MÔN TOÁN BỘ Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 9 ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC FILE PDF

[Yopovn]

BỘ Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 9 ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC FILE PDF được soạn dưới dạng file PDF gồm các file trang. Các bạn xem và tải chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 9 về ở dưới.
yopovn - 0979702422
CHUYÊN ĐỀ 11. BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ THỰC TẾ HÌNH HỌC
PHẦN I. HÌNH HỌC PHẲNG
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Từ hình vẽ bên, ta có
 Cạnh góc vuông: AB AC ,
 Cạnh huyền: BC .
 Đường cao: AH .
 HA là hình chiếu của AB trên cạnh BC .
 HC là hình chiếu của AC trên cạnh BC .
 Định lý Py-ta-go: BC AB AC 2 2 2 = +
1. Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
 Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng �ch của cạnh huyền và hình
chiếu của nó trên cạnh huyền.
BA BH BC 2 = ⋅ hay c c a 2 = ⋅ ' ;
CA CH CB 2 = ⋅ hay b b a 2 = ⋅ ' .
2. Hệ thức liên quan đến đường cao
Trong một tam giác vuông
 Bình phương độ dài đường cao bằng �ch hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
AH HB HC 2 = ⋅ hay h b c 2 = ⋅ ' ' .
 Tích độ dài đường cao với cạnh huyền bằng �ch độ dài hai cạnh góc vuông.
AH BC AB AC ⋅ = ⋅ hay a h b c ⋅ = ⋅ .
 Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh
góc vuông.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + hay 1 1 1 2 2 2
h a b
= + .yopovn - 0979702422
3. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng
 Tích của cạnh huyền với sin của góc đối hoặc cô-sin của
góc kề.
 Tích của cạnh góc vuông kia với tang góc đối hoặc cô-
tang góc kề.
Trong hình bên, ta
sin cos ;
sin cos ;
b a B a C
c c C a B
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
tan cot ;
tan cot .
b c B c C
c b C b B
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
B.CÁC DẠNG BÀI TOÁN
Dạng 1: Tính độ cao của vật, hoặc khoảng cách giữa hai điểm, �nh góc.
I. Phương pháp:
- Vẽ lại hình vẽ theo yêu cầu bài toán (chú ý tạo ra tam giác vuông).
- Xác định các yếu tố cần thiết rồi �nh theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác hoặc sử
dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để �m góc.
II. Bài tập mẫu.
Bài 1. Một cột cờ cao 3,5 m có bóng trên mặt đất dài 4,8m. Hỏi góc giữ �a sáng mặt trời và bóng
cột cờ là bao nhiêu?
Lời giải
Ta gọi α là góc tạo bởi �a sáng mặt trời và bóng cột cờ
3,5 0
sin 36
4,8
α α = ⇒ ≈
Vậy góc tạo bởi �a sáng mặt trời và bóng cột cờ là 360
Bài 2. Từ đỉnh một toàn nhà cao 60m, người ta nhìn thấy một chiếc ô
Tô đang đỗ dưới 1 góc 280 so với mặt đường nằm ngang. Hỏi chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó
bap nhiêu ?
Lời giải
Gọi x là khoảng cách ô tô đỗ cách tòa nhàyopovn - 0979702422
Ta có 0
0
60 60
sin 28 112,86( )
sin 28
x x m
x
= ⇒ = ⇒ ≈
Bài 3. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trên một bờ hồ nước sâu, biết Cˆ = 58° ,
CB =13m , CH = 44m như hình bên.
Xét HAC vuông tại H , ta có
44 83 m ( )
cos cos58
HC
AC
= = ≈ C ° .
Mà AB AC BC = − ≈ − = 83 13 70 m ( ).
Bài 4. Một máy bay cất cánh theo phương có góc nghiêng là 230 so với mặt đất. Hỏi muốn đạt
độ cao 250m so với mặt đất thì máy bay phải lên một đoạn là bao nhiêu mét ? (làm tròn đến
mét)
Lời giải
Độ dài đoạn AC chính là quãng đường bay cần đi để đạt độ cao 250m
Xét ∆ABC vuông tại B có

 0
250
sin 640( )
sin sin 23
BC BC
CAB AC m
AC CAB
= ⇒ = = ≈
Vậy máy bay cần bay quảng đường 640 (m) để đạt
độ cao 250m
Bài 5. Trong hình vẽ bên dưới, �nh chiều rộng AB của con sông, biết OC = 47m , AOC = 74° ,

BOC = 23° .
Lời giải
Xét AOC vuông ở C , ta có AC OC = ⋅ tan 74° và BC OC = ⋅ tan 23° .yopovn - 0979702422
Do đó
( )
( ) ( )
tan 74 tan 23
tan 74 tan 23
47 tan 74 tan 23 144,0 m .
AB AC BC OC OC
OC
° °
° °
° °
= − = ⋅ − ⋅
= ⋅ −
= ⋅ − ≈
Vậy AB bằng 144,0m .
Bài 6. Từ nhà bạn An đến trường học, bạn phải đi đò qua một khúc sông rộng 173,2m đến điểm
A (bờ bên kia), rồi từ A đi bộ đến trường tại điểm D (ở hình bên). Thực tế, do nước chảy nên chiếc
đò bị dòng nước đẩy xiên 1 góc 450 đưa bạn tới điểm C (bờ bên kia). Từ C bạn An đi bộ đến trường
theo đường CD mất thời gian gấp đôi khi đi từ A đến trường theo đường AD. Tính dài quãng
đường CD?
Lời giải
∆ABC vuông cân tại A ⇒ = = AC AB m 173,2( )
Do từ C bạn An đi bộ đến trường theo đường CD mất thời gian
gấp đôi khi đi từ A đến trường theo đường AD. Nên quãng đường CD gấp đôi
gấp đôi quãng đường AD⇒ = CD AD 2
Xét ∆ACD có
  0
0 0
1
sin 30
2
173,2
200( )
30 30
AD
ACD ACD
CD
AC
CD m
cos cos
= = ⇒ =
⇒ = = ≈
Bài 7. Khoảng cách giữa hai chân tháp AB và MN là a như hình vẽ bên dưới. Từ đỉnh A của
tháp AB nhìn lên đỉnh M của tháp MN ta được góc α . Từ đỉnh A nhìn xuống chân N của
tháp MN ta được góc β (so với phương nằm ngang AH ). Hãy �m chiều cao MN nếu
a =120m , α = 30°, β = 20° .
Lời giải
Xét MAH vuông tại H , ta có HM AH = ⋅tanα .
Tương tự, xét MAH vuông tại H , ta có HN AH = ⋅tan β .yopovn - 0979702422
Mà
( )
( ) ( )
tan tan
tan tan
120 tan 30 tan 20 113,0 m .
MN HM HN AH AH
AH
α β
α β
° °
= + = ⋅ + ⋅
= ⋅ +
= ⋅ + ≈
Vậy chiều cao MN là 113,0m .
Bài 8. Tính chiều cao một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại 2 điểm A và B cách nhau 500m,
người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nắng lần lượt là 340 và 380
Lời giải
Xét ∆ACD vuông tại C có 
tan 
tan
DC DC
DAC AC
AC DAC
= ⇒ =
Xét ∆BCD vuông tại C có 
tan 
tan
DC DC
DBC BC
BC DBC
= ⇒ =
Có
 
0 0
0 0
500( ) 500
tan tan
1 1 500
. 500 2468( )
tan 34 tan 38 1 1
tan 34 tan 38
DC DC
AC BC AB m
DAC DBC
DC DC m
− = = ⇒ − =
 
⇒ − = ⇒ =   =
 
−
Vậy độ cao của ngọn núi là 2468 (m)
Bài 9. Một cột đèn 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Gần đó có 1 tòa nhà cao tầng có bóng trên
mặt đất dài 80m (hình vẽ). Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng
cao 2m.yopovn - 0979702422
Lời giải
Gọi h là chiều cao của tòa nhà cần �m, α là góc �a nắng mặt trời
tạo với mặt đất lúc ấy. Khi đó ta có
7 7.80
tan 140( )
4 80 4
h
α = = ⇒ = = h m
Vậy tòa nhà đó có : 140:2 = 70 (tầng)
Bài 10. Trong 1 dịp lễ hội kỉ niệm chiến thắng Bạch Đằng của Hưng Đạo Vương Trần Quốc Tuấn,
người ta tổ chức đua thuyền trên sông Bạch Đằng. Ở đích đến có 2 người quan sát S1 và S2 quan
sát 2 thuyền A và B đang đi đến đích. Với máy đo góc chính xác người ta ghi nhận các số liệu
sau:  0
S S B 1 2 = 90 , S S A 1 2 = 800 , S S A 2 1 = 720 , AS S 1 2 = 800 . Hỏi thuyền nào gần bờ hơn? Biết S1
S2= 100m
Lời giải
∆AS S 1 2 cân có góc đáy S S A AS S 1 2 1 2 = =  800
∆AS S 1 2 cân có góc đáy S S A AS S 1 2 1 2 = =  800
Gọi H là trung điểm của S1 S2 ta có AH S S ⊥ 1 2
0
1
AH tan80
S H
=
0 0
⇒ = = ≈ AH S H 1 tan80 50.tan80 283,56m
1  0 0
1 2 2
1 2
BS tan tan 72 100.tan 72 307,77( ) BS S BS m
S S
= = ⇒ = ≈
Như vậy thuyền A gần đích (bờ) hơn thuyền B
III.Bài tập tự luyệnyopovn - 0979702422
Bài 1. Từ đỉnh một ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo
dưới góc 300 so với mặt nằm ngang chân đèn. Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mục nước
biển) bằng bao nhiêu?
Bài 2. Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp
ở góc 200 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 1,5m. Hãy �nh chiều
cao của tháp.
Bài 3. Hai cột thẳng đứng của hai trại A và B, của lớp 9A và lớp 9B, cách nhau 8m. Từ một cái cọc ở
chính giữa hai cột, người ta đo được góc giữa các dây căng từ đỉnh hai cột của hai trai A và B đến
cọc tạo với mặt đất lần lượt là 350 và 300. Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?
Bài 4. Một người đứng trinh sát cách một tòa nhà một khoảng 10m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta
đúng đến nóc tòa nhà là 400
a) Tính chiều cao của tòa nhà.
b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 350 thì
c) anh ta cách ngôi nhà bao nhiêu mét? Khi đó anh ta
�ến lại gần hay ra xa ngôi nhà?
Bài 5. Một con mèo ở trên 1 cành cây cao 6,5 m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu
thang đạt độ cao đó, khi đó góc của thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 6,7m.
Bài 6. Một cột điện cao 8m có bóng trên mặt đát (nằm ngang) dài 25m. Hỏi �a nắng tạo với mặt
trời một góc bao nhiêu độ? (làm tròn đến phút)
Bài 7. Một tàu ngầm đang ở mặt biển bỗng đột ngột lăn xuống theo phương tạo với mặt nước biển
1 góc 210
a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được
300m thì nó ở độ sau bao nhiêu? Khi đó khoảng cách
theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu?yopovn - 0979702422
b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét nữa để đạt đến độ sâu 1000m.
Bài 8. Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7 cm,
được chiếu bởi một chùm �a gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn �a cách khối
u (trên mặt da) 8,3cm.
a) Hỏi góc tạo bởi chùm �a với mặt da?
b) Chùm �a phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u?
Bài 9. Hiện nay tại nước Mỹ quy định cầu thang cho người khuyết tật dùng xe lăn có hệ số góc
không quá 1
2
. Để phù hợp với �êu chuẩn ấy thì chiều cao của cầu thang tối đa là bao nhiêu khi
biết đáy cầu thang có đọ dài là 4m.
Bài 10. Tại điểm A trên con sông có một tháp truyền hình. Tại điểm B trên bờ bên kia con sông
người ta nhìn lên đỉnh tháp với 1 góc 400 so với đường nằm ngang (góc nhìn lên này gọi “góc
nâng”). Nếu trên �a đối của �a BA người ta đúng ở điểm cách B một khoảng 35m thì góc nhìn lên
đỉnh tháp là 300. Tính chiều rộng khúc sông và độ cao của đỉnh Tháp (Tính gần đúng đến hàng đơn
vị)
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾTyopovn - 0979702422
Bài 1. Từ đỉnh một ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một
hòn đảo dưới góc 300 so với mặt nằm ngang chân đèn. Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở
mục nước biển) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) là x
Ta có góc aBC BCA  = =  300 (hai góc so le trong)
0
0
38 38
tan 30 65,818
tan 30
x m
x
= ⇒ = =
Vậy khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển)
Là 65, 818 m
Bài 2. Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten
150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 200 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt
đến mặt đất bằng 1,5m. Hãy �nh chiều cao của tháp.
Lời giải
Ta có
AB = ≈ 150.tan 20 54,60( ) 0 m
Chiều cao của tháp là 54,60 + 1,5 = 56,1 (m)yopovn - 0979702422
Bài 3. Hai cột thẳng đứng của hai trại A và B, của lớp 9A và lớp 9B, cách nhau 8m. Từ một cái cọc ở
chính giữa hai cột, người ta đo được góc giữa các dây căng từ đỉnh hai cột của hai trai A và B đến
cọc tạo với mặt đất lần lượt là 350 và 300. Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?
Lời giải
Gọi độ cao của cột trại A, trại B lần lượt là x và y
Ta có
04.tan 35 2,80x m= = 0
y m = = 4.tan 30 2,309
Vậy cột A cao hơn cột B là 2,80 – 2,309 = 0,491m
Bài 4. Một người đứng trinh sát cách một tòa nhà một khoảng 10m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta
đúng đến nóc tòa nhà là 400
a) Tính chiều cao của tòa nhà.
b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 350 thì
anh ta cách ngôi nhà bao nhiêu mét? Khi đó anh ta
�ến lại gần hay ra xa ngôi nhà?
Lời giải
a) Gọi chiều cao của tòa nhà là x (m)
Ta có
x m = = 10.tan 40 8,391( ) 0
Vậy chiều cao của tòa nhà là 8,391(m)
c) Gọi khoảng cách người trinh sát đứng cách toàn nhà là y (m)
Ta có 0
0
8,391 8,391
tan 35 11,984( )
tan 35
y m
y
= ⇒ = ≈
Vậy khoảng cách người trinh sát đứng cách toàn nhà là 11, 984 (m). Anh ta lùi ra xa ngôi nhà hơnyopovn - 0979702422
Bài 5. Một con mèo ở trên 1 cành cây cao 6,5 m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu
thang đạt độ cao đó, khi đó góc của thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 6,7m.
Lời giải
Ta có
6,5 0
sin 76
6,7
α α = ⇒ ≈
Vậy góc của thang với mặt đất là 760
Bài 6. Một cột điện cao 8m có bóng trên mặt đát (nằm ngang) dài 25m. Hỏi �a nắng tạo với mặt
trời một góc bao nhiêu độ? (làm tròn đến phút)
Lời giải
Gọi �a nắng tạo với mặt trời một góc α
Ta có tan 8 17 44 ' 0
25
α α = ⇒ ≈
Vậy �a nắng tạo với mặt trời một góc 17 44 ' 0
Bài 7. Một tàu ngầm đang ở mặt biển bỗng đột ngột lăn xuống theo phương tạo với mặt nước biển
1 góc 210
a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được
300m thì nó ở độ sau bao nhiêu? Khi đó khoảng cách
theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu?
b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét nữa để đạt đến độ sâu 1000m.
Lời giải
Lúc trên mặt biển và bắt đầu lặn, tàu ở vị trí A và chuyển động
theo phương lặn tới vị trí B cách A 300m. Từ vị trí B, theo
phương thẳng đứng cách mặt nước tại điểm C. Khi đó tàu ở
độ sâu là khoảng cách BC
Ta cóyopovn - 0979702422
sin sin 210 0 300.sin 21 108
300
BC BC
BAC BC m
AB
= ⇒ = ⇒ = ≈
Độ sâu của tàu là 108m
Khoảng cách theo phương nằm ngang của tàu tại hai thời điểm là AC
Ta có
 0 0
21 300. 21 208
300
AC AC
cosBAC cos AC cos m
AB
= ⇒ = ⇒ = ≈
Khoảng cách theo phương nằm ngang của tàu trước và sau khi lặn là 280m.
b) sin sin 210 1000 10000 2790
sin 21
BC
BAC AB m
AB AB
= ⇒ = ⇒ = ≈
Bài 8. Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7 cm, được chiếu bởi một chùm �a gamma.
Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn �a cách khối u (trên mặt da) 8,3cm.
a) Hỏi góc tạo bởi chùm �a với mặt da?
b) Chùm �a phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u?
Lời giải
a) Gọi góc tạo bởi chùm �a với mặt da là α ta có
5,7 0
tan 34 28'
8,3
α α = ⇒ ≈
Vậy góc tạo bởi chùm �a với mặt da là 34 28' 0yopovn - 0979702422
b) Gọi độ dài chúm �a cần �m là x. Ta có
x2 2 2 = + 5,7 8,3 (định lí Pytago)
⇒ ≈ x cm 10,1
Vậy chùm �a phải đi một đoạn dài 10,1cm để đến được khối u
Bài 9. Hiện nay tại nước Mỹ quy định cầu thang cho người khuyết tật dùng xe lăn có hệ số góc
không quá 1
2
. Để phù hợp với �êu chuẩn ấy thì chiều cao của cầu thang tối đa là bao nhiêu khi biết
đáy cầu thang có đọ dài là 4m.
Gọi x là chiều cao của cầu thang.
Xét hệ trục tọa độ O(0 ;0), A(-4 ;0), B(0 ;x)
Hệ số góc của cầu thang là :

tan
4
OB x
a OAB
OA
= = =
Theo quy chuẩn thì :
1 1 1
( )
2 4 2 3
x
a x m ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Vậy chiều cao tối đa của cầu thang là 1
3
m
Bài 10. Tại điểm A trên con sông có một tháp truyền hình. Tại điểm B trên bờ bên kia con sông
người ta nhìn lên đỉnh tháp với 1 góc 400 so với đường nằm ngang (góc nhìn lên này gọi “góc
nâng”). Nếu trên �a đối của �a BA người ta đúng ở điểm cách B một khoảng 35m thì góc nhìn lên
đỉnh tháp là 300. Tính chiều rộng khúc sông và độ cao của đỉnh Tháp (Tính gần đúng đến hàng đơn
vị).yopovn - 0979702422
Lời giải
Gọi đỉnh tháp là D. Chiều cao của tháp là AD = x
Chiều rộng của khúc sông là AB = y. Ta có
tan tan 40 B AD 0 0 x x y.tan 40 (1)
AB y
= ⇒ = ⇒ =
tan tan 300 0 ( 35).tan 30 (2)
35
AD x
C x y
AC y
= ⇒ = ⇒ = +
+
Từ (1) và (2) suy ra:
0 0
0
0
0 0
.tan 40 ( 35).tan 30
35.tan 30
94 ; 94.tan 40 79
tan 40 tan 30
y y
y m x m
= +
⇒ = ≈ = ≈
−
C. HỆ THỐNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG ĐỀ THI CÁC NĂM QUA TỪ 2016-2021
Bài 1. (Đề thi Tỉnh Cà Mau năm học 2020 -2021). Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột
lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc
a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống thì nó ở độ sâu bao nhiêu mét
b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu
(Lầm tròn kết quả đến mét)
Bài 2. (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái năm 2021-2022)
Chọn phương án trá lời đúng duy nhất trong các câu sau:
Để đo chiều cao của một bức tường người ta đặt hai cọc thẳng đứng vuông góc với mặt đất
(cọc (1) cố định; cọc (2) có thể di động được) và sợi dây như hình vẽ. Cọc (1) có chiều cao
. Người ta đo được các khoảng cách và . Khi đó chiều cao của
bức tường bằng
200
400m
1000 ? m
AB
FC
DK  2,5 m BC  6 m DC  2 myopovn - 0979702422
A. . B. . C. . D. .
Bài 3. (0,5 điểm) (Tuyển sinh tỉnh Kiên Giang năm 2020-2021) Chế tạo và phóng thành cộng vệ �nh
nhân tạo là một trong những thành tựu vĩ đại của loài người trong thế kỷ Ngày nay trên thế
giới có hơn vệ �nh đang hoạt động trên bầu trời. Ngày 19 tháng 4 năm 2008 Việt Nam đã có
vệ �nh viễn thông đầu �ên là và �nh đến nay 2019, chúng ta đã có tổng cộng 6 vệ �nh
đang hoạt động phục vị cho viễn thông, dự báo thời �ết, nghiên cứu khoa học,…. Có điều thú vị là
có thể quan sát một số vệ �nh nhân tạo bằng mắt thường vào những ngày thời �ết tốt. Giả sử vào
một thời điểm trong ngày, từ hai đài quan sát thiên văn A và B, người ta thấy một vệ �nh nhân tạo
bây trên bầu trời với góc nhìn như hình vẽ . Biết khoảng cách giữa A và B là Em hãy �nh độ
cao của vệ �nh tại điểm C so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị)
Bài 4. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2020-2021)
4,5 m 6 m 5 m 7,5 m
XX.
1.000
Vinasat −1
110 . km
86,20
83,90
VỆ TINH
NHÂN TẠO
A Byopovn - 0979702422
Đường bay lên của một máy bay tạo với
phương nằm ngang một góc là 200 (như hình
vẽ).Để đạt độ cao là 5000m thì máy bay đó
bay được quãng đường là bao nhiêu ?
Bài 5. (Tuyển sinh TP Cần Thơ năm 2020-2021)
Chọn đáp án đúng
Từ đỉnh của một tòa nhà cao người ta nhìn thấy một ô tô đang đỗ ở vị trí A với một góc
(minh họa như hình vẽ). Khoảng cách từ A đến vị trí B của tòa nhà đó là (Kết quả làm tròn đến chữ
số thập phân thứ nhất)
Bài 6. (Tuyển sinh tỉnh Đồng Tháp năm 2020-2021)
Tính chiều rộng AB của một dòng sông (hình
vẽ). Biết BC m BD m = = 9 , 12
Bài 7. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2020-2021)
5000m
200
C
B A
70 , m 500
70 m
500
B A
A m B m C m D m .45,0 .58,7 .83,4 .53,6
A C
B
Dyopovn - 0979702422
Một chiếc máy bay bay lên tử mặt đất với vận tốc Đường bay lên tạo với phương nằm
ngang một góc Hỏi sau phút máy bay lên cao được bao nhiêu theo phương
thẳng đứng
Bài 8. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2020-2021)
Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ 10 rồi chỉnh mặt thước ngắm cao bằng mắt của
mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ đến mắt tạo với phương
nằm ngang).Khi đó, góc “nâng” đo được là Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó
bằng Tính chiều cao của cột cờ (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)
Bài 9. (Tuyển sinh tỉnh Kiên Giang năm 2020-2021)
Phạt đền, còn gọi là đá phạt mét, hay đá pê-nal-�, là kiểu đá phạt mà vị trí của quả đá phạt này
là 11 mét, �nh từ khung thành và thủ môn của đội bị phạt. Theo đó, em hãy �nh xem “góc sút” của
quả phạt 11 mét là bao nhiêu độ ? (làm tròn đến độ). Biết rằng chiều rộng của cầu môn là
Bài 10. (Tuyển sinh THÀNH PHỐ CẦN THƠ năm 2019-2020)
Anh Bình đứng tại vị trí cách một đài kiểm soát không lưu 50 m và nhìn thấy đỉnh của đài này
dưới một góc so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên dưới). Biết khoảng cách từ mắt của
anh Bình đến mặt đất bằng 1,7 m. Chiều cao của đài kiểm soát không lưu bằng (làm tròn đến
chữ số thập phân thứ hai)
A. B. C. D.
Bài 11. (Tuyển sinh tỉnh NINH BÌNH năm 2019-2020)
Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị
600 / . km h
30 . 0 1,5 kilomet
m
" "
31'.
1,5 . m
A m B m C m D m .6,0 .16,6 .7,5 .5,0
11
7,32m
A B C D .350 0 0 0 .37 .36 .38
A C
55°
BC
40,96 m. 71,41 m. 42,96 m. 73,11 m.yopovn - 0979702422
trí ở bở bên này sang vị trí ở bờ bên kia, đường thẳng vuông góc với các bờ sông. Do
bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị tri cách mội khoảng bằng 30
m. Biết khúc sông rộng m, hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng
bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây).
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1. (Đề thi Tỉnh Cà Mau năm học 2020 -2021). Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột
lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc
a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống thì nó ở độ sâu bao nhiêu mét
b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu
(Lầm tròn kết quả đến mét)
Lời giải
a) Tàu ở độ sâu:
b) Số mét tàu chạy:
Bài 2. (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái năm 2021-2022)
Chọn phương án trá lời đúng duy nhất trong các câu sau:
Để đo chiều cao của một bức tường người ta đặt hai cọc thẳng đứng vuông góc với mặt đất
(cọc (1) cố định; cọc (2) có thể di động được) và sợi dây như hình vẽ. Cọc (1) có chiều cao
. Người ta đo được các khoảng cách và . Khi đó chiều cao của
bức tường bằng
A B AB
C B
150
200
400m
1000 ? m
200
400m
C A
B
AC BC = ≈ .sin 20 137( ) 0 m
0 0
1000
2924( )
sin 20 sin 20
AC
BC = = ≈ m
AB
FC
DK  2,5 m BC  6 m DC  2 myopovn - 0979702422
A. . B. . C. . D. .
Bài 3. (0,5 điểm) (Tuyển sinh tỉnh Kiên Giang năm 2020-2021) Chế tạo và phóng thành cộng vệ �nh
nhân tạo là một trong những thành tựu vĩ đại của loài người trong thế kỷ Ngày nay trên thế
giới có hơn vệ �nh đang hoạt động trên bầu trời. Ngày 19 tháng 4 năm 2008 Việt Nam đã có
vệ �nh viễn thông đầu �ên là và �nh đến nay 2019, chúng ta đã có tổng cộng 6 vệ �nh
đang hoạt động phục vị cho viễn thông, dự báo thời �ết, nghiên cứu khoa học,…. Có điều thú vị là
có thể quan sát một số vệ �nh nhân tạo bằng mắt thường vào những ngày thời �ết tốt. Giả sử vào
một thời điểm trong ngày, từ hai đài quan sát thiên văn A và B, người ta thấy một vệ �nh nhân tạo
bây trên bầu trời với góc nhìn như hình vẽ . Biết khoảng cách giữa A và B là Em hãy �nh độ
cao của vệ �nh tại điểm C so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
4,5 m 6 m 5 m 7,5 m
XX.
1.000
Vinasat −1
110 . km
86,20
83,90
VỆ TINH
NHÂN TẠO
A B
86,20
83,90
C H
A Byopovn - 0979702422
5000m
200
C
B A
Gọi là hình chiếu của vệ �nh đặt tại C trên mặt đất
Đặt
Xét vuông tại H ta có:
Xét vuông tại H, ta có:
Lại có nên ta có:
Vậy vệ �nh được đặt tại C cách mặt đất
Bài 4. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2020-2021)
Đường bay lên của một máy bay tạo với phương
nằm ngang một góc là 200 (như hình vẽ).Để đạt
độ cao là 5000m thì máy bay đó bay được
quãng đường là bao nhiêu ?
Lời giải
Quãng đường máy bay bay được để đạt được độ cao 5000m chính là độ dài đoạn thẳng BC
trong hình vẽ .
Xét ∆ABC vuông tại A ta có: sin 200 0 0 5000 14619( )
sin 20 sin 20
AB AB
BC m
BC
= ⇒ = = ≈
H
CH x x = > ( ) 0
∆ACH
0
tan tan83,9 0
tan83,9
CH x x
A AH
AH AH
= ⇔ = ⇔ =
∆CBH
0
tan tan86,2 0
tan86,2
CH x x
B BH
BH BH
= = = ⇔ =
AB km =110 AB AH BH = − =110
0 0 110 0,04 110 2719,46
tan83,9 tan86,2
2719
x x
x x
x km
⇔ − = ⇔ = ⇔ ≈
⇔ ≈
2719 . km
5000m
200
C
B Ayopovn - 0979702422
Vậy để đạt được độ cao là 5000m thì máy bay (bay từ diểm C) bay được quãng đường là
14619m
Bài 5. (Tuyển sinh TP Cần Thơ năm 2020-2021)
Chọn đáp án đúng
Từ đỉnh của một tòa nhà cao người ta nhìn thấy một ô tô đang đỗ ở vị trí A với một góc
(minh họa như hình vẽ). Khoảng cách từ A đến vị trí B của tòa nhà đó là (Kết quả làm tròn đến chữ
số thập phân thứ nhất)
Lời giải
Chọn B
Khoảng cách từ vị trí A đến B của tòa nhà
70 : tan 50 58,7 0 ≈ m
Bài 6. (Tuyển sinh tỉnh Đồng Tháp năm 2020-2021)
Tính chiều rộng AB của một dòng sông (hình
vẽ). Biết BC m BD m = = 9 , 12
Lời giải
70 , m 500
70 m
500
B A
A m B m C m D m .45,0 .58,7 .83,4 .53,6
A C
B
Dyopovn - 0979702422
Xét tam giác ACD vuông tại D có đường cao DB ta có:
2
DB AB BC = . (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒ = ⇔ = = 12 .9 12 :9 16( ) 2 2 AB AB m
Vậy chiều rộng của dòng sông AB cm =16
Bài 7. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2020-2021)
Một chiếc máy bay bay lên tử mặt đất với vận tốc Đường bay lên tạo với phương nằm
ngang một góc Hỏi sau phút máy bay lên cao được bao nhiêu theo phương
thẳng đứng
Lời giải
phút
Sau giờ máy bay bay được số theo phương là
Sau phút máy bay bay được số kilomet theo phương thẳng đứng là :
Vậy sau phút máy bay bay lên cao được
Bài 8. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2020-2021)
Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ 10 rồi chỉnh mặt thước ngắm cao bằng mắt của
mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ đến mắt tạo với phương
A C
B
D
600 / . km h
30 . 0 1,5 kilomet
1,5 1,5 1 ( )
60 40
= = h
1
40
kilomet AB 600. 15( ) 1
40
= km
1,5
15.sin30 15. 7,5 0 1 ( )
2
= = km
1,5 7,5km
m
" "yopovn - 0979702422
nằm ngang).Khi đó, góc “nâng” đo được là Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó
bằng Tính chiều cao của cột cờ (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)
Lời giải
Chọn C
Chiều cao cột cờ
1,5 10.tan 31 7,5 + ≈ 0 m
Bài 9. (Tuyển sinh tỉnh Kiên Giang năm 2020-2021)
Phạt đền, còn gọi là đá phạt mét, hay đá pê-nal-�, là kiểu đá phạt mà vị trí của quả đá phạt này
là 11 mét, �nh từ khung thành và thủ môn của đội bị phạt. Theo đó, em hãy �nh xem “góc sút” của
quả phạt 11 mét là bao nhiêu độ ? (làm tròn đến độ). Biết rằng chiều rộng của cầu môn là
Lời giải
Chọn: B
Gọi góc sút là α
Ta có tan 7,32 : 2 370
2 11
α
= ⇒ ≈ α
Bài 10. (Tuyển sinh THÀNH PHỐ CẦN THƠ năm 2019-2020)
Anh Bình đứng tại vị trí cách một đài kiểm soát không lưu 50 m và nhìn thấy đỉnh của đài này
dưới một góc so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên dưới). Biết khoảng cách từ mắt của
anh Bình đến mặt đất bằng 1,7 m. Chiều cao của đài kiểm soát không lưu bằng (làm tròn đến
chữ số thập phân thứ hai)
31'.
1,5 . m
A m B m C m D m .6,0 .16,6 .7,5 .5,0
11
7,32m
A B C D .350 0 0 0 .37 .36 .38
A C
55°
BCyopovn - 0979702422
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
CK = ≈ 50.tan 55 71,41( ) 0 m
Chiều cao của đài kiểm soát không lưu là 71,41 + 1,7 = 73,11 (m)
Bài 11. (Tuyển sinh tỉnh NINH BÌNH năm 2019-2020)
Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị
trí ở bở bên này sang vị trí ở bờ bên kia, đường thẳng vuông góc với các bờ sông. Do
bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị tri cách mội khoảng bằng 30
m. Biết khúc sông rộng m, hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng
bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây).
Lời giải
Ta có hình vẽ :
Ta có vuông tại
Do đó
Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò đi lệch một góc có số đo bằng
PHẦN II. ĐƯỜNG TRÒN-HÌNH TRÒN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Độ dài đường tròn
 Chu vi đường tròn bán kính R : l R  2 .
40,96 m. 71,41 m. 42,96 m. 73,11 m.
A B AB
C B
150
AB BC ABC ⊥ ⇒ ∆ B
 150  0
tan 5 78 41'24"
30
= = = ⇒ =
AB
ACB ACB
BC
90 78 41'24" 11 18 '36" 0 0 0 − =
150m
B 30m
A
Cyopovn - 0979702422
2. Độ dài cung tròn
 Cho đường tròn có bán kính R . Một cung tròn có số đo n thì có độ dài là
180
Rn
l   .
3. Diện �ch hình tròn
 Diện �ch S của một hình tròn bán kính R được �nh theo công thức S R   2 .
4. Diện �ch hình quạt tròn
 Diện �ch hình quạt tròn bán kính R, cung n được �nh theo công thức
2
360
R n
S     hay
2
l R
S   .
(l là độ dài cung n của hình quạt tròn)
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN
Dạng : Tính độ dài đường tròn, chu vi hình tròn, �nh góc. Tính diện �ch, thể �ch các vật có dạng
hình trụ, hình nón, hình cầu.
I. Phương pháp: Áp dụng công thức ở phần A “Kiến thức cần nhớ” rồi thay số và �nh
II. Bài tập mẫu.
Bài 1. Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn bánh hai trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có
đường kính là 1,672 m và bánh trước có đường kính là 88 cm. Hỏi bánh xe sau lăn được 10 vòng
thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Lời giải
Ta có độ dài bánh xe sau là l d s = = ⋅ = π π 167,2 525,01 khi đó bánh sau quay 10 thì đi được đoạn
đường 5250,1 cm.
Độ dài bánh trước là l d t = = ⋅ = π π 88 276,32 cm. Do đó để đi được đoạn đường 5250,1 cm bánh
trước cần quay 5250,1 19
276,32
= vòng.
Bài 2. Vĩ độ của Hà Nội là 20 01 ° ′ mỗi vòng kinh tuyến dài khoảng 40000 km. Tính độ dài cung kinh
tuyến từ Hà Nội đến xính đạo.yopovn - 0979702422
Lời giải
Ta có độ dài cung tròn từ Hà Nội đến xích đạo được �nh bởi
công thức
20,00167
2222,61
180 180
Rn R
l = = π π ⋅ ⋅ = km.
Bài 3. Cho hình vẽ là một mẫu pho mát được cắt ra từ một khối pho mát
dạng hình trụ (có các kích thước như hình sau). Khối lượng của mẫu pho
mát là bao nhiêu? (khối lượng riêng của pho mát là 3 g/cm 3 ).
Lời giải
Ta có
2
q
10 15 100
8
360 3
V S h = ⋅ = ⋅ = π ⋅ ⋅ π
100
3 100
3
⇒ = ⋅ = ⋅ = m V D π π
III.Bài tập tự luyện
Bài 1. Đường xích đạo của trái đất có độ dài 40000 km. Hỏi bán kính của trái đất dài bao nhiêu?
Bài 2. `Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo gần tròn. Giả thiết quỹ đạo này tròn và
có bán kính khoảng 150 triệu km. Cứ hết một năm thì Trái Đất quay được một vòng quanh Mặt Trời.
Biết 1 năm có 365 ngày, hãy �nh quãng đường đi được của Trái Đất sau 1 ngày (làm tròn đến
10000km)
Bài 3. Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nữa hình tròn đường kính 1,2 m. Người ta muốn
nới rộng mặt bàn bằng cách ghép thêm (vào giữa) một mặt hình chữ nhật có một kích thước là 1,2
m (hình vẽ). Hỏi kích thước kia của hình chử nhật phải là bao nhiêu nếu diện �ch mặt bàn tăng gấp
đôi sau khi nới?
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Bài 1. Đường xích đạo của trái đất có độ dài 40000 km. Hỏi bán kính của trái đất dài bao nhiêu?
Lời giải
Độ dài đường xích đạo là độ dài đường tròn lớn nhất của quả địa cầu, do đó 6.370
l2
R
π
= = km.
Bài 2. `Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo gần tròn. Giả thiết quỹ đạo này tròn và
có bán kính khoảng 150 triệu km. Cứ hết một năm thì Trái Đất quay được một vòng quanh Mặt Trời.yopovn - 0979702422
A D
B C
Biết 1 năm có 365 ngày, hãy �nh quãng đường đi được của Trái Đất sau 1 ngày (làm tròn đến
10000km)
Lời giải
Quảng đường đi được của trái đất sau 1 ngày là
2.3,14.150000000
365
2.3,14.150000000
2580822 2580000( )
365
≈ ≈ km
Bài 3. Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nữa hình tròn đường kính 1,2 m. Người ta muốn
nới rộng mặt bàn bằng cách ghép thêm (vào giữa) một mặt hình chữ nhật có một kích thước là 1,2
m (hình vẽ). Hỏi kích thước kia của hình chử nhật phải là bao nhiêu nếu diện �ch mặt bàn tăng gấp
đôi sau khi nới?
Lời giải
Khi ghép thêm một mặt hình chữ nhật thì diện �ch mặt bàn tăng gấp đôi. Do đó diện �ch hình chử
nhật bằng diện �ch hai nữa hình tròn
Gọi kích thước cần �m của hình chử nhật là x. Ta có
2
2
1,2 1.2
1.2. 1,06
2 0,6 .3,14
x x m π
 
= ⇒ = ≈  
 
Vậy kích thước của hình chử nhật cần �m là 1,06 m
C. HỆ THỐNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG ĐỀ THI CÁC NĂM QUA TỪ 2016-2021
Bài 1. (Tuyển sinh tỉnh Đaklak năm 2020-2021)
Bài 2. (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai 2021-2022)
Một lọ thủy �nh hình trụ có đường kính đáy bằng 15cm ( độ dày của thành lọ và đáy lọ
không đáng kể) chứa nước. Người ta thả chìm hoàn toàn 10 viên bi dạng khối cầu có cùng đường
kính bằng 4cm vào lọ, biết nước trong lọ không tràn ra ngoài. Tính chiều cao của lượng nước dâng
lên so với mực nước ban đầu (kết quả lấy đến một chữ số sau dấu phẩy).
Một vườn cỏ hình vuông có cạnh như hình vẽ.
Người ta buộc một con dê bằng sợi dậy thừng dài tại trung
điểm E của cạnh Tính diện �ch phần cỏ mà con dê đó có thể
ăn được (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân)
ABCD 20m
20m
AB.yopovn - 0979702422
A D
B C
Bài 3. (Tuyển sinh Hà Nội 2021-2022)
Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy . Người ta sơn
toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện �ch bề mặt
được sơn của thùng nước (lấy ).
Bài 4. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2021-2022)
Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều
rộng . Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn
đường kính và nửa đường tròn đường kính , phần còn lại của
mảnh đất để trồng cỏ. Tính diện �ch phần đất trồng cỏ (phần tô đậm
trong hình vẽ bên, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bài 5. (Tuyển sinh tỉnh Sóc Trăng năm 2021-2022)
Công trình vòng xoay đường Trần Hưng Đạo và đường Lê Hồng Phong ở Thành phố Sóc
Trăng có mô hình của một quả địa cầu với đường kính bằng 5 mét, bề mặt được làm từ tấm hợp
kim. Tính diện �ch mặt cầu ứng với mô hình đó.
Bài 6. (Tuyển sinh Tỉnh Lâm Đồng năm 2020-2021)
Cho đường tròn , vẽ dây Tính số đo cung lớn
Bài 7. (Tuyển sinh TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI năm 2020-2021)
Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía
dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng : đường kính của nửa hình tròn cũng là
cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in đậm
vẽ trong hình bên, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là 8 . m Em hãy giúp bác An �nh
độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện �ch lớn nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1. (Tuyển sinh tỉnh Đaklak năm 2020-2021)
1,6m 0,5m
π ≈ 3,14
ABCD AB m = 6
BC m = 4
AD BC
( ) O cm ;3 CD cm = 3 . CD
Một vườn cỏ hình vuông có cạnh như hình vẽ.
Người ta buộc một con dê bằng sợi dậy thừng dài tại trung
ABCD 20m
20m
D C
A Byopovn - 0979702422
Ta có:
Vì là trung điểm của nên
Áp dụng định lý Pytago trong các tam giác vuông ta có:
Tương tự ta có:
Xét tam giác vuông ta có:
Tương tự xét tam giác vuông ta có:
Ta có:
D
B E A
M C
N
EM EN cm = = 20
E AB
1
10( )
2
EA EB AB m = = =
BM EM EB 2 2 2 2 2 = − = − = ⇒ 20 10 300 300 10 3 BM = = ( ) m
AN BM m = =10 3( )
( )
( )
2
2
1 1
. .10.10 3 50 3
2 2
1 1
. .10.10 3 50 3
2 2
BEM
AEN
S BE BM m
S EA AN m
= = =
= = =
BEM
 10 1 0
cos 60
20 2
BE
BEM BEM
BM
= = = ⇒ ∠ =
AEN
10 1  0
cos 60
20 2
AE
AEN AEN
EN
∠ = = = ⇒ =
điểm E của cạnh Tính diện �ch phần cỏ mà con dê đó có thể
ăn được (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân)
Lời giải
AB.yopovn - 0979702422
Diện �ch hình quạt bán kính
Vậy diện �ch phần con dê có thể ăn là :
Bài 2. (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai 2021-2022)
Một lọ thủy �nh hình trụ có đường kính đáy bằng 15cm ( độ dày của thành lọ và đáy lọ
không đáng kể) chứa nước. Người ta thả chìm hoàn toàn 10 viên bi dạng khối cầu có cùng đường
kính bằng 4cm vào lọ, biết nước trong lọ không tràn ra ngoài. Tính chiều cao của lượng nước dâng
lên so với mực nước ban đầu (kết quả lấy đến một chữ số sau dấu phẩy).
Lời giải
+ Thể �ch 10 viên bi dạng khối cầu đường kính 4(cm) là:
(cm3).
+ Thể �ch nước dâng lên trong lọ thủy �nh hình trụ đường kính 15(cm) bằng thể �ch 10 viên bi dạng
khối cầu đường kính 4(cm).
+ Suy ra chiều cao mực nước dâng lên là :
(cm).
Vậy chiều cao lượng nước dâng lên so với mực nước ban đầu là 1,9(cm).
Bài 3. (Tuyển sinh Hà Nội 2021-2022)
Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy . Người ta sơn
toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện �ch bề mặt
được sơn của thùng nước (lấy ).
  
  

0
0 0 0 0
0
180
180 180 60 60
60
BEM AEN MEN
MEN BEM AEN
MEN
+ + =
⇒ = − − = − −
⇒ =
EMN, ( )
2
.60 200 2
20 :
qEMN 360 3
R
m S = = π π m
S S S S = + + = + + ≈ BEM AEN EMN 50 3 50 3 382,64 200 3 π ( ) m2
3
31
4
4. .
4. .R 2 320.
10 10
3 3 3
V
 
∏  
∏   ∏
= ⋅ = ⋅ =
( )
2
22
320. 320. 15 256
: . : . 1,9
3 3 2 135
h R
∏ ∏    
= ∏ = ∏ = =          
1,6m 0,5m
π ≈ 3,14yopovn - 0979702422
Lời giải
Diện �ch bề mặt được sơn là diện �ch xung quanh của thùng nước:
KL: Diện �ch bề mặt được sơn của thùng nước xấp xỉ bằng
Một vật thể đặc bằng kim lọi dạng hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều
bằng . Người ta khoan xuyên qua hai mặt đáy của vột thể đó theo phương vuông góc với mặt
đáy, phần bị khoan là một lỗ hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng (Hình 1). Tính thể
�ch phần còn lại của vật thể đó.
Lời giải
Thể �ch của vật thể lúc đầu là: .
Thể �ch của phần vật thể bị khoan là: .
Thể �ch phần còn lại của vật thể đã cho là: .
Vậy thể �ch phần còn lại của vật thể đã cho là .
Bài 4. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2021-2022)
Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều
rộng . Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn
đường kính và nửa đường tròn đường kính , phần còn lại của
mảnh đất để trồng cỏ. Tính diện �ch phần đất trồng cỏ (phần tô đậm
trong hình vẽ bên, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
1) Diện �ch hình chữ nhật là
S Rh = ≈ = 2 2.3,14.0,5.1,6 5,024(m ) π 2
5,024( ) m2
6cm
2cm
V R h 1 = = = π π π 2 2 3 .6 .6 216 ( ) cm
V r h 2 = = ⋅ ⋅ = π π π 2 2 3 2 6 24 ( ) cm
⇒ V V V = − = − = 1 2 216 24 192 π π π ( ) cm3
192πcm3
ABCD AB m = 6
BC m = 4
AD BC
ABCD 6 4 24 . m = ( ) 2
D C
A Byopovn - 0979702422
Có là hình chữ nhật
Bán kính đường tròn đường kính là
Diện �ch nửa đường tròn đường kính là
Bán kính đường tròn đường kính là
Diện �ch nửa đường tròn đường kính là
Diện �ch phần đất trồng cỏ là .
Bài 5. (Tuyển sinh tỉnh Sóc Trăng năm 2021-2022)
Công trình vòng xoay đường Trần Hưng Đạo và đường Lê Hồng Phong ở Thành phố Sóc
Trăng có mô hình của một quả địa cầu với đường kính bằng 5 mét, bề mặt được làm từ tấm hợp
kim. Tính diện �ch mặt cầu ứng với mô hình đó.
Lời giải
Mặt cầu ứng với mô hình đó có bán kính R = 2,5 m nên diện �ch mặt cầu ứng với mô hình đó là:
Vậy diện �ch mặt cầu ứng với mô hình đó là .
Bài 6. (Tuyển sinh Tỉnh Lâm Đồng năm 2020-2021)
Cho đường tròn , vẽ dây Tính số đo cung lớn
Lời giải
ABCD ⇒ = = AD BC m 4
AD
4 2( )
2 2
AD
= = m
AD ( )
2
2 2
2
.2
m
π
= π
BC
4 2( )
2 2
BC
= = m
BC ( )
2
2 2
2
.2
m
π
= π
24 2 2 11 4 − + ≈ ( ) π π , m ( ) 2
S R = = = 4 4 .2,5 25 π π π 2 2 2 ( ) m
25π ( ) m2
( ) O cm ;3 CD cm = 3 . CDyopovn - 0979702422
Ta có:
đều
(�nh chất góc ở tâm)
lớn
Vậy số đo lớn
Bài 7. (Tuyển sinh TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI năm 2020-2021)
Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía
dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng : đường kính của nửa hình tròn cũng là
cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in
đậm vẽ trong hình bên, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là 8 . m Em hãy giúp bác
An �nh độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện �ch lớn nhất
Lời giải
Tính độ dài cạnh và diện �ch lớn nhất
Gọi đường kính của nửa hình tròn là x m x ( )( ) 0 8 < < ⇒ Bán kính của nửa đường tròn ( )
x2
m
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật: x m ( )
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là y m y ( )( ) 0 8 < <
Độ dài nửa đường tròn phía trên: 1 ( )
2 2
x
x m
π
π =
C
O
D
OC OD CD cm = = = 3
⇒ ∆ODC ⇒ = COD  600
 0
⇒ = sdCD 60

⇒ sdCD = − = 360 60 300 0 0 0

CD = 3000
x
yyopovn - 0979702422
Khi đó ta có tổng độ dài các khuôn gỗ: 2 8 1 2 8
2 2
x
x y x y
π π  
+ + = ⇔ + + =  
 
2
2 8 1 4
2 4
y x y x
    π π +
⇔ = − + ⇔ = −    
   
Diện �ch của cửa số:
2 2
1
2 2 8
x x
S = + = + π     xy xy π
 
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
8 4 8 4
1 4
4 4
8 2 8
4 32 4 16 16 16
. . 2 .
8 4 8 4 4 4
x x
S x x S x x
S x x S x x
S x x S x x
π π π π
π π
π π
π π π π
 +      +
⇔ = + − ⇔ = + −      
     
  +
⇔ = − + + ⇔ = − +  
 
+ +        
⇔ = − − ⇔ = − − + −        
  +     + + +    
2
4 16 32 32
.
8 4 4 4
S x π
π π π
+  
⇔ = − − + ≤  
  + + +
Dấu " " = xảy ra 16 0 ( ) 16
4 4
x x tm
π π
⇔ − = ⇔ =
+ +
2 16 4 16 4 2 ( ) 4 16 4 8 8
4 . ( )
4 4 4 4 4
y tm
π π π π π
π π π π
+ + − + + − −
⇒ = − = = =
+ + + +
Vậy khi cửa sổ có diện �ch lớn nhất thì độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là: 16
4
m
π +
và cạnh
bên của hình chữ nhật là
8
( )
4
cm
π +
PHẦN III. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚyopovn - 0979702422
1. Hình trụ
 Diện �ch xung quanh 2 .
S Rh xq = π
 Diện �ch đáy S R = π 2.
 Diện �ch toàn phần S Rh R tp = + 2 2 . π π 2
 Thể �ch khối trụ V R h = π 2 .
2. Hình nón
 Diện �ch xung quanh
S rl xq = π .
 Diện �ch toàn phần S rl r = + π π 2.
 Thể �ch 1 2 .
3
V r h = π
3. Hình nón cụt
 Diện �ch xung quanh S r r l xq = + π ( ) . 1 2
 Thể �ch 2 2
1 2 1 2
1
( ).
3
V h r r r r = + + π
4. Hình cầu
 Diện �ch mặt cầu: S R = 4π 2 hay S d = π 2 .
Với R là bán kính và d là đường kính của mặt cầu.
 Thể �ch hình cầu: 4 3
3
V R = π .
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN
Dạng : Tính diện �ch, thể �ch các vật có dạng hình trụ, hình nón, hình cầu.
I. Phương pháp: Áp dụng công thức ở phần A “Kiến thức cần nhớ” rồi thay số và �nh
II. Bài tập mẫu.
Bài 1. Một hình trụ có chiều cao bằng và diện �ch xung quanh bằng . Tính thể �ch của
hình trụ.
Lời giải
Diện �ch xung quanh của hình trụ :
5m 20m2
2
xq
S rh  
    20 2 .5 2  r r m  yopovn - 0979702422
Bài 2. Một quả bóng hình cầu có đường kính 4cm. Thể tích quả bóng là bao nhiêu?
Lời giải
Thể tích quả bóng là: 4 .2 33,5 3 3
3
V = ≈ π cm
Bài 3.
Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài bằng 2 (m),
chiều rộng bằng 1 (m) gò thành mặt xung quanh của một
hình trụ có chiều cao 1 (m), (hai cạnh chiều rộng của hình
chữ nhật sau khi gò trùng khít nhau). Thể �ch của hình trụ
đó bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chiều cao hình trụ là 1m
Chu vi đường tròn đáy bằng chiều dài hình chử nhật. Ta có bán kính hình trụ
1
2 2 π R R
π
= ⇒ = A
Thể �ch hình trụ là
2
1 1 3
.1 0.32
3,14
V m π
π
 
= = ≈  
 
Bài 4. Một cái xô đựng nước có bán kính đáy là 14 cm và 9 cm, chiều cao bằng 23 cm.
a) Tính dung �ch của xô.
b) Tính diện �ch tôn để làm xô (không kể diện �ch chỗ ghép).
Lời giải
a) Dung �ch của xô là
1 2 2 9269 3
23 (14 9 14 9) cm .
3 3
V = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ = π π
b) Ta có l = − = 23 5 544 cm. 2 2
Diện �ch tôn để làm xô (không kể diện �ch chỗ ghép) là
S = + ⋅ + ⋅ = π π (14 9) 554 9 1955,19 cm . 2 2
V r h m     2 3 20  yopovn - 0979702422
Bài 5. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ. Tính thể �ch của bồn chứa theo
các kích thước như hình vẽ.
Lời giải
Áp dụng công thức �nh thể �ch cho hình trụ V r h = π 2 và thể �ch hình cầu 4 3
3
V R = π và kết hợp lại
ta có:
4 3 2 16
1 1 4
3 3
V = ⋅ + ⋅ ⋅ = π π π m 3 .
Bài 6. Cho bán kính của Trái Đất và Mặt Trăng tương ứng là 6371 và 1738 ki-lô-mét. Tỉ số thể �ch
giữa Trái Đất và Mặt Trăng là bao nhiêu
Lời giải
Áp dụng công thức �nh thể �ch hình cầu 4 3
3
V R = π .
3 3
4
6371
3
49,26
4
1738
3
TD
MT
VV
π
⋅ π
⇒ = =
⋅
Bài 7. Hai cái lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình vẽ. lọ nào có dung �ch lớn hơn?
Lời giải
Thể �ch hình trụ có chiều cao 3h, bán kính đáy r là
2 2
V r h r h 1 = = π π . .3 3
Thể �ch hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy 2r là
2 2
V r h r h 2 = = π π .(2 ) . 4
Ta có
2
1
2 1 2
2
3 3 3
4 4 4
V r h
V V
V r h
π
π
= = ⇒ =yopovn - 0979702422
Vậy dung �ch hình trụ có chiều cao 3h, bán kính đáy r nhỏ hơn dung �ch hình trụ có chiều cao h,
bán kính đáy 2r
Bài 8. Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15cm người ta �ện thành một hình nón có thể �ch lớn nhất.
Biết phần bỏ đi có thể �ch là 640π cm3 .
a) Tính thể �ch khúc gỗ hình trụ.
b) Tính diện �ch xung quanh hình nón.
Lời giải
Ta có 2
V R h tru = π
1 2
non 3
V R h = π
Vậy thể �ch gỗ �ện bỏ đi bằng 2
3
thể �ch hình trụ.
Suy ra thể �ch hình trụ là
640 .3 3
960 ( )
2
cm
π
= π
b) Ta có π π R h R cm 2 = ⇒ = 960 8( )
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông OO’B ta được
OB O O OB = + ' 15 8 17( ) 2 2 2 2 = + = cm
Do đó diện �ch xung quanh của hình nón là:
S Rl x = = = π π π .8.17 136 ( ) cm2
Thể �ch của Trái Đất là:
III.Bài tập tự luyện
4 4 3 3 12
3,14 3,14 6400 1,082.10 ( )
3 3
× × = × ≈ R kmyopovn - 0979702422
Bài 1: Một quả bóng nhựa mềm dành cho trẻ em có dạng hình cầu có bán kính 7 . Tính diện �ch
bề mặt quả bóng (lấy và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài 2. Mô hình một cái lọ thí nghiệm dạng hình trụ (không nắp) có bán kính đường tròn đáy 14cm,
chiều cao 10cm, Tính diện �ch xung quanh và diện �ch một đáy
Bài 3. Người ta cần 50 quả bóng đá có đường kính 20 cm. Tính diện �ch da dùng để làm số bóng đá
nói trên (các chỗ ghép nối không đáng kể).
Bài 4: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước người ta gò tấm tôn đó thành mặt
xung quanh của thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng (phần mép hàn không đáng kể).
Tính thể �ch của thùng.
Bài 5. Một tháp nước có bể chứa là một hình cầu, đường kính phía trong đo được 6m. Người ta dự
�nh lượng nước đựng đầy trong tháp đó đử dùng cho 1 khu dân cư trong 1 ngày. Biết khu dân cư
đó có 6520 người. Hỏi người ta đã dự �nh mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước trong
1 ngày?
Bài 6. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ. Tính thể �ch của bồn chứa theo
các kích thước như hình vẽ.Chứa một lượng xăng bằng 0,75 thể �ch của bồn. Tính lượng xăng trong
bồn?
Bài 7. Một chai đựng nước có các kích thước ghi trên hình vẽ. Hãy �nh dung �ch của chai
cm
π ≈ 3,14
0,5 2,4 m m ×
0,5m
Vyopovn - 0979702422
Bài 8. Khi thả chìm hoàn toàn tượng một con ngựa nhỏ bằng đá vào một ly nước có dạng hình trụ
thì người ta thấy nước trong ly dâng lên và không tràn ra ngoài. Biết diện �ch đáy của ly nước
bằng Thể �ch của tượng ngựa đá bằng bao nhiêu?
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: Một quả bóng nhựa mềm dành cho trẻ em có dạng hình cầu có bán kính 7 . Tính diện �ch
bề mặt quả bóng (lấy và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Diện �ch bề mặt quả bóng là
S = ≈ 4 .7 615,44 π 2 3 cm
Bài 2. Mô hình một cái lọ thí nghiệm dạng hình trụ (không nắp) có bán kính đường tròn đáy 14cm,
chiều cao 10cm, Tính diện �ch xung quanh và diện �ch một đáy.
Lời giải
Diện �ch xung quanh của mô hình cái lọ thí nghiệm là
2
S1 = = ≈ = 2 .14.10 280 280.3,14 879,2( ) π π cm
Diện �ch một đáy của mô hình cái lọ thí nghiệm là
2 2
S2 = = ≈ = π π .14 196 196.3,14 615,44( ) cm
Bài 3. Người ta cần 50 quả bóng đá có đường kính 20 cm. Tính diện �ch da dùng để làm số bóng đá
nói trên (các chỗ ghép nối không đáng kể).
Lời giải
Số da làm 1 quả bóng bằng diện �ch mặt cầu bán kính 10cm, ta có:
2 2
S1 = = ≈ 4. .10 4.3,14.100 1256( ) π cm
Số da cần dùng là
2 2
S S = ≈ = = 50. 50.1256 62800( ) 6,28( ) 1 cm m
Bài 4: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước người ta gò tấm tôn đó thành mặt
xung quanh của thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng (phần mép hàn không đáng kể).
Tính thể �ch của thùng.
Lời giải
Chiều cao hình trụ là
1,5cm
80 . cm2
cm
π ≈ 3,14
0,5 2,4 m m ×
0,5m
V
0,5myopovn - 0979702422
Chu vi đường tròn đáy bằng 2,4m . Ta có bán kính hình trụ
1,2
2 2,4 π R R
π
= ⇒ = A
Thể �ch hình trụ là
2
1,2 0,72 3
.0,5 0.23
3,14
V m π
π
 
=   = ≈
 
Bài 5. Một tháp nước có bể chứa là một hình cầu, đường kính phía trong đo được 6m. Người ta dự
�nh lượng nước đựng đầy trong tháp đó đử dùng cho 1 khu dân cư trong 1 ngày. Biết khu dân cư
đó có 6520 người. Hỏi người ta đã dự �nh mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước trong
1 ngày?
Lời giải
Thề �ch bể chứa
4 4 3 3 3
.3,14.6 904,32( ) 904320( )
3 3
V R = = ≈ ≈ π m lit
Lượng nước chứa đầy tháp ≈ 904320 (lít)
Mức nước bình quân mỗi người dùng trong 1 ngày là:
904320:6520904320 : 6520 138,699 139 ≈ ≈ (lít)
Bài 6. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ. Tính thể �ch của bồn chứa theo
các kích thước như hình vẽ.Chứa một lượng xăng bằng 0,75 thể �ch của bồn. Tính lượng xăng trong
bồn?
Lời giải
Bồn chứa gồm 1 hình trụ và hai nửa hình cầu bằng nhau
Bán kính đáy hình trụ là o,6m, chiều cao 3,4 m.
Bán kính hình cầu là 0,6m
Thể �ch hình trụ là:
2 3
V m 1 = π π .(0,6) .3,4 1.224 ( ) =yopovn - 0979702422
Thể �ch 2 nửa hình cầu là:
2 3
2
4
.(0,6) 0.288 ( )
3
V m = = π π
Thể �ch của bồn chứa
1 2
3
1,224 0,288 1,512
1,512.3,14 4,74768( ) 4748( )
V V V
m lit
= + = + = π π π
≈ = ≈
Lượng chứa xăng trong bồn gần bằng:
4748.0,75 3561 ≈ (lít)
Bài 7. Một chai đựng nước có các kích thước ghi trên hình vẽ. Hãy �nh dung �ch của chai
Lời giải
Chai gồm 3 phần: một hình trụ đường kính đáy 10cm, chiều cao 20cm; �ếp theo là 1 hình nón cụt
đáy lớn có đường kính 10cm, đáy nhỏ có đường kính 4cm; trên là một hình trụ có đường kính đáy
4cm, chiều cao 5cm.
Gọi V1 , V2 , V3 lần lượt là thể �ch các hình nêu trên, ta có
2 3
V1 = = π π .5 .20 500 ( ) cm
2 2 3
2 .10.(5 2 5.2) 130 ( )
3
V = + + = π π cm
2 3
V3 = = π π .2 .5 20 ( ) cm
Vậy dung �ch của chai là:
3
V V V V = + + = + + = ≈ = ≈ 1 2 3 500 130 20 650 650.3,14 2041( ) 2,05( ) π π π π cm lit
Bài 8. Khi thả chìm hoàn toàn tượng một con ngựa nhỏ bằng đá vào một ly nước có dạng hình trụ
thì người ta thấy nước trong ly dâng lên và không tràn ra ngoài. Biết diện �ch đáy của ly nước
bằng Thể �ch của tượng ngựa đá bằng bao nhiêu?
1,5cm
80 . cm2yopovn - 0979702422
Lời giải
Thể �ch phần nước trong ly dâng lên chính là thể �ch của tượng ngựa đá.
Diện �ch đáy ly nước hình trụ là
Chiều cao mực nước dâng lên .
Thể �ch cần �m là
C. HỆ THỐNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG ĐỀ THI CÁC NĂM QUA TỪ 2016-2021
C. 2. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 14. (Tuyển sinh tỉnh Sóc Trăng năm 2021-2022)
Công trình vòng xoay đường Trần Hưng Đạo và đường Lê Hồng Phong ở Thành phố Sóc
Trăng có mô hình của một quả địa cầu với đường kính bằng 5 mét, bề mặt được làm từ tấm hợp
kim. Tính diện �ch mặt cầu ứng với mô hình đó
Bài 2. (Tuyển sinh tỉnh Đồng Tháp năm 2020-2021)
Hộp sữa Ông Thọ là một hình trụ có chiều cao 8cm và bán kính đường tròn đáy bằng 3,8 . cm Tính
thể �ch hộp sữa (lấy π ≈ 3,14; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài 3. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2021-2022)
Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao bằng và bán kính đáy
bằng . Dụng cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy dụng
cụ: lấy ).
Bài 4. (Tuyển sinh Tỉnh Lâm Đồng năm 2020-2021)
Một bể nước dạng hình trụ có chiều cao là bán kính đường tròn đáy là Hỏi khi đầy
nước thì bể chứa bao nhiêu lít nước (bỏ qua độ dày thành bể;
Bài 5. (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021-2022)
Một khúc gỗ đặc có dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là , chiều cao bằng ,
người ta �ện bỏ bên trong khúc gỗ một vật dạng hình nón có bán kính hình tròn đáy là , chiều
cao bằng một nửa chiều cao của khúc gỗ (như hình vẽ bên). Tính thể �ch của phần khúc gỗ còn lại.
Bài 6. (Tuyển sinh TP Cần Thơ năm 2020-2021)
2 2 2 80
S r r π 80cm cm
π
= = ⇒ =
h =1,5cm
2 3 80
V r h π π. .1,5 120cm
π
= = =
3dm
2dm
π ≈ 3,14
25 , dm 8 . dm
π = 3,14)
10cm 20cm
10cmyopovn - 0979702422
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ có kích thước như hình vẽ bên dưới.
Thẻ �ch của bồn chứa xăng bằng (lấy giá trị gần đúng của và kết quả làm tròn đến chữ số
thập phân thứ nhất )
Bài 7. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2020-2021)
Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước
cạnh nhà có hình dạng hộp chữ nhật có kích
thước . Hiện hồ chưa có nước
nên anh Minh phải ra sông láy nước. Mỗi lần
ra sông anh gánh được 1 đôi nước đầy gồm 2
thùng hình trụ bằng nhau có bán kính đáy
chiều cao
a) Tính lượng nước anh Minh đổ vào hố sau mỗi lần gánh (ghi kết quả làm tròn đến 2 chữ số
thập phân).Biết trong quá trình gánh nước về thì lượng nước bị hao hụt khoảng và công
thức �nh thể �ch hìn trụ là
b) Anh Minh phải gánh ít nhất bao nhiêu lần để đầy hồ
Bài 8. (Tuyển sinh tỉnh THỪA THIÊN HUẾ năm 2020-2021)
Một chiếc cốc thủy �nh có dạng hình trụ, chiều cao bằng và chứa một lượng nước có
thể �ch bằng một nửa thể �ch chiếc cốc.Một chiếc cốc thủy �nh khác có dạng hình nón (không chứa
gì cả) và có bán kính đáy bằng bán kính đáy chiếc cốc hình trụ đã cho. Biết rằng khi đổ hết lượng
nước trong chiếc cốc hình trụ vào chiếc cốc hình nón thì chiếc cốc hình nón đầy nước và không có
nước tràn ra ngoài. Tính chiếc cao của chiếc cốc dạng hình nón (bỏ qua bề dày thành cốc và đáy cốc).
Bài 9. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019 -2020)
π = 3,14
3,64m
1,84m
2 2 1 m m m × ×
0,2 , m 0,4m
h=0,4m
R=0,2m
( ) m3
10%
V R h = π 2
10cmyopovn - 0979702422
16cm
10cm
8cm
Cho tam giác vuông tại có với . Tính theo diện
�ch xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác quay quanh đường thẳng .
Bài 10. (Tuyển sinh tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2019 -2020)
Người ta muốn tạo một cái khuôn đúc dạng hình trụ, có chiều cao bằng 16 cm, bán kính đáy bằng
8cm, mặt đáy trên lõm xuống dạng hình nón và khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt đáy dưới
hình trụ bằng 10cm ( như hình vẽ bên). Tính diện �ch toàn bộ mặt khuôn (lấy ).
Bài 11. (Tuyển sinh tỉnh HÀ NAM năm 2019 -2020)
Tính thể �ch của một hình nón có bán kính đáy cm, độ dài đường sinh cm.
Bài 12. (Tuyển sinh tỉnh HẢI PHÒNG năm 2019 -2020)
Một hình trụ có diện �ch xung quanh và chiều cao là Tính thể �ch của hình
trụ đó.
Lời giải
Theo bài ra ta có:
Áp dụng công thức �nh thể �ch hình trụ, ta có:
Bài 13. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2019 -2020)
MNP N MN a NP a   4 , 3 0   a  a
MNP MN
π = 3,14
r 4 = l 5 =
140 ( ) π cm2 h cm = 7( ).
2 140 10 π π rh r cm = ⇒ =
V = .r .h= = cm π π π 2 2 3 .10 .7 700 ( )yopovn - 0979702422
Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai nhóm,
mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán
cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS,
họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị
trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng một kinh
tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến và .
a. Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm)
giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung
tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài
khoảng 20 000km.
b. Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của bán
kính (đã làm tròn), hãy �nh thể �ch của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể �ch của
hình cầu được �nh theo công thức với R là bán kính hình cầu.
Bài 14. (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2019 -2020)
Một chiếc cốc thủy �nh có dạng hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng , bán kính đáy bằng
. Người ta thả từ từ lần lượt vào cốc nước một viên bi hình cầu và một vật có dạng hình nón
đều bằng thủy �nh (vừa khít như hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngoài. Tính thể �ch
của lượng nước còn lại trong chiếc cốc (biết rằng đường kính của viên bi, đường kính của đáy hình
nón và đường kính của đáy cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy �nh).
Bài 15. (Tuyển sinh tỉnh Sóc Trăng năm 2021-2022)
Công trình vòng xoay đường Trần Hưng Đạo và đường Lê Hồng Phong ở Thành phố Sóc
Trăng có mô hình của một quả địa cầu với đường kính bằng 5 mét, bề mặt được làm từ tấm hợp
kim. Tính diện �ch mặt cầu ứng với mô hình đó
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1. (Tuyển sinh tỉnh Sóc Trăng năm 2021-2022)
Công trình vòng xoay đường Trần Hưng Đạo và đường Lê Hồng Phong ở Thành phố Sóc
Trăng có mô hình của một quả địa cầu với đường kính bằng 5 mét, bề mặt được làm từ tấm hợp
kim. Tính diện �ch mặt cầu ứng với mô hình đó
47o 72o
=
4 3
.3,14.
3
V R
6cm
1cmyopovn - 0979702422
Lời giải
Tính diện �ch mặt cầu
S m = = = = 4 .(2,5) 25 25.3,14 78,5( ) π π 2 2
Bài 2. (Tuyển sinh tỉnh Đồng Tháp năm 2020-2021)
Hộp sữa Ông Thọ là một hình trụ có chiều cao 8cm và bán kính đường tròn đáy bằng 3,8 . cm Tính
thể �ch hộp sữa (lấy π ≈ 3,14; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Thể �ch hộp sữa Ông Thọ: V r h = ≈ ≈ π 2 2 3 3,14.3,8 .8 362,73( ) cm
Bài 3. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2021-2022)
Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao bằng và bán kính đáy
bằng . Dụng cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy dụng
cụ: lấy ).
Lời giải
Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao 3 dm và bán kính đáy bằng 3 dm. Dụng
cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy dụng cụ; lấy π ≈ 3,14 )
Thể �ch dụng cụ hình trụ chính là lượng chất lỏng mà dụng cụ có thể đựng được:
V R h = ≈ = π 2 2 3 3,14.2 .3 37,68( ) dm
Đổi 37,68( ) dm3 = 37,68( ) l
Vậy dụng cụ đựng được khoảng 37,68 lít chất lỏng.
Bài 4. (Tuyển sinh Tỉnh Lâm Đồng năm 2020-2021)
Một bể nước dạng hình trụ có chiều cao là bán kính đường tròn đáy là Hỏi khi đầy
nước thì bể chứa bao nhiêu lít nước (bỏ qua độ dày thành bể;
Lời giải
Diện �ch đáy là
Thể �ch bể nước : (lít)
Vậy thể �ch bể là lít
3dm
2dm
π ≈ 3,14
25 , dm 8 . dm
π = 3,14)
8 . 64 64.3,14 200,96( ) 2 3 π π = ≈ = dm
V Sh = = = = 200,96.25 5024( ) dm3 5024
5024yopovn - 0979702422
Bài 5. (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021-2022)
Một khúc gỗ đặc có dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là , chiều cao bằng ,
người ta �ện bỏ bên trong khúc gỗ một vật dạng hình nón có bán kính hình tròn đáy là , chiều
cao bằng một nửa chiều cao của khúc gỗ (như hình vẽ bên). Tính thể �ch của phần khúc gỗ còn lại.
Lời giải
Khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy và chiều cao nên có thể �ch là:
.
Vật dạng hình nón có bán kính đáy và chiều cao nên có thể �ch là:
.
Thể �ch phần khúc gỗ còn lại là: .
Bài 6. (Tuyển sinh TP Cần Thơ năm 2020-2021)
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ có kích thước như hình vẽ
bên dưới. Thẻ �ch của bồn chứa xăng bằng (lấy giá trị gần đúng của và kết quả làm tròn
đến chữ số thập phân thứ nhất )
Lời giải
Bồn chứa gồm 1 hình trụ và hai nửa hình cầu bằng nhau
Bán kính đáy hình trụ là 1,84 : 2 0,92 = m, chiều cao 3,64 m.
Bán kính hình cầu là 1,84 : 2 0,92 = m
Thể �ch hình trụ là:
2 3
V m 1 = π.(0,92) .3,64 9,7( ) ≈
Thể �ch 2 nửa hình cầu là:
10cm 20cm
10cm
R cm =10 h cm = 20
V R h tru = = = π π π 2 2 .10 .20 2000 ( ) cm3
R cm =10
1
' 10
2
h h cm = =
V R h nón = = = 1 1 1000 3 3 3 π π 2 2 3 .10 .10 π ( ) cm
V V V = − = − = tru nón 2000π 1000 5000 3 3 π π ( ) cm3
π = 3,14
3,64m
1,84myopovn - 0979702422
2 3
2
4
.(0,92) 3,5( )
3
V m = π ≈
Thể �ch của bồn chứa
2 2 3
1 2
4
.(0,92) .3,64 .(0,92) 13,2( )
3
V V V = + = + ≈ π π m
Bài 7. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2020-2021)
Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước cạnh nhà có hình dạng
hộp chữ nhật có kích thước . Hiện hồ chưa có nước
nên anh Minh phải ra sông láy nước. Mỗi lần ra sông anh gánh
được 1 đôi nước đầy gồm 2 thùng hình trụ bằng nhau có bán kính
đáy chiều cao
a) Tính lượng nước anh Minh đổ vào hố sau mỗi lần gánh (ghi kết quả làm tròn đến 2 chữ số
thập phân).Biết trong quá trình gánh nước về thì lượng nước bị hao hụt khoảng và công thức
�nh thể �ch hìn trụ là
b) Anh Minh phải gánh ít nhất bao nhiêu lần để đầy hồ
Lời giải
a) Thể �ch của 2 thùng nước mỗi lần anh Minh gánh là :
Trong quá trình gánh, lượng nước bị hao hụt nên lượng nước thực tế anh Minh gánh được
sau mỗi lần là :
b) Thể �ch của hồ nước hình chữ nhật:
Số lần ít nhất anh Minh cần gánh để được đầy hồ nước là :
2 2 1 m m m × ×
0,2 , m 0,4m
h=0,4m
R=0,2m
( ) m3
10%
V R h = π 2
V R h 1 = = = 2 2 .0,2 .0,4 0,032 π π π 2 2 3 ( ) m
10%
V m = 0,032 .90% 0,09 π ≈ ( ) 3
V m = = 2.2.1 4( ) 3yopovn - 0979702422
(lần)
Bài 8. (Tuyển sinh tỉnh THỪA THIÊN HUẾ năm 2020-2021)
Một chiếc cốc thủy �nh có dạng hình trụ, chiều cao bằng và chứa một lượng nước có
thể �ch bằng một nửa thể �ch chiếc cốc.Một chiếc cốc thủy �nh khác có dạng hình nón (không chứa
gì cả) và có bán kính đáy bằng bán kính đáy chiếc cốc hình trụ đã cho. Biết rằng khi đổ hết lượng
nước trong chiếc cốc hình trụ vào chiếc cốc hình nón thì chiếc cốc hình nón đầy nước và không có
nước tràn ra ngoài. Tính chiếc cao của chiếc cốc dạng hình nón (bỏ qua bề dày thành cốc và đáy cốc).
Lời giải
Theo đề bài ta có:
Thể �ch nước trong cốc hình trụ = thể �ch chiếc cốc hình nón thể �ch chiếc cốc hình trụ.
Gọi bán kính đáy của hai chiếc cốc là
Chiều cao của chiếc cốc hình trụ là
Gọi chiều cao của chiếc cốc hình nón là
Gọi thể �ch chiếc cốc hình trụ là thể �ch chiếc cốc hình nón là
Vậy chiều cao của chiếc cốc hình nón là
Bài 8. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019 -2020)
0 400
44 1 45
9
V
n
V
   
= = = + =        
10cm
12
=
R R ( ) > 0
h cm gt =10 ( )
h h 1 1 ( ) > 0
V, V1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 .10 15 ( )
2 3 2 3 2
⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = V V R h R h h h cm tm π π
15cmyopovn - 0979702422
16cm
10cm
8cm
Cho tam giác vuông tại có với . Tính theo diện
�ch xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác quay quanh đường thẳng .
Lời giải
Khi xoay tam giác vuông tại quanh đường thẳng ta được hình nón có chiều cao
và bán kính đáy
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:
( Do )
Do đó hình nón có độ dài đường sinh là
Vậy diện �ch xung quanh của hình nón là
Bài 10. (Tuyển sinh tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2019 -2020)
Người ta muốn tạo một cái khuôn đúc dạng hình trụ, có chiều cao bằng 16 cm, bán kính đáy bằng
8cm, mặt đáy trên lõm xuống dạng hình nón và khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt đáy dưới
hình trụ bằng 10cm ( như hình vẽ bên). Tính diện �ch toàn bộ mặt khuôn (lấy ).
Lời giải
Hình trụ có bán kính r cm = 8 và chiều cao h cm =16 nên diện �ch xung quanh hình trụ là
Diện �ch 1 mặt đáy của hình trụ là
Phần hình nón bị lõm xuống có chiều cao và bán kính đáy r=8cm
Đường sinh của hình nón là
MNP N MN a NP a   4 , 3 0   a  a
MNP MN
MNP N MN
h MN a   4 R NP a   3 .
MNP
MP MN NP a a a 2 2 2          4 3 25 2 2 2
   MP a a 25 5 2 a  0
l MP a   5 .
.3 .5 15 . 2
S Rl a a a xq      
π = 3,14
S rh 1 = = = 2 2 .8.16 256 π π π 2 2 ( ) cm
S r 2 = = = π π π 2 2 2 .8 64 ( ) cm
h1 = − = 16 10 6cm
l r h = + = + = 2 2 2 2 8 6 10cmyopovn - 0979702422
Diện �ch xung quanh của hình nón là:
Diện �ch toàn bộ mặt khuôn là:
Vậy diện �ch toàn bộ mặt khuôn là 1256(cm2)
Bài 11. (Tuyển sinh tỉnh HÀ NAM năm 2019 -2020)
Tính thể �ch của một hình nón có bán kính đáy cm, độ dài đường sinh cm.
Ta có
Thể �ch hình nón là .
Bài 12. (Tuyển sinh tỉnh HẢI PHÒNG năm 2019 -2020)
Một hình trụ có diện �ch xung quanh và chiều cao là Tính thể �ch của hình
trụ đó.
Lời giải
Theo bài ra ta có:
Áp dụng công thức �nh thể �ch hình trụ, ta có:
Bài 13. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2019 -2020)
S rl 3 = = = π π π .8.10 80 ( ) cm2
S S S S = + + = + + = = 1 2 3 256 64 80 400 1256 π π π π ( ) cm2
r 4 = l 5 =
2 2
AH r 4cm;AO l 5cm OH AO AH 9 3cm = = = = ⇒ = − = =
V .OH. .r 16 cm = = 13 π π 2 3 ( )
140 ( ) π cm2 h cm = 7( ).
2 140 10 π π rh r cm = ⇒ =
V = .r .h= = cm π π π 2 2 3 .10 .7 700 ( )yopovn - 0979702422
Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai nhóm,
mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán
cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS,
họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị
trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng một kinh
tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến và .
a. Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm)
giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung
tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài
khoảng 20 000km.
b. Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của bán
kính (đã làm tròn), hãy �nh thể �ch của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể �ch của
hình cầu được �nh theo công thức với R là bán kính hình cầu.
Lời giải:
a) .
Độ dài là:
b) Gọi là bán kính của Trái Đất.
Ta có:
Độ dài đường xích đạo là:
Bài 14. (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2019 -2020)
Một chiếc cốc thủy �nh có dạng hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng , bán kính đáy bằng
. Người ta thả từ từ lần lượt vào cốc nước một viên bi hình cầu và một vật có dạng hình nón
đều bằng thủy �nh (vừa khít như hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngoài. Tính thể �ch
của lượng nước còn lại trong chiếc cốc (biết rằng đường kính của viên bi, đường kính của đáy hình
nón và đường kính của đáy cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy �nh).
Lời giải
Chiều cao hình trụ là:
47o 72o
=
4 3
.3,14.
3
V R
   0 0 0
AOB BOX AOX = − = − = 72 47 25

AB 20000. 25 25000 2800( )
180 9
= ≈ km
R
20000
π 20000 6400( )
π
R = ⇔ = ≈ R km
2 40000( ) πR km ≈
6cm
1cm
h cm t = 6( )yopovn - 0979702422
Thể �ch hình trụ là: =
Bán kính hình cầu và hình trụ là: r =
Thể �ch hình cầu là:
Chiều cao hình nón là:
Thể �ch hình nón là:
Thể �ch lượng nước còn trong chiếc cốc là:
Vt
π π .1 .6 6 2 3 = ( ) cm
1( ) cm
V r c = = = 4 4 4 3 3 3 π π π 3 3 3 .1 ( ) cm
h h r = − = − = t 2 6 2.1 4( ) cm
V r h n n = = = 1 1 4 3 3 3 π π π 2 2 3 . .1 .4 ( ) cm
V V V V = − − = − − = t n c 6π π π π 4 4 10 3 3 3 ( ) cm3