MÔN TOÁN TUYỂN TẬP BỘ 63 Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2024-2025 * GOM CÁC TỈNH CẢ NƯỚC

[Yopovn]

TUYỂN TẬP BỘ 63 Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2024-2025 * GOM CÁC TỈNH CẢ NƯỚC được soạn dưới dạng file word gồm 63 FILE trang. Các bạn xem và tải đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh về ở dưới.


Bài 1. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình .

b) Cho ba số thực thoả mãn và . Tính giá trị biểu thức

.

Bài 2. (5,0 điểm).

a) Cho ba số nguyên thoả mãn và đều chia hết cho 8. Chứng minh rằng chia hết cho 64.

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y lớn hơn 1 sao cho chia hết cho

Bài 3. (2,0 điểm). Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng:





Bài 4. (6,0 điểm). Cho tam giác nội tiếp đường tròn , có H là trực tâm. Gọi O’ là điểm đối xứng với điểrm O qua đường thẳng BC. Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO’ cắt các đường thẳng AB và AC theo thứu tự tại M, N. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

a) Chứng minh rằng O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.

b) Chứng minh ba điểm A, H. I thẳng hàng.

c) Gọi P là giao điểm thưu shai của đường thẳng AH và đường tròn ; Q là giao điểm của hai đường thẳng OP và BC. Đường thẳng QR song song với đường thẳng OI.



Bàu 5. (2,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn: .

b) Xét số nguyên thoả mãn tồn tại tập hợp S gồm n số thực dương sao cho mỗi phần tử x của tập S đều tồn tại 100 phần tử khác x của tập hợp S có tích bằng x. Hỏi n nhỏ nhất bằng bao nhiêu.

---Hết---​

HƯỚNG DẪN GIẢI​

Bài 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình .

b) Cho ba số thực thoả mãn và . Tính giá trị biểu thức

.

Lời giải

a) Điều kiện: . Từ phương trình, ta có hay Từ đó . Tuy nhiên, khi thử lại chỉ có và thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình .

b) Do nên . Mà nên , hay Một cách tương đương, ta có suy ra . Từ đó . Vậy .

Bài 2. (5,0 điểm).

a) Cho ba số nguyên thoả mãn và đều chia hết cho 8. Chứng minh rằng chia hết cho 64.

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y lớn hơn 1 sao cho chia hết cho

Lời giải

a) Trong ba số a, b, c có hai số có cùng tính chẵn lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử a và b. Suy ra a + b chia hết cho 2. Mà a + b + c chia hết cho 8 nên c chẵn. Từ đó chia hết cho 4. Mà chia hết cho 8 nên ab chia hết cho 4. Kết hợp với a, b cùng tính chẵn lẻ, ta suy ra a, b cùng chẵn.

Đặt với nguyên. Từ giả thiết, ta suy ra chia hết cho 4 và chia hết cho 2. Chứng minh tương tự như trên, ta có cùng chẵn. Suy ra cùng chia hết cho 4. Từ đó abc chia hết cho 64. Ta có điều phải chứng minh.

b) Giả sử tồn tại hai số nguyên x, y lớn hơn 1 sao cho chia hết cho . Khi đó chia hết cho . Mà và là hai số nguyên tố cùng nhau nên chia hết cho , mâu thuẫn vì . Vậy không tồn tại hai số nguyên lớn hơn 1 sao cho chia hết cho .

Bài 3. (2,0 điểm). Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng:

.

Lời giải

Đặt và , khi đó từ giả thiết, ta có . Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết được lại thành

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có



Mặt khác, theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

Suy ra . Ta cũng có nên , từ đó

. Kết hợp bất đẳng thức trên, ta được



Lại có nên . Kết hợp với bất đẳng thức ở trên ta được



Ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Bài 4. (6,0 điểm). Cho tam giác nội tiếp đường tròn , có H là trực tâm. Gọi O’ là điểm đối xứng với điểrm O qua đường thẳng BC. Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO’ cắt các đường thẳng AB và AC theo thứu tự tại M, N. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

a) Chứng minh rằng O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.

b) Chứng minh ba điểm A, H. I thẳng hàng.

c) Gọi P là giao điểm thưu shai của đường thẳng AH và đường tròn ; Q là giao điểm của hai đường thẳng OP và BC. Đường thẳng QR song song với đường thẳng OI.

Lời giải



a) Kẻ đường kính AK của đường tròn . Khi đó, ta có , nên và . Từ đó. Tứ giác là hình bình hành, suy rah ai đonạ thửng và có trung điểm . Do điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng nên đường thẳng vuông góc với . Mà là đường trung trực của đoạn thẳng nên tứ giác là hình thoi.



Lại có là trung điểm của và nê tứ giác là hình bình hành



là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

b) Dễ dàng chứng minh được bổ đề sau: Cho tam giác nhọn, không cân, có đường cao AD, nội tiếp đường tròn . Khi đó và

Trở lại bài toán: Do ( vì ) và nên

Mà nên theo bổ đề thì

Áp dụng bổ đề ta có và

Do đó hai tia AI và AD trùng nhau, hay ba điểm A, I, H thẳng hang.

c) Gọi AS là đường kính của đường tròn (I). khi đó

nên ba điểm thẳng hàng.

THẦY CÔ TẢI NHÉ!

HÌNH ẢNH LÀ FILE ĐÍNH KÈM!