TUYỂN TẬP 100 Đề thi hsg toán 9 cấp tỉnh có đáp án NĂM 2021 - 2022 LINK DRIVE

[Yopovn]

TUYỂN TẬP 100 Đề thi hsg toán 9 cấp tỉnh có đáp án NĂM 2021 - 2022 được soạn dưới dạng file word gồm các file trang. Các bạn xem và tải đề thi hsg toán 9 cấp tỉnh về ở dưới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ​

ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN THI: TOÁN - THCS Ngày thi: 26/12/2021 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ​

(Đề thi có 01 trang)​

Bài 1: (4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức:

với

2. Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện .

Tính giá trị biểu thức .

Bài 2: (4,0 điểm).

1. Giải phương trình: .

2. Giải hệ phương trình: .

Bài 3: (4,0 điểm).

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

​

2. Cho ba số tự nhiên thỏa mãn là số nguyên tố và .

Chứng minh là số chính phương.

Bài 4: (6,0 điểm).

Cho nửa đường tròn đường kính và là điểm thay đổi trên nửa đường tròn đó ( khác và ). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến và . Tiếp tuyến tại của nửa đường tròn cắt các tia theo thứ tự tại . Gọi là giao điểm của và cắt tại .

1. Chứng minh song song với và là trung điểm của đoạn thẳng .

2. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh tại . Chứng minh rằng .

3. Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tia tại . Gọi là giao điểm của và . Xác định vị trí của điểm trên nửa đường tròn sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo .

Bài 5: (2,0 điểm).

Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng

---HẾT---​

Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức

với

b) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải.​

a) Ta có



b) Ta có

Tương tự ta cũng có

Do đó

Bài 2: a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

Lời giải. ​

a) ĐKXĐ:

Đặt

Ta có





Xét (loại); (thỏa mãn)

Xét . Do

Vậy phương trình có nghiệm

b) ĐKXĐ: . Cộng theo vế các phương trình của hệ ta có



Xét thay vào phương trình được



Với . Với (TMĐK)

Xét thay vào phương trình được vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm

Bài 3:

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn



b) Cho ba số tự nhiên thỏa mãn là số nguyên tố và . Chứng minh rằng là số chính phương.

Lời giải. ​

a) Đặt . Vì nên

Ta có



Vì là số nguyên nên

Với . Với hoặc thì không là số nguyên. Thử lại ta có thỏa mãn bài toán

b) Ta có

Giả sử , vì là số nguyên tố nên

Xét . Suy ra tồn tại sao cho , thay vào ta có là số chính phương, mà và là hai số tự nhiên liên tiếp nên Khi đó là số chính phương. Xét . Suy ra tồn tại sao cho là số nguyên tố, mà kết hợp với ta có là số chính phương

Bài 4:

Cho nửa đường tròn , đường kính và là điểm thay đồi trên nửa đường tròn đó khác . Trên cùng một nựa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến và . Tiếp tuyến tại của nửa đường tròn cắt các tia theo thứ tự tại . Gọi là giao điểm của và cắt tại .

a) Chứng minh rằng song song với và là trung điểm của .

b) Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh tại .

Chứng minh rằng

c) Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tia tại . Gọi là giao điểm của và . Xác định vị trí của điểm trên nửa đường tròn sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo.

Lời giải. ​

a) Áp dụng định lí Thales ta có hay

Mặt khác

hay là trung điểm của

b) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với lần lượt tại Ta có





Tương tự ta cũng có

c) Kẻ tại . Dễ dàng chứng minh được là hình chữ nhật. Đặt Ta có Áp dụng BĐT Cauchy ta có .

Suy ra . Diện tích lớn nhất khi lớn nhất (vì cố định), hay .

Dấu "=" xảy ra khi . Điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho . Khi đó

Bài 5: Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng

Lời giải. ​

Ta có .

Áp dụng BĐT Svacxơ ta có



Áp dụng BĐT phụ ta có

Suy ra .

Tương tự ta cũng có

.

Từ và suy ra . Dấu xảy ra khi

THẦY CÔ TẢI NHÉ!