tình ủng hộ nên đã hỗ trợ thêm các bạn tổng số tiền là đồng. Các bạn dự kiến vào siêu thị mua mỗi phần quà gồm: một hộp bánh giá , hai chai nước ngọt giá , hai gói kẹo giá , một túi gạo giá , một hộp socola giá và một túi rau câu giá .
- Biết siêu thị đang có chương trình giảm giá cho các mặt hàng bánh, nước ngọt,
  kẹo và rau câu; giảm giá cho các mặt hàng gạo và socola. Em hãy tính xem các bạn có thể mua được bao nhiêu phần quà?
- Nếu muốn mua đủ phần quà thì các bạn cần thêm ít nhất bao nhiêu tiền?
Lời giải
Số tiền mà nhóm bạn có được là:
đồng
Giá tiền một phần quà là:

Số phần quà có thể mua được là:
(phần quà)
Số tiền mua phần quà là: đồng
Vậy các bạn cần thêm ít nhất số tiền là: đồng
- (0,75 điểm). Sau thời gian dịch bệnh kéo dài để chuẩn bị cho kỳ thi học kỳ môn toán
  lớp vào ngày thầy giáo có giao một số bài tập toán để lớp tự ôn tập ở nhà. Sau khi nhận bài tập xong bạn Lan lên kế hoạch cho việc ôn tập của mình như sau. Bắt đầu từ thứ ngày đến hết tháng cứ những ngày chẵn sẽ làm bài tập còn những ngày lẻ thì làm bài tập. Số bài còn lại là bài Lan sẽ làm vào tháng và sẽ hoàn thành trước ngày thi”.
- Hỏi thầy giáo đã giao bao nhiêu bài tập toán cho Lan? biết tháng có ngày
  và tháng có ngày.
- Ngày thi cuối kỳ là vào thứ mấy ? Tại sao?
Lời giải
Từ đến có ngày chẵn và ngày lẻ (tổng là ngày)
Từ đến có ngày chẵn và ngày lẻ (tổng là ngày)
Số bài tập thầy giáo đã giao cho Lan là: bài
Từ đến có tổng cộng: ngày
Ta có (dư )
Vì ngày là thứ sáu nên ngày là thứ ba.
Vậy Lan thi cuối kì vào thứ ba.
- (1 điểm). Để ước lượng khối lượng của cây gỗ trồng trong rừng người ta cần xác định
  chiều cao của cây (mét) và chu vi của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực (mét). Theo cách đo đạc trong lâm nghiệp, độ cao ngang tầm ngực là mét tính từ mặt đất. Từ đó người ta có thể quấn thước dây vòng quanh thân cây ở độ cao này và ghi lại số đo chu vi
- Nếu một cây có chu vi của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực là mét và chiều cao là mét thì cây có thể tích bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
  Biết công thức thể tích hình trụ trong đó là diện tích vòng tròn thân cây có chu vi nói trên và là chiều cao của cây.
- Biết khối lượng được tính theo công thức (tấn). Cho biết loại cây nói trên có khối lượng riêng là tấn/ . Hỏi thân cây trên nặng bao nhiêu kg ( kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Lời giải
Ta có chu vi
Thể tích của cái cây là:
- Khối lượng của thân cây trên là: tấn .
- (1 điểm). Khi mới nhận lớp , cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành tổ có số học
  sinh như nhau. Nhưng sau khi khai giảng xong lớp nhận thêm học sinh nữa. Do đó, cô giáo chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành tổ. Hỏi lớp hiện có bao nhiêu học sinh, biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn học sinh?
Lời giải
Gọi là số học sinh đầu năm của lớp 9A
Số học sinh mỗi tổ đầu năm là
Số học sinh sau khi khai giảng là:
Số học sinh mỗi tổ sau khai giảng là:
- Vì số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn học sinh so với ban đầu nên ta có phương trình:
- (nhận)
- Vậy hiện tại số học sinh lớp là học sinh.
- (3 điểm). Cho nhọn, nội tiếp . Kẻ ba đường cao cắt nhau tại , kéo dài cắt tại .
- Chứng minh: Tứ giác nội tiếp và .
- Tia cắt tại , cắt tại , kẻ tại . Chứng minh: và tứ giác nội tiếp.
- Qua điểm kẻ tiếp tuyến của , và cắt lần lượt tại và . Chứng minh: .
Lời giải
- Chứng minh: Tứ giác nội tiếp và .

Xét tứ giác ta có:
+
+ Cùng nhìn cạnh
Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
Ta có ( góc nội tiếp cùng chắn )
Ta có vuông tại phụ
Ta có vuông tại phụ

Từ và suy ra
Tia cắt tại , cắt tại , kẻ tại . Chứng minh: và tứ giác nội tiếp.

Ta có ( góc nội tiếp cùng chắn )

Mà tứ giác nội tiếp (cùng nhìn )

Xét và
+ chung
+ (cmt)

Xét vuông tại có là đường cao
(hệ thức lượng)
Từ và suy ra
Xét và
+ chung
+ (vì )

( góc tương ứng)
nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)
Qua điểm kẻ tiếp tuyến của , và cắt lần lượt tại và . Chứng minh: .

Ta có (góc ngoài bằng góc đối trong)
( góc nội tiếp cùng chắn )
(góc ngoài bằng góc đối trong)

cân tại

Ta có (cùng phụ với hai góc bằng nhau là và )
cân tại

Từ và suy ra
là trung điểm .
Ta có
(hai góc sole trong bằng nhau)
Theo định lí Talet ta có:
và

(vì )
là trung điểm .
vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

SÔÛ GD&ÑT TP HOÀ CHÍ MINH
PHOØNG GÑ&ÑT QUAÄN 4

MÃ ĐỀ: Quận 4 - 2

ÑEÀ THAM KHAÛO TUYEÅN SINH 10
NAÊM HOÏC: 2023 - 2024
MÔN: TOÁN 9
Đê thi gồm 8 câu hỏi tự luận.
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

(1,5 điểm): Cho Parabol và đường thẳng .
Vẽ và trên cùng một hệ trục tọa độ .
Bằng phép toán xác định tọa độ giao điểm của và .
(1 điểm) Cho phương trình:
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt rồi tính tổng và tích hai nghệm của phương trình.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
(0,75 điểm) Để đạt kết quả tốt nhất trong kì thi tuyển sinh lớp THPT vào ngày , sau khi tổ chức Hội trại truyền thống vào thứ Sáu ngày , học sinh khối đã đề ra kế hoạch học tập môn Toán cụ thể như sau: "Mỗi học sinh bắt đầu từ ngày đến hết tháng ba mỗi ngày làm bài toán, mỗi ngày trong tháng tư làm bài toán, mỗi ngày trong tháng năm làm bài toán". Biết tháng ba và tháng năm là những tháng có ngày, tháng tư có ngày. Hỏi:
Theo kế hoạch, mỗi học sinh làm được bao nhiêu bài toán?
Ngày thi là thứ mấy? Giải thích vì sao?
(0,75 điểm) Một lon nước ngọt có giá đồng. Một quyển tập có giá bằng giá một lon nước ngọt, một hộp bút có giá gấp lần giá một lon nước ngọt. Bạn An cần mua một số quyển tập và một hộp bút.
Gọi là số quyển tập An mua và là số tiền An phải trả (bao gồm tiền mua tập và một hộp bút). Viết công thức biểu diễn theo .
Nếu An bán thùng nước ngọt, mỗi thùng gồm lon với giá đã nêu trên để mua tập và một hộp bút thì tối đa bạn An mua được bao nhiêu quyển tập?
(1 điểm) Một công ty giao cho cửa hàng hộp bánh để bán ra thị trường. Lúc đầu cửa hàng bán hộp bánh với giá bán một hộp bánh là đồng. Do nhu cầu của thị trường nên từ hộp bánh thứ đến hộp bánh thứ mỗi hộp bánh có giá bán tăng so với giá bán lúc đầu, từ hộp bánh thứ đến hộp bánh thứ mỗi hộp bánh có giá bán giảm so với giá bán lúc đầu.
Hỏi số tiền thu cửa hàng được khi bán hộp bánh là bao nhiêu?
Biết rằng: Với số tiền thu được khi bán hộp bánh, sau khi trừ đi tiền thuế giá trị gia tăng VAT cửa hàng vẫn lãi đồng. Hỏi mỗi hộp bánh công ty giao cho cửa hàng có giá là bao nhiêu?
(1 điểm) Ba xe máy cùng xuất phát từ đi theo ba hướng trong đó và ngược hướng nhau như hình vẽ.

Xe thứ nhất đi theo hướng , xe thứ hai đi theo hướng , xe thứ ba đi theo hướng , cả ba xe cùng chạy với vận tốc không đổi là giờ. Sau giờ xe thứ nhất và xe thứ hai ở cách nhau . Hỏi lúc đó xe thứ hai và xe thứ ba ở cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

(1 điểm)Hai người thợ cùng làm một công việc trong giờ thì xong. Nếu người thợ thứ nhất làm trong giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người thợ chỉ làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc?
(3 điểm)Cho đường tròn tâm bán kính và dây cung vuông góc nằm trên cung nhỏ . Vẽ dây cung và dây cung sao cho cắt tại cắt tại theo thứ tự .
Chứng minh: Tứ giác nội tiếp.
Gọi là giao của và là giao của và . Chứng minh: và .
Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp .
----HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI
điểm): Cho Parabol và đường thẳng .
Vẽ và trên cùng một hệ trục tọa độ 0xy.
Bằng phép toán xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D).
Lời giải
Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.
BGT:
– 4

2

4
– 4

– 1

– 1

– 4
- Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.
- Phương trình hoành độ giao điểm của và :
- Thay vào , ta được:
- Thay vào , ta được:
- Vậy , là hai giao điểm cần tìm.
- Cho phương trình:
- Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt rồi tính tổng và tích hai nghệm của phương trình.
- Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
- Lời giải
- Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt rồi tính tổng và tích hai nghệm của phương trình.
Vì
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Theo định lí Vi-et, ta có:
- Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
- Ta có:
- (0,75 điểm) Để đạt kết quả tốt nhất trong kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT vào ngày 02/6/2021, sau khi tổ chức Hội trại truyền thống vào thứ Sáu ngày 26/3/2021, học sinh khối 9 đã đề ra kế hoạch học tập môn Toán cụ thể như sau: "Mỗi học sinh bắt đầu từ ngày đến hết tháng ba mỗi ngày làm 3 bài toán, mỗi ngày trong tháng tư làm 4 bài toán, mỗi ngày trong tháng năm làm 5 bài toán". Biết tháng ba và tháng năm là những tháng có 31 ngày, tháng tư có 30 ngày. Hỏi:
- Theo kế hoạch, mỗi học sinh làm được bao nhiêu bài toán?
- Ngày thi 02/6/2021 là thứ mấy? Giải thích vì sao?
- Lời giải
- Số ngày từ đến
Số bài toán mỗi học sinh làm được theo kế hoạch là:
(bài toán)
b) Số ngày từ ngày đến ngày là: (ngày)
Ta có: (dư ) mà ngày là thứ sáu nên ngày là ngày thứ tư.
- (0,75 điểm) Một lon nước ngọt có giá 10000 đồng. Một quyển tập có giá bằng giá một lon nước ngọt, một hộp bút có giá gấp 3 lần giá một lon nước ngọt. Bạn An cần mua một số quyển tập và một hộp bút.
- Gọi x là số quyển tập An mua và y là số tiền An phải trả (bao gồm tiền mua tập và một hộp bút). Viết công thức biểu diễn theo .
- Nếu An bán 2 thùng nước ngọt, mỗi thùng gồm 24 lon với giá đã nêu trên để mua tập và một hộp bút thì tối đa bạn An mua được bao nhiêu quyển tập?
- Lời giải
a) Giá tiền một quyển tập là: (đồng)
Giá tiền một hộp bút là: (đồng)
Công thức biểu diễn theo là:
b) Số tiền bán thùng nước ngọt là: (đồng)
Thế vào , ta được:

Vậy bạn An mua được tối đa quyển tập
- (1 điểm) Một công ty giao cho cửa hàng 100 hộp bánh để bán ra thị trường. Lúc đầu cửa hàng bán 24 hộp bánh với giá bán một hộp bánh là 200000 đồng. Do nhu cầu của thị trường nên từ hộp bánh thứ 25 đến hộp bánh thứ 80 mỗi hộp bánh có giá bán tăng so với giá bán lúc đầu, từ hộp bánh thứ 81 đến hộp bánh thứ 100 mỗi hộp bánh có giá bán giảm so với giá bán lúc đầu.
- Hỏi số tiền thu cửa hàng được khi bán 100 hộp bánh là bao nhiêu?
- Biết rằng: Với số tiền thu được khi bán 100 hộp bánh, sau khi trừ đi tiền thuế giá trị gia tăng VAT cửa hàng vẫn lãi 1152000 đồng. Hỏi mỗi hộp bánh công ty giao cho cửa hàng có giá là bao nhiêu?
- Lời giải
a) Số tiền thu được khi bán hộp bánh đầu là: (đồng)
Số tiền thu được khi bán được từ hộp bánh thứ đến hộp bánh thứ là: (đồng)
Số tiền thu được khi bán được từ hộp bánh thứ đến hộp bánh thứ là: (đồng)
Số tiền thu cửa hàng được khi bán hộp bánh là:
(đồng)
b) Số tiền thuế giá trị gia tăng VAT là (đồng)
Số tiền mỗi hộp bánh công ty giao cho cửa hàng có giá là:
(đồng)
(1 điểm) Ba xe máy cùng xuất phát từ O đi theo ba hướng trong đó và ngược hướng nhau như hình vẽ.

Xe thứ nhất đi theo hướng , xe thứ hai đi theo hướng , xe thứ ba đi theo hướng , cả ba xe cùng chạy với vận tốc không đổi là giờ. Sau 2 giờ xe thứ nhất và xe thứ hai ở cách nhau . Hỏi lúc đó xe thứ hai và xe thứ ba ở cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
- Lời giải
Gọi , , lần lượt là các vị trí mà xe thứ nhất, xe thứ hai, xe thứ ba sau khi xuất phát được giờ.
Vẽ vuông góc với tại và vuông góc với tại .
Ta chứng được là trung điểm của và là trung điểm của .
Ta dễ tính được ; ;
Xét vuông tại , ta có:
(định lí Pitago)

Mà (tứ giác là hình chữ nhật)
Nên
Mặt khác: (vì là trung điểm của )
Nên
- (1 điểm)Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thợ thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người thợ chỉ làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc?
- Lời giải
Gọi (giờ) là thời gian người thứ nhất làm xong công việc một mình
(giờ) là thời gian người thứ hai làm xong công việc một mình
Trong mỗi giờ người thứ nhất làm được: (công việc)
Trong mỗi giờ người thứ hai làm được: (công việc)
Vì hai người thợ cùng làm một công việc trong giờ thì xong nên mỗi giờ cả hai người làm được
(công việc)
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
Đặt . Hệ phương trình trở thành:
KL: Vậy người thợ thứ nhất chỉ làm một mình trong giờ thì xong công việc
người thợ thứ hai chỉ làm một mình trong giờ thì xong công việc.
- (3 điểm)Cho đường tròn tâm O bán kính và dây cung vuông góc nằm trên cung nhỏ . Vẽ dây cung và dây cung sao cho cắt tại cắt tại theo thứ tự .
- Chứng minh: Tứ giác BIKC nội tiếp.
- Gọi là giao của và là giao của và . Chứng minh: và .
- Chứng minh: MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp .
- Lời giải
- a) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp.
  Xét , ta có:
  
  Ta có:
  
  Mà
  Nên
  Tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc đối trong)
  
  b) Gọi là giao của và là giao của và . Chứng minh: và .
  
  Ta có:
  
  Tứ giác nội tiếp (Tứ giác có đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh dưới góc bằng nhau)
  
  Xét và , ta có:
  
  Chứng minh tương tự ta có:
  Ta có:
  
  c) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp .
  
  Gọi lần lượt là tâm
  Ta có:
  
  là tiếp tuyến của tại
  tại
  Chứng minh tương tự ta có: tại
  Từ và thẳng hàng nằm giữa và
  
  Mà là khoảng cách tâm của , MF, ME là bán kính của
  Đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp