TUYỂN TẬP BỘ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2022 - 2023

Yopovn · 13/5/23

TUYỂN TẬP BỘ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2022 - 2023 được soạn dưới dạng file word gồm CÁC FILE trang. Các bạn xem và tải đề khảo sát học sinh giỏi toán 8 về ở dưới.

PHÒNG GD&ĐT NÔNG CỐNG

KÌ THI THƯ CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2022 - 2023
Môn thi: Toán
Thời gian thi: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: /01/2023
Đề thi gồm: 01 trang

ĐỀ BÀI

Câu 1 (4,0 điểm): Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

3. Tìm x để .

Câu 2 (4,0 điểm):

1. Cho là các số thực dương thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức

2. Giải phương tr×nh:

Câu 3 (4,0 điểm):

1. Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1

không phải là số chính phương.

2. Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn: x4 + x2 + 1 = y2

Câu 4 (6,0 điểm):

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE=AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N.

a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2

b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng:

c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?

Câu 5 (2,0 điểm):

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

Chứng minh rằng:

--------------- Hết ---------------

Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: …………………

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu

Ý

Hướng dẫn chấm

Điểm

Câu 1 (4đ)

1
(2đ)

+ ĐKXĐ:

0,25đ

0,5đ

0.25đ

0,5đ

0,25đ

Vậy với thì

0,25đ

2
(1đ)

Để A nhận giá trị nguyên

0,25đ

Ư(2) = {-1; -2; 1; 2}.

0,25đ

Mà 1 – 2x là số lẻ nên 1 – 2x {-1; 1}.
Từ đó tìm được x = 1 và x = 0

0,25đ

Giá trị x = 1( không thỏa mãn ĐK). Vậy x = 0

0,25đ

3
(1đ)

Ta có:

0,25đ

0,5đ

Kết hợp với điều kiện ta có: với và thì

0,25đ

Câu 2
(4đ)

1
(2đ)

Ta có :

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Câu 2
(4đ)

2
(2đ)

Ta có: ;
nên phương trình xác định với mọi
Phương trình

(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ
0,25đ

Câu 3
(4đ)

1 (2đ)

n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Câu 3
(4đ)

2 (2đ)

x4 + x2 + 1 = y2 (1) ó 4x4 + 4x2 + 4 = 4y2 ó (2x2 + 1)2 + 3 = (2y)2
ó [2y – (2x2 + 1)][2y + (2x2 + 1)] = 3

Do x, y nguyên => 2y – (2x2 + 1) và 2y + (2x2 + 1) ∈ Ư(3)
Lại có: 2y + (2x2 + 1) > 2y – (2x2 + 1) Do đó ta có các trường hợp sau:

TH1:

Vậy: (x, y) = (0; 1) hoặc (0; -1)

Cách khác: Phương pháp đánh giá
Do x ≥ 0 nên ta có đánh giá sau:
. Từ pt ta suy ra:
mà và là các số chính phương liên tiếp nên y2 = (x2 + 1)2
Thay vào pt ta được: x2 = 0
=> x = 0 thay vào pt được: y = ±1
Kết luận:

0.5

0.25

0.5

0.25

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 4
(6 đ)

1
(2đ)

a) Vì ABCD là hình vuông

Vì AB//CM
Vì AB//DN
Từ (1)(2)(3)

0.75

0.5

0.5

0.5

0.5

2
(2đ)

b) Theo câu a, ta có:
Do đó
Mà
Từ (4)(5)
Do đó

0.5

0.5

0.5

0.5

3
(2đ)

c) Áp dụng BĐT côsi ta có

Dấu "=" xảy ra khi DN = CM = a. Khi đó
hay

Vậy khi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD thì MN có độ dài nhỏ nhất là 3a

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 5
(2đ)

(2đ)

Ta có
.
Mặt khác ta có: . Suy ra

Ta cần chứng minh
.
Thật vậy: Ta có.

Dấu “=” xảy ra
Vậy: đpcm

0,5đ
0,5d
0,25đ
0,5đ
0,25đ

Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHÒNG GD&ĐT

THỊ XÃ BỈM SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THỊ XÃ

NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi 02 tháng 4 năm 2023

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức

a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b. Tìm để .

Câu 2: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình:

b. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai phương trình sau:

a3 + 3a2 + 5 = 5b và a + 3 = 5c

Câu 3: (4,0 điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x4 - 2y2 = 1

b. Cho a, b là các bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp (a < b).

Chứng minh (ab – a – b +1) chia hết cho 192.

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho nhọn, các đường cao cắt nhau tại . Từ hạ vuông góc với tại và vuông góc với tại .

a. Chứng minh rằng: và đồng dạng; và đồng dạng.

b. Chứng minh

c. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên . Chứng minh thẳng hàng.

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho là các số thực không âm thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.................................... Hết ......................................

Họ và tên học sinh: ........................................................ Số báo danh: ....................

PHÒNG GD& ĐT
THỊ XÃ BỈM SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 8

Năm học 2022 - 2023
Môn: Toán

Câu	Ý	Nội dung	Điểm
Câu 1 (4.0đ)	a. (2,0 điểm).	Xét biểu thức ĐKXĐ: Không có điều kiện trừ điểm. Vậy	0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25
b. (2,0đ)	với (TM ĐKXĐ) hoặc ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại trừ 0,25 điểm) Vậy
Câu 2 (4,0đ)	a. (2,0đ)	Giải phương trình ĐKXĐ :	0,25 0,5 0,75 0,5
b. (2,0đ)	Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai phương trình sau : a3 + 3a2 + 5 = 5b và a + 3 = 5c Vì a là số nguyên dương nên a3 + 3a2 + 5 = a2(a + 3) + 5 > a + 3 Hay 5b > 5c, mà b, c nguyên dương nên b > c do đó 5b 5c Suy ra (a3 + 3a2 + 5) (a + 3) Hay a2(a + 3) + 5 (a + 3) Mà a2(a + 3) a + 3 nên 5 ( a + 3) Suy ra a + 3 Ư(5) Lại có a nguyên dương nên a + 3 > 3 Do đó a + 3 = 5, hay a = 2 Từ đó tính được b = 2, c = 1	0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 3 (4,0đ)	a (2,0đ)	Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x4 - 2y2 = 1 (1) Vì x; y chỉ có số mũ chẵn, do đó giả sử Hiển nhiên x lẻ, do đó chia cho 4 dư 1 chẵn, do đó y chẵn Đặt x = 2a+1, y = 2b với a,b thuộc N Thay các biểu thức vào (1) ta được Đặt Ta có: *) Với a= 0 thì x= 1. Thay vào (1) ta được y = 0 Với thì n và 2n+1 là số nguyên dương Vì chúng nguyên tố cùng nhau và tích của chúng bằng b2 Nên mỗi số đều là số chính phương. Đặt Ta có a2+a=k2. Điều này không sảy ra vì a2 < a2+ a <a2+2a+1= (a+1)2 Tức là k2 nằm giữa hai số chính phương liên tiếp Vậy (x; y) = (1;0) ; (-1; 0)	0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
b (2,0đ)	Cho a, b là các bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp (a < b). Chứng minh chia hết cho 192. Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên : Khi đó: Vì là ba số nguyên liên tiếp nên tích Vì và là các cặp hai số nguyên liên tiếp nên Mà nên từ (1), (2), (3) suy ra: Vậy chia hết cho 192.	0.5 0,5 0,5 0,5
Câu 4 (6,0đ)	a. (2,0 đ)	Xét và có: là góc chung; Do đó (gg) Xét và có: là góc chung; (cmt) Do đó (cgc).	0,5 0,5 0,5 0,5
b. (2,0 đ)	Xét và có: ; (hai góc đối đỉnh) Do đó (gg) +Xét và có: (hai góc đối đỉnh) ; (cmt) Do đó (cgc) hay (1) Lại có (theo câu a) hay (2) Từ (1) và (2) +Xét và có: ;HE: cạnh chung (cmt) Do đó (c.h-g.n)	0,5 0.5 0,5 0,5
c. (2,0đ)	Do nên theo định lý Talet, ta có: (3) Do nên theo định lý Talet, ta có (4) Từ (3) và (4) suy ra nên theo định lý Talet đảo (5) Do nên theo định lý Talet, ta có (6) Do nên theo định lý Talet, ta có (7) Từ (6) và (7) suy ra nên theo định lý Talet đảo (8) Do nên theo định lý Talet, ta có (9) Do nên theo định lý Talet, ta có (10) Từ (9), (10) suy ra nên theo định lý Talet đảo (11) Từ (5), (8), (11) suy ra thẳng hàng.	0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 5 (2,0đ)		Cho là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được Hoàn toàn tương tự ta được Từ đó suy ra Do a,b,c là các số không âm nên suy ra Giả sử . Nếu Hoàn toàn tương tự, nếu Như vậy Do đó ta có Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng đạt tại và các hoán vị.	0,5 0,5 0,5 0,5

Lưu ý:

Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.

Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình hoặc vẽ sai hình cơ bản thì không chấm điểm bài hình.

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN

ĐỀ THI

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8
NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn thi: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/03/2023
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức
1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn
2. Tìm để
Câu II: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình

2. Cho là các số không đồng thời bằng 0, thỏa mãn

Tính giá tri biểu thức

Câu III: (4,0 điểm)

1. Chứng minh rằng chia hết cho

2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Câu IV: (6,0 điểm)

Cho hình vuông có độ dài cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh lần lượt lấy 2 điểm (Q không trùng với đỉnh của hình vuông) sao cho . Đường thẳng cắt đường thẳng tại N, đường thẳng cắt đường thẳng tại K

1. Chứng minh . Tính diện tích tứ giác theo a

2. Chứng minh

3. Hãy tìm vị trí của điểm trên sao cho lớn nhất

4. Khi thay đổi trên và thì có giá trị không đổi.

Câu V: (2,0 điểm)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

------------------ HẾT ------------------

Họ và tên: ………………………………Số báo danh: ………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

Câu	Nội dung	Điểm
I.1 2đ	1. ĐKXĐ: Vậy thì	0.5 0.5 0.75 0.25
I.2 2đ	2. Theo câu 1 ta có Vậy	0.5 0.5 0.5 0.5
II.1 2đ	1. ĐKXĐ: Vậy tập nghiệm của phương trình là	0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25
II.2 2đ	2. ĐKXĐ: Từ Nếu thì không thỏa mãn điều kiện vì nên . Khi đó Vì a+b+c=0 nên a3+ b3+ c3 = 3abc (2) Do đó từ (1) và (2) ta có:	0.5 0.5 0,5 0,25 0,25
III.1 2đ	1. Đa thức có hai nghiệm là Ta có nên là nghiệm của đa thức nên chứa thừa số Ta có là nghiệm của đa thức chứa thừa số mà các thừa số không chứa nhân tử chung , do đó chia hết cho Vậy chia hết cho	0.5 0.5 0.5 0.25 0,25
III.2 2đ	2. Với a, b, c > 0 xét biểu thức: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có Mặt khác : Đẳng thức xảy ra khi a = c, b = d. Áp dụng với . Ta có : . Đẳng thức xảy ra khi Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: (x; y) = (2022; 2023).	0.25 0.25 0.5 0.5 0.5
IV.1 1,5đ	1.Xét và , ta có : (tính chất hình vuông) (tính chất đường chéo hình vuông) (cùng phụ Mà Vậy	0.5 0.5 0.25 0.25
IV.2 1,5đ	2.Vì (2 cạnh tương ứng) Vì (đồng vị) (1) Mà Từ (1), (2) suy ra Mà (đối đỉnh) (4) Từ (3), (4)	0.5 0.5 0.5
IV.3 1,5đ	3.Theo kết quả câu 2, ta có lớn nhất khi lớn nhất Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có Do đó lớn nhất bằng khi , tức là là trung điểm của BC Suy ra P là trung điểm của AB Vậy khi P là trung điểm của thì lớn nhất	0.5 0.5 0,5
IV.4 1,5đ	4.Từ (5) ta có : mà (đối đỉnh) nên (theo (1) và (6)) nên Ta có : Từ (7) và (8) ta có : Vì Từ (9) và (10) ta được : không đổi (vì a không đổi)	0.5 0.5 0.5
V 2đ	Với a, b, c >0 và a+b +c=3 Ta có Theo bất đẳng thức , do đó ta có (1) Áp dụng tương tự ta được (2) (3) Từ (1), (2), (3) ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy , khi a= b=c=1	0.25 0.5 0.5 0.5 0.25

Ghi chú : Câu IV học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm.

Học sinh làm bài bằng cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO
TP NAM ĐỊNH

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG
Tháng 01 năm 2023
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút.

Bài 1: (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

2) Tìm biết

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2: (4 điểm)

1) Cho đa thức là đa thức bậc bốn với hệ số nguyên, có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn ; ; . Chứng minh rằng là số chẵn.

2) Tìm nguyên biết .

Bài 3: (3 điểm)

1) Tìm số nguyên dương để là số nguyên tố.

2) Cho và . Tính giá trị của biểu thức: .

Bài 4: (7 điểm)

1) Cho hình vuông , là giao điểm của và . Gọi là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng ( ). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại .

a) Chứng minh ;

b) Gọi lần lượt là hình chiếu của và trên , là giao điểm của và . Chứng minh và ;

2) Cho trên cạnh AC lấy điểm M sao cho . Kẻ , trên lấy điểm . Tính .

Bài 5: (2 điểm)

1) Cho các số thực thỏa mãn .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

2) Bên trong một hình vuông có cạnh bằng cho điểm. Chứng minh rằng trong số các tam giác có đỉnh là các điểm đó hoặc các đỉnh hình vuông, tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá .

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

2) Tìm biết

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

1)

2) Tìm biết

Đặt . Ta có:

+) Nếu

+) Nếu

Vậy .

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:

Dấu xảy ra khi

Vậy có GTNN là khi .

Bài 2: (4 điểm)

1) Cho đa thức là đa thức bậc bốn với hệ số nguyên, có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn ; ; . Chứng minh rằng là số chẵn.

2) Tìm nguyên biết .

Lời giải

1) Cho đa thức là đa thức bậc bốn với hệ số nguyên, có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn ; ; . Chứng minh rằng là số chẵn.

Đặt

Ta có:

là nghiệm của đa thức

Vì là đa thức bậc bốn với hệ số nguyên có hệ số cao nhất là 1 nên là đa thức bậc bốn với hệ số nguyên có hệ số cao nhất là 1

;

Vậy là số chẵn.

2) Tìm nguyên biết .

Vì nên

Ta có bảng:

1	7	-1	-7
7	1	-7	-1
3	1	-7	-5
1	-3	-3	1

Thử lại ta thấy các giá trị thỏa mãn đề bài

Vậy là .

Bài 3: (3 điểm)

1) Tìm số nguyên dương để là số nguyên tố.

2) Cho và . Tính giá trị của biểu thức: .

Lời giải

1) Tìm số nguyên dương để là số nguyên tố.

+) Với (thoả mãn đề bài)

+) Với ta có:

Ta có:

Mà

Chứng minh tương tự ta có:

Mà

Vì nên

là hợp số

Vậy .

2) Cho và . Tính giá trị của biểu thức: .

Có

(vì )

Có

Dấu xảy ra khi

Khi đó

Vậy thỏa mãn đề bài.

Bài 4: (7 điểm)

1) Cho hình vuông , là giao điểm của và . Gọi là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng ( ). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại .

a) Chứng minh ;

b) Gọi lần lượt là hình chiếu của và trên , là giao điểm của và . Chứng minh và ;

2) Cho trên cạnh AC lấy điểm M sao cho . Kẻ , trên lấy điểm . Tính .

Lời giải

1)

a) Có (vì ABCD là hình vuông)

( )

Chứng minh

b) Gọi lần lượt là hình chiếu của và trên , là giao điểm của và . Chứng minh và ;

Xét và có:

(cùng phụ với )

Xét và có: ; (cùng phụ với )

Có

Mà

Gọi H là giao điểm của AG và BF

có

Xét và có: ; ; (vì )

Gọi N là giao điểm của DG và AC, K là giao điểm của AF và DG

vuông tại nên

Mà ,

Xét có ,

là trực tâm của

hay .

2)

Xét và có chung đáy , chiều cao hạ từ xuống bằng chiều cao hạ từ xuống (vì ) nên

Chứng minh

Có

Bài 5: (2 điểm)

1) Cho các số thực thỏa mãn .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

2) Bên trong một hình vuông có cạnh bằng cho điểm. Chứng minh rằng trong số các tam giác có đỉnh là các điểm đó hoặc các đỉnh hình vuông, tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá .

Lời giải

1) Do nên

Tương tự ;

Dấu “ =” xảy ra

Vậy A có giá trị lớn nhất của là 1 khi

2) Gọi 50 điểm nằm trong hình vuông vuông có cạnh bằng 1 là
+ Nối với các đỉnh hình vuông ta được 4 tam giác

+ Xét điểm với

Nếu nằm trong một tam giác đã tạo ra (chẳng hạn như hình vẽ). Nối với ba đỉnh của tam giác đó ta được 3 tam giác số tam giác được tăng thêm là 2( từ 1 thành 3).

Nếu nằm trên một cạnh chung của hai tam giác đã tạo thành (chẳng hạn như hình vẽ). Nối với hai đỉnh đối diện với cạnh chung ta được 4 tam giác số tam giác được tăng thêm là 2( từ 2 thành 4).

Như vậy sau bước 1 ta được 4 tam giác, trong 49 bước còn lại mỗi bước tăng thêm 2 tam giác tổng cộng số tam giác là 4 + 49.2 = 102 tam giác.

Mà tổng diện tích của 102 tam giác là 1 tồn tại một tam giác có diện tích không quá .

HẾT

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NHƯ XUÂN

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
LỚP 8
NĂM HỌC: 2022-2023
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn

b) Tìm để

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Cho đa thức , với . Tìm giá trị nhỏ nhất của , giá trị lớn nhất của để đa thức là tích của hai đa thức với hệ số nguyên.

b) Tìm sao cho chia hết cho đa thức

c) Với giá trị nào của thì giá trị của phân thức bằng Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

b) Cho phương trình , tìm để phương trình có nghiệm dương.

Bài 4: (6,0 điểm) Cho vuông tại có đường trung tuyến . Vẽ tia vuông góc với và vuông góc với ; và cắt nhau tại . Vẽ vuông góc với . Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh:

a) và đồng dạng với .

b) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

c)

d) Ba điểm thẳng hàng.

Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn

b) Tìm để

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Lời giải

a) xác định

Vậy ĐKXĐ:

Vậy ( với )

b)

( với )

Vậy thì

c)

Áp dung BĐT Côsi cho hai số dương nên ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(do ) (TMĐKXĐ)

Vậy khi .

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Cho đa thức , với . Tìm giá trị nhỏ nhất của , giá trị lớn nhất của để đa thức là tích của hai đa thức với hệ số nguyên.

b) Tìm sao cho chia hết cho đa thức

c) Với giá trị nào của thì giá trị của phân thức bằng

Lời giải

a)

Gọi là hai đa thức bậc nhất với và là nhân tử của .

Hay . Khi đó đồng nhất hệ số ta được

Do nên cùng dấu.

Mà thỏa mãn nên ta có các trường hợp sau:

1	2	3	4	5	6	7	8
8	7	6	5	4	3	2	1
8	14	18	20	20	18	14	8

Vậy nhỏ nhất là , lớn nhất là .

b) ;

Ta có

Do chia hết cho đa thức nên với là đa thức

Với ta được hay

Với ta được hay

Khi đó ta có

Vậy .

c) ( ĐK: (1))

Do

Nên

Thay vào (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy thì

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

b) Cho phương trình , tìm để phương trình có nghiệm dương.

Lời giải

a)

Ta thấy không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của các phân thúc cho x ta có

Đặt ta được:

Với

vô lý

Với

Tập nghiệm của phương trình là .

b) (1)

Phương trình (1) có nghiệm nguyên dương

Ta có

+) (*)

+)

TH1: vô lý

TH2: (**)

Từ (*), (**) ta có .

Bài 4: (6,0 điểm) Cho vuông tại có đường trung tuyến . Vẽ tia vuông góc với và vuông góc với ; và cắt nhau tại . Vẽ vuông góc với . Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh:

a) và đồng dạng với .

b) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

c)

d) Ba điểm thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét vuông tại

vuông góc với

Suy ra (đpcm)

Ta có ( vuông tại )

Mà (1)

Có là đường trung tuyến của vuông tại

cân tại (2)

Từ (1), (2) ta có

Xét và có:

Suy ra đồng dạng với (g.g)

b) có tại (gt);

mà tại (gt) (hai góc so le trong)

Ta có (cmt) cân tại (3)

Có ; (4)

Từ (3), (4) mà (cmt) suy ra

cân tại

Mặt khác

là trung điểm của đường chéo và tứ giác là hình bình hành.

Mà nên tứ giác là hình chữ nhật.

c) Ta có tại ; tại

(hệ quả định lí Talet)

Có (vì ) (hệ quả định lí Talet)

Suy ra mà là trung điểm của d) Gọi là giao điểm của và

Ta có (hệ quả định lí Talet)

(cmt) (hệ quả định lí Talet)

Mà là trung điểm của , là trung điểm của mà

Vậy 3 điểm thẳng hàng.

Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Lời giải

Gọi ba cạnh của tam giác là

Ta có

Từ (1)

Ta có mà nên (*) vô nghiệm.

Vậy , thế vào (2) ta có:

Mà là các ước lớn hơn hoặc bằng của và

là hai số nguyên cùng dấu nên ta có các trường hợp sau: