TUYỂN TẬP Các chuyên đề toán lớp 12 ĐẦY ĐỦ DÙNG CHO DẠY THÊM

Yopovn · 16/11/23

TUYỂN TẬP Các chuyên đề toán lớp 12 ĐẦY ĐỦ DÙNG CHO DẠY THÊM được soạn dưới dạng file word gồm CÁC THƯ MỤC, FILE trang. Các bạn xem và tải các chuyên đề toán lớp 12 về ở dưới.

CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Mục tiêu

Kiến thức

Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm

Nắm vững tính đơn điệu của hàm số.

Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó

Biết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10.

Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số , khi biết bảng biến thiên của hàm số , đồ thị hàm số hoặc đồ thị hàm số .

Kĩ năng

Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản

Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể.

Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối.

Vận dụng được tính chất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giải nhanh toán trắc nghiệm.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , , khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số ( ).

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) .
Hàm số gọi là đồng biến (tăng) trên nếu .

Hàm số gọi là nghịch biến (giảm) trên nếu

Định lí thuận
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng .
Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng .
Nếu thì hàm số không đổi trên khoảng .
Định lí đảo
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì .
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì .
Lưu ý:
- Hàm số đồng biến trên thì đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải.
- Hàm số nghịch biến trên thì đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải.
Xét dấu tam thức bậc hai
;
;
;
.

Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số đồng biến trên khoảng .
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Ví dụ 2: Cho hàm số . Ta có bảng xét dấu như sau:

Ta thấy
Hàm số đồng biến trên các khoảng
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Ví dụ 3: Cho hàm số .
Hàm số có
.
Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”:
và dấu “=” tại hữu hạn điểm trên thì hàm số nghịch biến trên .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) .

Hàm số nghịch biến Định lí thuận - Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng . Định lí đảo - Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng thì . Định lí thuận “mở rộng” và dấu bằng tại hữu hạn điểm trên thì hàm số đồng biến trên .	Hàm số đồng biến Định lí thuận - Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng . Định lí đảo - Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng thì . Định lí thuận “mở rộng” và dấu bằng tại hữu hạn điểm trên thì hàm số nghịch biến trên .
Đồ thị - Đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải	Đồ thị - Đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải
Định nghĩa Hàm số được gọi là nghịch biến trên nếu .	Định nghĩa Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số

Bài toán 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

Phương pháp giải

Thực hiện các bước như sau:
Bước 1. Tìm tập xác định .
Bước 2. Tính đạo hàm .
Bước 3. Tìm các giá trị mà hoặc những giá trị làm cho không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm.
Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số (chọn đáp án).

Ví dụ: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .
Ta có
Ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng .
Chọn D.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. Hàm số đồng biến trên .

C. Hàm số đồng biến trên . D. Hàm số đồng biến trên .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Cho .

Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai.

Chọn C.

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số là

A. và . B. và .

C. và . D. và .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Bảng biến thiên của hàm số như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên và .

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên .

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên .

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có nên hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.

Chọn D.

Ví dụ 4. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Vậy hàm số nghịch biến trên .

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho hàm . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Chọn A.

Ví dụ 6. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên và .

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên .

B. Hàm số đồng biến trên .

C. Hàm số nghịch biến trên .

D. Hàm số nghịch biến trên .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Đạo hàm

Vì , nên dấu của đạo hàm cùng dấu với .

Ta có

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên .

Chọn B.

Chú ý: Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến .

Ví dụ 8. Cho hàm số . Với hai số thực sao cho . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có Suy ra đồng biến trên . Do đó .

Chọn C.

Ví dụ 9. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

; không xác định nếu .

Ta có bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng và .

Chọn D.

Chú ý: - Vì nên có thể xét tính đơn điệu của hàm số để suy ra kết quả.

- Đạo hàm .

Bài toán 2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi cho hàm số

Phương pháp giải

Thực hiện theo ba bước như sau:
Bước 1. Tìm các giá trị mà hoặc những giá trị làm cho không xác định.
Bước 2. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm.
Bước 3. Kết luận tính đơn điệu của hàm số (chọn đáp án).

Ví dụ: Cho hàm số có đạo hàm trên là . Hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng
A. . B. .
C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có
Ta có bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Chọn A.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số có đạo hàm

Hàm số đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có

Bảng xét dấu

Hàm số đồng biến trên khoảng .

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho hàm số xác định trên khoảng có tính chất

và , .

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số không đổi trên khoảng .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng .

Hướng dẫn giải

Vì , nên là hàm hằng trên khoảng .

Trên các khoảng hàm số thỏa nhưng , nên không đồng biến trên các khoảng này.

Chọn B.

Bài toán 3. Xét tính đơn điệu của hàm số khi cho bảng biến thiên hoặc đồ thị

Phương pháp giải

Khi cho bảng biến thiên:
- Trên khoảng nếu mang dấu (dương) thì ta kết luận đồng biến trên .
- Trên khoảng nếu mang dấu (âm): thì ta kết luận nghịch biến trên .
Khi cho đồ thị:
- Hàm số đồng biến trên thì hàm số có đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải trên .
- Hàm số nghịch biến trên thì hàm số có đồ thị là đường đi xuống từ trái sang phải trên .
- Trong trường hợp: Hàm số là hàm hằng (không đổi) trên thì hàm số có đồ thị là đường song song hoặc trùng với trục Ox trên

Ví dụ: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên .
Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hỏi bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Xét hàm số

, thỏa mãn.

Xét hàm số

, , không thoả mãn.

Xét hàm số

không thoả mãn.

Xét hàm số

là nghiệm duy nhất.

Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên không thoả mãn.

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng dưới đây nào?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

- Xét đáp án A, trên khoảng đồ thị hướng đi xuống hay hàm nghịch biến trên khoảng đó.

- Xét đáp án B, trên khoảng đồ thị có đoạn hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên đó.

- Xét đáp án C, trên khoảng đồ thị có hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

- Xét đáp án D, trên khoảng đồ thị có hướng đi lên hay hàm số đồng biến trên khoảng đó nên chọn.

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khẳng định đúng là

A. Hàm số đồng biến trên .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng .

Hướng dẫn giải

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái qua phải) nên hàm số đồng biến trên khoảng .

Chọn D.

Chú ý: Kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng không viết ở dạng .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm trên . Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khi , .

B. Hàm số đồng biến trên khi , .

C. Hàm số đồng biến trên khi , .

D. Hàm số đồng biến trên khi , , trong đó tại hữu hạn giá trị .

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên .

B. Nếu hàm số đồng biến trên thì với mọi thuộc .

C. Nếu hàm số đồng biến trên thì với mọi thuộc .

D. Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên .

Câu 3: Cho hàm số đồng biến trên tập số thực , mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Với mọi . B. Với mọi .

C. Với mọi . D. Với mọi .

Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu , thì hàm số đồng biến trên .

B. Nếu , thì hàm số đồng biến trên .

C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi , .

D. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi , .

Câu 5: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 6: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên .

B. Hàm số nghịch biến trên .

C. Hàm số đồng biến trên .

D. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên .

Câu 7: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D.

Câu 8: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng .

Câu 10: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên ?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 12: Cho hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Hàm sổ nghịch biến trên các khoảng

A. và . B. .

C. và . D. .

Câu 15: Cho hàm số xác định trên tập và có . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .

Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm , . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Cho hàm số có đạo hàm . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng và .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng .

Câu 18: Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 19: Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. nghịch biến trên từng khoảng và .

B. đồng biến trên từng khoảng và .

C. nghịch biến trên .

D. đồng biến trên .

Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên sao. Mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên .

B. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên .

C. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên .

D. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên và .

Câu 21: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. ; . C. . D. .

Câu 24: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. ; . C. . D. và .

Dạng 2: Các bài toán chứa tham số

Bài toán 1. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó

Bài toán 1.1. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên .

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính (1).
Bước 2. Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: , thay trực tiếp vào (1) để xét.
Trường hợp 2: , tính .
Hàm số nghịch biến trên
Hàm số đồng biến trên
Bước 3. Kết luận (chọn đáp án).

Ví dụ: Tìm giá trị của để hàm số

đồng biến trên .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .
Ta có
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

Vậy với thì hàm số đồng biến trên

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số đồng biến trên ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Hàm số trên đồng biến trên với mọi .

Do là số nguyên thuộc đoạn nên có .

Chọn B.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng với .

Với ta có với nên hàm số nghịch biến trên khoảng . Vậy là giá trị cần tìm.

Với ta có không thỏa mãn.

• Với ta có với

Từ các trường hợp ta được . Do

Vậy có hai giá trị nguyên của thỏa mãn.

Chọn D.

Dạng 1.2: Tìm tham số để hàm số để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tập xác định
Bước 2. Tính
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
Bước 3. Kết luận.

Ví dụ: Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương
để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn giải

Tập xác định .
Ta có . Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì
Mặt khác là số nguyên dương nên không tồn tại giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy không có giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Xét , hàm số trở thành . (hàm hằng)

Xét , hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi

.

Chọn C.

Lưu ý: Với thì .

Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

.

Chọn B.

Bài toán 1.3: Hàm số đơn điệu trên khoảng xác định

Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức
Điều kiện cần để không đổi dấu khi đi qua là .
Cho hàm số liên tục trên và .
Khi đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi .
Cho hàm số liên tục trên và .
Khi đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi .

Ví dụ: Tìm các giá trị của m để hàm số không đổi dấu khi đi qua .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Đặt
Để hàm số không đổi dấu khi đi qua thì
Với thì ,
là một giá trị cần tìm.
Với thì .
Khi đó hàm số chỉ đổi dấu khi qua và . Vậy là giá trị cần tìm.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số để hàm số

đồng biến trên

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

với .

Nếu

thì sẽ đổi dấu khi đi qua điểm hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến. Do đó để hàm số đồng biến trên thì điều kiện cần là

Thử lại:

+ Với có , nên hàm số đồng biến trên .

+ Với có , nên hàm số đồng biến trên .

+ Với có , nên hàm số đồng biến trên .

Vậy với thì hàm số đã cho đồng biến trên .

Chọn A.

Lưu ý: Nếu thì luôn đổi dấu khi qua 0, do đó nếu vô nghiệm thi sẽ luôn có một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến.

Ví dụ 2. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

.

Để hàm số nghịch biến trên thì , (*)

Nếu không phải là nghiệm của thì sẽ đổi dấu khi đi qua , lúc đó điều kiện (*) không được thỏa mãn.

Do đó điều kiện cần để hàm số đồng biến trên là là nghiệm của

Thử lại:

+ Với thì , do đó không thỏa mãn.

+ Với thì , do đó thỏa mãn.

Vậy nên tổng các phần tử của bằng 5.

Chọn D.

Lưu ý: đổi dấu qua các nghiệm của phương trình .

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Theo yêu cầu bài toán , .

, .

Xét hàm số

Bảng biến thiên

Vậy mà nên có 2018 giá trị nguyên.

Chọn A.

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên .

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Hàm đồng biến trên

Xét hàm trên

Ta có

Do đó

Chọn C.

Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng cho trước

Bài toán 2.1. Hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức.
Giả sử phương trình có hai nghiệm .
Khi đó
.
.
.
.

Ví dụ: Tìm giá trị để hàm số nghịch biến trên đoạn .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .
Ta có
(1)
Để hàm số nghịch biến trên đoạn thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn . Điều này xảy ra khi và chỉ khi

Vậy với thì hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn .

Ví dụ mẫu

Vi dụ 1. Các giá trị thực của tham số sao cho hàm số đồng biến trên khoảng là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng thì ta xét hai trường hợp

- Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên

(vô lí).

- Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Chọn B.

Lưu ý: - Hàm số đồng biến trên thì sẽ đồng biến trên khoảng .

- Bảng biến thiên của hàm số khi phương trình có hai nghiệm .

Ví dụ 2. Các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có .

Do là hàm số bậc ba với hệ số nên hàm số đồng biến trên có hai nghiệm thỏa mãn

.

Chọn A.

Bài toán 2.2: Tìm tham số đề hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài bằng

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính
Bước 2. Hàm số đơn điệu trên có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Vi-ét
Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng
Bước 4. Giải các điều kiện để suy ra giá trị cần tìm.

Ví dụ: Tìm các giá trị để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

Tập xác định .
Ta có
Vì nên hàm số đã cho đồng biến trên một đoạn khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Vi-ét, ta có
Để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì

Từ (1) và (2) suy ra là giá trị cần tìm.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Các giá trị thực của tham số để trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Để có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Vi-ét, ta có

Với

Kết hợp, ta được

Chọn D.

Ví dụ 2. Các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3 là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .

Ta có

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3

có haỉ nghiệm phân biệt sao cho (1)

.

Chọn D.

Bài toán 2.3: Hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Hàm số xác định trên

Bước 2. Tính .
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
Bước 3. Kết luận

Ví dụ: Tìm các giá trị nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .
Hàm số đã cho xác định trên khoảng khi và chỉ khi . (*)
Ta có .
Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi . (* *)
Từ (*) và (* *) suy ra .
Mà nguyên nên .
Vậy là các giá trị cần tìm.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. . B. . C. vô số. D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Để hàm số xác định trên thì

Ta có

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Vậy có một số nguyên thỏa mãn.

Chọn A

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số trên khoảng ?

A. . B. Vô số. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Hàm số đồng biến trên khoảng

Do nên .

Chọn A.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Do , nên .

Vậy có một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Bài toán 2.4: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn) .

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính
Bước 2. Chuyển về bài toán tìm tham số về một bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Hàm số đồng biến trên , dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó.
Hàm số nghịch biến trên , dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó.
Bước 3. Kết luận (chọn đáp án).

Ví dụ: Tìm các giá trị nguyên âm của tham số để hàm số nghịch biến trên đoạn .

Hướng dẫn giải

Tập xác định .
Ta có .
Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn khi và chỉ khi
,
,

Mà nguyên âm nên
Vậy các giá trị m cần tìm là .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số sao cho hàm số nghịch biến trên đoạn ?

A. . B. Vô số. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Hàm số nghịch biến trên đoạn khi

;

Kết hợp với nguyên không âm suy ra

Vậy có ba giá trị nguyên không âm của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. . B. 1. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Hàm số luôn xác định trên khoảng .

Hàm số đồng biến trên và

(1)

Xét hàm số trên

.

Bảng biến thiên


		–

Mà là số nguyên âm nên .

Vậy có hai giá trị của thỏa mãn.

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho hàm số với là tham số. Số các giá trị nguyên thuộc đoạn để hàm số đã cho đồng biến trên là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi

(*),

Xét

Suy ra là hàm đồng biến trên .

Từ (*) ta có

.

Do nguyên và nên có 2015 giá trị của thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 4. Các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Đặt , với

Khi đó

.

Vì hàm số nghịch biến trên nên hàm số đã cho nghịch biến trên . Khi và chỉ khi hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số đồng biến trên khoảng khi và khi và chỉ khi

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hàm số . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên . Tổng các phần tử của S bằng

A. . B. 3. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Đặt

Ta có . Do đó hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

.

Chọn B.

Lưu ý: Vì nên ta có thể chuyển bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số .

- Tính đạo hàm .

- Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi với .

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho hàm số với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên ?

A. 6. B. 4. C. 7. D. 5.

Câu 2: Tập hợp tất cả các số thực để hàm số đồng biến trên là

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên ?

A. 9. B. 7. C. Vô số. D. 8.

Câu 4: Số giá trị nguyên và để hàm số đồng biến trên là

A. 4035. B. 4037. C. 4036. D. 4034.

Câu 5: Các giá trị của tham số để hàm số trên các khoảng xác định là

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?

A. 5. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên từng khoảng

xác định?

A. 5. B. Vô số. C. 7. D. 3.

Câu 8: Cho hàm số có đạo hàm . Gọi S là tập hợp

tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên . Số phần tử của tập S là

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Câu 9: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số để hàm số

đồng biến trên .

Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên ?

A. Vô số. B. 10. C. 8. D. 9.

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số trong khoảng để hàm số nghịch biến trên ?

A. 3. B. 4. C. 4014. D. 218.

Câu 12: Giá trị nguyên lớn nhất của tham số để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định là

A. 2018. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 13: Các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên là

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Tập hợp các giá trị để hàm số đồng biến trên là

A. . B. . C. . D.

Câu 15: Tập hợp tất cả các giác trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Cho hàm số . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số sao cho hàm số đồng biến trên . S là tập hợp con của tập hợp nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 8. B. 13. C. 17. D. 9.

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng .

A. 5. B. 3. C. 2. D.

Câu 19: Gọi S là tập hợp các số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng . Tổng T của các phần tử trong S là

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Gọi S là tổng các giá trị nguyên dương của tham số sao cho hàm số đồng biến trên khoảng . Giá trị của S bằng

A. 2935144. B. 2035145. C. 2035146. D. 2035143.

Câu 21: Có bao nhiêu giá tri nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. 4. B. 5. C. 6. D. 9.

Câu 22: Các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên là

A. . B. hoặc .

C. . D. .

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. 1. B. 9. C. 10. D. 18.

Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến ?

A. 5. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. 1. B. 0. C. 3. D. Vô số.

Câu 27: Cho hàm số . Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên sao cho hàm số đồng biến trên . Số các phần tử của S bằng

A. 2021. B. 2022. C. 2023. D. 4040.

Dạng 3: Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bài toán 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , , … khi biết bảng biến thiên của hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số , …
,
Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm phương trình , nghiệm của bất phương trình và nghiệm của bất phương trình .
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , , …

Ví dụ: Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đạo hàm thỏa mãn

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .

Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến
.
Vậy hàm số có nghịch biến trên khoảng và , nên hàm số nghịch biến trên .
Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Đặt

Ta có

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu của suy ra hàm số đồng biến trên và , nên hàm số đồng biến trên .

Chọn C.

Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu xác định được nghiệm của phương trình .

- Hàm số đồng biến đánh giá với (giải bất phương trình tích)

Chú ý:

Nếu thì .

- Bảng xét dấu chính là bảng xét dấu của tích .

Ví dụ 2. Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có .

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi

(1).

Nhận xét:

• Xét

Với loại.

• Xét

Với loại.

• Xét

Với loại.

Xét thỏa mãn (1) vì

Chọn A.

Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu xác định được nghiệm của bất phương trình và nghiệm của bất phương trình .

- Hàm số nghịch biến đánh giá .

Với dạng toán này cần tìm những giá trị của sao cho .

Dạng 2: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến của hàm số khi biết đồ thị của hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số , .
Bước 2: Từ đồ thị hàm số xác định được hàm số hoặc (nghiệm phương trình , nghiệm của bất phương trình và nghiệm của bất phương trình ).
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn .
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ,

Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng

A. . B. .
C. . D. .

Hướng dẫn giải

Hàm số có .
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi .
Dựa vào đồ thị ta có với mọi .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Chọn A.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số . Hàm số nghịch biến trên khoảng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Hàm số có

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi

Cách 2: Hàm số có dạng .

Ta có .

Theo đồ thị, hai điểm và là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .

Ta có

Vậy

;

Bảng xét dấu

Vậy hàm số nghịch biến trên .

Chọn D.

Lưu ý: Từ đồ thị hàm số xác định hàm . và hàm khảo sát và tìm khoảng nghịch biến của hàm số.

Chú ý:

Nếu hàm số đồng biến trên thì hàm số :

Đồng biến trên nếu .

Nghịch biến trên nếu .

Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Đặt .

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. nghịch biến trên khoảng .

B. đồng biến trên khoảng .

C. nghịch biến trên khoảng .

D. đồng biến trên khoảng .

Hướng dẫn giải

Hàm số , có đồ thị như hình vẽ.

Nhận xét và là hai điểm cực trị của hàm số.

Ta có

Tìm được hàm số

Ta có

Bảng xét dấu

Vậy nghịch biến trên khoảng .

Chọn C.

Lưu ý: - Từ đồ thị hàm số xác định được hàm và hàm khảo sát và tìm khoảng nghịch biến của hàm số.

- Có thể sử dụng

Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba và , có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên đúng một khoảngcó độ dài bằng 3. Giá trị là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 nên trên một khoảng có độ dài bằng 3.

Ta có

Bảng xét dấu

Yêu cầu của bài toán

Chọn C.

Lưu ý: Từ đồ thị hàm số xác định hàm số và kết hợp với phần nhận xét ở ví dụ 1 cho kết quả.

- Hàm số đồng biến trên Hàm số nghịch biến trên có độ dài bằng .

Bài toán 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , , … khi biết đồ thị của hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số , …
,
Bước 2: Từ đồ thị hàm số xác định nghiệm phương trình , nghiệm của bất phương trình và nghiệm của bất phương trình .
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , , …

Ví dụ: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số nghịch biến trên khoảng
A. . B. .
C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có
Để g nghịch biến thì

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ; và .
Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị (1)

Mà (2)

Từ (1) và (2) ta có

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

Chọn A.

Lưu ý: Thông qua đồ thị hàm số

.

.

Hàm số nghịch biến đánh giá .

Chú ý:

Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành chọn hàm cụ thể thỏa mãn

.

Lập bảng xét dấu.

Kết luận.

Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có

Do đó

Vậy hàm số đồng biến trên .

Chọn C.

Nhận xét: Hàm số có .

Từ đồ thị hàm số , ta có

.

Ví dụ 3. Cho hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng hai hàm số và có cùng khoảng nghịch biến , . Khi đó giá trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Hàm số có

Với

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

Hàm số có đạo hàm

Nếu

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (không thỏa mãn).

Nếu

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Do hàm số có cùng khoảng nghịch biến là nên .

Vậy .

Chọn C.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và bảng biến thiên của như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Đặt . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 6: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Câu 7: Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng xét dấu như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. 2017. B. 2018. C. 2016. D. 2015.

Câu 8: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Khi đó giá trị lớn nhất của là

A. 9. B. 3. C. 6. D. 1.

Câu 9: Cho hàm số có đồ thị dưới đây. Đặt

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. nghịch biến trên khoảng .

B. đồng biến trên khoảng .

C. nghịch biến trên khoảng .

D. đồng biến trên khoảng .

Câu 10: Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây. Hàm số đồng biến trên khoảng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 11: Cho hàm số có đồ thị dưới đây. Số giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 12: Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị hàm như hình vẽ dưới đây. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 14: Cho hàm số liên tục trên . Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng trong các khoảng sau đây?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 15: Cho hàm số có đạo hàm trên . Biết đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số thoả mãn sao cho hàm số đồng biến trên khoảng . Số phần tử của tập S là

A. 2017.

B. 2019.

C. 2015.

D. 2021.

Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm trên và hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm .

Hàm số nghịch biến trên khoảng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 17: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Cho hàm số có đạo hàm trên thoả và đồ thị của hàm số có dạng như hình bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 19: Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình bên và . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 20: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 21: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Cho hàm số , hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 24: Cho hàm số có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số như hình vẽ.

Đặt với là tham số thực. Gọi là tập các giá trị nguyên dương của để hàm số đồng biến trên khoảng . Tổng các phần tử của S bằng

A. 4. B. 11. C. 14. D. 20.

Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình

Bài toán 1. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình

Phương pháp giải

Cho hàm số liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D, ta có
Với mọi mà
Nhận xét: . Do đó phương trình có nhiều nhất một nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình

Hướng dẫn giải

Điều kiện
Ta có

Xét hàm số ,
Ta có ,
hàm số đồng biến trên
Do đó

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Biết phương trình có một nghiệm thực dương với là các số nguyên tố. Khẳng định đúng là

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Phương trình

. (1)

Xét hàm số ,

Hàm số đồng biến trên .

Phương trình (1):

là nghiệm có dạng đã cho

.

Chọn B.

Ví dụ 2. Biết phương trình có một nghiệm thực dương với và là các số nguyên tố cùng nhau.

Khẳng định đúng là

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

- Vế trái là đa thức bậc ba, vế phải chứa căn bậc hai nên ta biến đổi để xuất hiện . Ta có

Khi đó phương trình có dạng

Điều kiện

Phương trình đã cho (1).

Xét hàm số ,

Hàm số đồng biến trên .

Phương trình

.

Chọn D.

Ví dụ 3. Biết phương trình , có một nghiệm thực , với và c là số nguyên tố. Khẳng định đúng là

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Điều kiện

Phương trình đã cho

(1)

với

Xét hàm số , có , Hàm số đồng biến trên .

Do đó

.

Chọn C.

Bài toán 2: Ứng dụng tính đơn điệy vào giải bất phương trình

Phương pháp giải

Cho hàm số liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập , ta có
Với mọi .
Với mọi .
• Với mọi u,

Ví dụ: Cho hàm số có , . Tìm tất cả các giá trị của tham số để .

Hướng dẫn giải

Vì , nên hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi
.
Vậy là các giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số có , . Tất cả các giá trị thực của để là

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có , nên hàm số nghịch biến trên

Do đó

Chọn B.

Ví dụ 2. Bất phương trình có tập nghiệm là . Tổng có giá trị bằng

A. . B. 4. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

Xét trên đoạn .

Có , do đó hàm số đồng biến trên .

Bất phương trình đã cho

So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là .

Chọn C.

Dạng 2: Bài toán ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán tìm điều kiện đề phương trình có nghỉệm

Phương pháp giải

Nếu hàm số liên tục và có , thì phương trình có nghiệm thuộc tập hợp .

Ví dụ: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm trên đoạn ?
A. . B. 6.
C. . D. .

Hướng dẫn giải

Hàm số
,
Hàm số đồng biến trên .
Ta có

Xét phương trình

(1)
Xét

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm
.
Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho .Tổng các giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm trên đoạn là

A. . B. 9. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Đặt . (1)

Xét hàm số có , .

Do đó . (2)

Phương trình có nghiệm trên đoạn có nghiệm trên đoạn

Tổng các giá trị là .

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm trên đoạn ?

A. . B. 16. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Đặt , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình

.(1)

Xét hàm số

Hàm số đồng biến đoạn .

Do đó (2)

Với

Phương trình (2) có nghiệm trên đoạn

Chọn B.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thực?

A. . B. 1. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Điều kiện .

Ta có .

(1)

Xét hàm số

Hàm số đồng biến trên .

Phương trình

Đặt

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm trên .

Xét hàm số ,

Ta có

Suy ra

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Mà nên .

Chọn D.

Ví dụ 4. Cho hàm số liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt?

A. . B. 2. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Phương trình

(1)

Xét hàm số nên hàm số đồng biến trên

Do đó

Dựa vào hình vẽ thì phương trình (3) vô nghiệm (vì )

Do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt có ba nghiệm phân biệt hay .

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1: Biết nghiệm nhỏ nhất của phương trình có dạng , tối giản. Giá trị của biểu thức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Số nghiệm thực của phương trình .

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 3: Biết phương trình có một nghiệm dạng với và b là số nguyên tố. Tổng bằng

A. 8. B. 7. C. 6. D. 2.

Câu 4: Biết phương trình có nghiệm duy nhất là a. Khi đó

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Bất phương trình có tập nghiệm . Hiệu có giá trị bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. .

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tổng bằng

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn thỏa mãn bất phương trình

?

A. 4041. B. 2024. C. 2026. D. 2025.

Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập S là

A. 4. B. 2. C. 6. D. 5.

Câu 9: Tập các giá trị của để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc là . Giá trị của biểu thức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình

vô nghiệm?

A. 3. B. 5. C. 7. D. Vô số.

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm?

A. 1. B. 0. C. Vô số. D. 2.

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị âm của tham số để phương trình có nghiệm?

A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.

Câu 13: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm ?

A. 5.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Câu 14: Cho phương trình . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình trên có đúng một nghiệm ?

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 15: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Các giá trị của tham số để phương trình có 3 nghiệm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

ĐÁP ÁN

DẠNG 1. Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số

1-D	2-C	3-D	4-B	5-C	6-B	7-B	8-D	9-C	10-B
11-A	12-A	13-B	14-A	15-A	16-D	17-D	18-D	19-A	20-D
21-B	22-D	23-B	24-D

DẠNG 2. Các bài toán chứa tham số

1-C	2-D	3-A	4-A	5-D	6-C	7-A	8-D	9-C	10-D
11-A	12-C	13-D	14-A	15-D	16-A	17-A	18-D	19-D	20-D
21-C	22-C	23-B	24-C	25-A	26-A	27-C

DẠNG 3. Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

1-C	2-B	3-B	4-A	5-B	6-A	7-C	8-D	9-C	10-A
11-B	12-C	13-C	14-C	15-C	16-C	17-B	18-D	19-C	20-D
21-A	22-B	23-C	24-C	25-C